李 鹏，苏建伟

(1.惠州学院，数学与统计学院，广东 惠州 516007；2. 海南师范大学 数学与统计学院，海南 海口，571158)

强调数学教育学科体系重要性的必然结果，就是要加强数学教育理论研究[1]。一般认为，数学教学理论研究、数学课程理论研究和数学学习理论研究是数学教育理论研究的三个重要组成部分，数学教学理论研究在其中居于重中之重地位。理由是，无论数学课程理论研究者还是数学课程编制者(抑或是二者兼而有之)，倘若没有相当程度的数学教学经验以及对数学教学的一定思考，他们创造的课程理论和课程文本可能脱离教学实践。真正的课程理论和课程文本无疑都是受到先期形成的一定的教学思想指引的。而数学学习理论研究的成果“直接灌输”给身心尚处成熟过程之中的学生时，将无法取得理论设想的效果，只能在数学教学实践中借助教师加以落实才可能体现其固有价值。因此，在研究数学学习理论的同时需要进行教学理论的相关研究，如此，研究者的良好初衷才会更有效地达成。本文拟从数学教学理论与一般教学理论、与数学教学实践关系以及自身如何发展三个方面对数学教学理论何以发展展开探讨。

一、数学教学理论与一般教学理论

一般教学理论的许多研究成果和方法可以“照搬”到数学教学理论研究中，用以指导数学教学理论研究，但是数学教学理论与一般教学理论之间并非简单的从属关系，它有着自身的独特性，主要体现在以下三个方面。

(一)一般教学理论的共性个别化

所谓共性个别化，指的是作为共性的一般教学理论在数学教学理论这个特殊领域中的独特呈现，也即共性的一种独特表达方式。这是一种一般与个别的关系：一般可以用来概括个别，个别在其自身层次上也可以反映一般，但是绝不能简单地说个别等同于一般。否则，个别就丧失了继续存在的必要性。

实践当中的教学总要以某一具体科目知识为载体，只能是语文教学、数学教学或者别的什么科目的教学。但是在教学理论研究中，回避具体科目的实际教学问题，只是热衷于大而空的理论口号，甚至将教学理论研究视作文字游戏，东拼西凑、闭门造车的情况是存在的。类似研究的结果，只能是产生波利亚所言的“没有肉的白水汤[2]”。

教育学、心理学等关于教育的一般理论对相对处于下位层次的数学教育而言具有指导意义[3]，数学教学理论自然也要受一般教学理论指导，但指导不等同于直接替代，而应具体问题具体分析。比如，在数学教学理论研究中，对教学任务、教学过程、教学结构等方面的研究在借鉴一般的教学任务、教学过程、教学结构研究成果基础上又应当有所不同，必须清晰体现出数学教学的个别化特征和数学教学内容的本质特征。否则，数学教学理论也就成为一种仅供点缀的可有可无之物，失去其本然价值。

(二)数学教学理论的内在规定性

一种事物或现象之所以存在的前提，在于其中有成其本身必需的某些成分。反过来说，离开了这些必需成分，这种事物或现象就不再成其本身，或者消亡或者转化为其他事物或现象。这里所说的内在规定性，一切事物或现象概莫能外。数学教学理论也是如此。正如一个概念之所以是这个概念而不是那个概念，是由其内涵决定的，概念的内涵即是概念的内在规定性。因此，在数学教学理论研究中，就要努力寻找其内在规定性有哪些，将潜在的相对于一般教学理论的特殊规律显化。

比如语文教学和数学教学都需要问题驱动方式，但语文教学的问题驱动更多的是为了引起学生的情感共鸣，是一种情意方式的提问。而数学是思维的科学[4]，数学教学最重要的是发展学生的思维。因此，数学教学的问题驱动主要应为学生提供依靠自身可以解决问题的方法和手段，体现出方法论的意义。“由远及近，分级提问[5]”方式即是一种表现了数学教学内在规定性的方式。这里的“远”与“近”是相对于面临的数学题目而言的，代表着对学生暗示程度的逐渐增大。在分级提问过程中，学生不自觉地就提高了接受启发暗示的能力并形成良好的思维习惯。在面临新问题时，就可能自己给自己提出“由远及近”的一串问题，指导自身的数学解题思维活动。诸如此类的数学教学的内在规定性，需要在数学教学理论研究和教学实践分析中不断发掘探索，为数学教学理论体系的建设奠定基础。

(三) 数学教学理论的不变属性

数学教学理论研究的另一个重要任务是寻找本研究领域特有的，也即存在于本领域而无关乎它领域的不变属性。相对数学教学理论的内在规定性而言，这里的不变属性主要指其“外延”。“外延”所包摄的内容是数学教学理论必须要研究的内容，普通教学理论和其他学科的教学理论一般并不专门涉及。

比如“把握数学抽象性的淡化”“摆脱数学严谨性的束缚”“突出策略创造精神”“加强数学语言训练”等数学教学特殊原则的研究[6]。再比如，具有较大规模和影响力的MM(数学方法论)教育研究、针对数学“核心思想”教学的研究、对运用向量法处理立体几何问题的教学研究等等。众多数学教育研究者已进行了大量富有成效的工作，在《数学教育学报》《数学通报》等专业期刊上也时常可以见到相关研究论文。

需要改进的方面主要有：类似于MM教育研究的持续系统的研究偏少；部分针对具体数学方法教学的研究仍停留于发发感慨、谈谈体会的经验性层次，缺乏必要的理论提升；对著名数学家、知名中小学数学教师的数学教学思想的搜集、总结与提炼的研究开展得较少等。这些都是数学教学理论“外延”中需要深入研究的重要问题。

二、数学教学理论与数学教学实践

书斋式理论与经验性教学相互隔离、缺乏融合是当前我国教育领域一个明显现实问题。部分理论研究者不愿走入实践去做“浅层”研究，认为这不是“真正”的学术研究；而一线教师囿于各方面压力又不得不将主要精力集中在如何提高学生考试成绩上。至于理论素养的提升只是作为事不关己的附加要求被搁置一边。在和一些数学教师交流，请其谈教学体会时，不少人就说得比较直接：“我不了解多少教学理论，也说不出什么教学理论，反正我觉得在课堂上学生听得认真、听懂了、学会了就够了。”初听起来似乎很有道理，可仔细分析却有许多问题：“如何判断学生懂了？如果学生懂了，他们懂得了多少？同一班级的不同学生懂得的程度是否有所差别？如何应对出现的差异？”这些问题仅凭想象是难以说清楚的。如果教师仅凭个人摸索积累的一些朴素教学经验和对课程改革口号的表面化理解，有可能产生这样的课堂：形式上精彩生动，实质上学生却在片面理解甚至只是机械被动地理解所学。

没有理论指导的教学实践是盲目的实践。如何令数学教学理论有效应用于实践？在数学师范生培养和数学教师培训当中，寓数学教学理论的学习于数学业务知识的学习中是一种好的做法，也即波利亚所说的“方法课应当在与业务课程或教学实习紧密结合的情况下开设[2]”。例如，类似《初等数学研究》的课程，不是简单地要求数学师范生能够解决其中的题目，更重要的是学习针对特定年龄阶段的学生如何教“解题”。这就要求课程教授者有意识地将业务课和方法课相融合，而不是相互割裂开来、泾渭分明地进行教学。

为数学师范生和数学教师提供教学的元认知提示语是一种有益的具体手段。比如下面这些提问，“你能把这些教学理论用到你的课堂教学中吗？”“这个教学理论在课堂教学的哪个环节使用最有效呢？”“你如何让你的学生理解这道题目的求解并能将求解方法应用到类似的新问题中去呢？”“这些教学理论的哪一点现在对你最有帮助呢？为什么？”“在学习某个数学概念之后，你会选择哪些题目来帮助学生深化对概念的理解呢？”“怎样通过这些题目实现对学生思考问题方法的培养呢？”……数学教师通过应用这些指导自身教学的元认知提示语，可以有效地将学到的数学教学理论用于指导个人的教学实践，并可能反过来进一步促进数学教学理论的发展。

数学教学理论是从数学教学实践中归纳、总结、概括、升华而成的，也必须在数学教学实践中检验和应用。数学教学理论研究不是从书本到书本、从问题到问题，其目的是为了将其推广到广阔的教学实践中，进行应用、检验和修正，使其更加合理和完善。惟有如此，理论才能彰显其价值和生命力，这也是数学教学理论的实践品格所在。

三、数学教学理论研究何以发展

(一) 防止“去数学化”

数学教学理论研究属于学科教学理论范畴，应当具备“数学”品格，针对具体的数学学科进行，切实“与数学对应[3]”。脱离数学空谈教学理论不是真正的数学教学理论，难以用来解决数学教学实践中的问题，对数学教学理论本身的发展无益。

以数学教学评价研究为例，研究者不应只是笼统地关注教学是不是促进了学生发展，课堂是不是蕴含了新课程元素，更要关注在数学方面，教学是怎样促进学生发展的？对于要学习的数学知识，学生已经会了什么？还要发展哪些数学核心素养？数学核心素养的发展是否在课堂教学中得到了有效渗透？学生是否理解了相应数学知识的本质？要回答这些问题，就必须对数学知识的来龙去脉进行思考，寻找学生已有的数学知识、方法、态度与要掌握和形成的数学知识、方法、态度之间的差距并设计出跨越这个差距的数学教学策略。只有通晓并能够正确运用基本数学原理的研究者才可能完成这个任务。如果研究者对数学缺乏足够深入的理解，作出的理论描述从教学视角看也许是详细正确的，但是由于远离了数学，这些描述在应用于数学教学实践时必然是无效甚至负效的。

(二) 防止“数学学科中心主义”

数学教学理论研究在防止“去数学化”的同时，也要善于借鉴一般教学理论乃至其他学科教学理论的丰富研究成果，取其适者为我所用，“‘教育学、心理学的理论加数学的例子’作为数学教育研究的一种方法，也未尝不可[3]”。大胆从外来有益成分中“拿来”，为数学教学理论研究服务，既开辟了应用这些有益成分的新领域，又发展了数学教学理论，是一个双赢的结果。“数学学科中心主义”对数学教学理论研究同样有害，偏安于“数学学科”一隅进行数学教学理论研究，很可能异化为对数学或初等数学进行纯粹知识性的研究，产生又一块“啃不动的硬牛排”。

(三) 多群体的协同努力

数学教学理论研究的良性发展需要数学研究者、一般教学理论研究者、数学教学理论研究者和一线数学教师的协同努力。目前，由于教育事业发展需要和一线教师高涨的学习热情，参加教育硕士课程学习的教师日益增多，许多数学教授开始成为教育硕士指导教师。数学教授作为研有专长者，数学研究经验丰富，在指导数学学科教育硕士过程中，可以通过“还原”自己的研究经验，提升教育硕士的数学素养和数学教学理论的“数学”品格，为中小学数学教师做出示范。中小学数学教师完全可能将这种示范效应落实到自身教学过程中，带着中小学生实践数学学习的“再创造”。

但是，多数数学教授的中小学数学教学经验可能不及教育硕士们，并或多或少地存在轻视数学教学理论的思想，认为“我教了多年的大学数学，难道还不懂数学教育吗”。正因为如此，出现错位的“双向差评”：具有丰富教学实践经验的教育硕士们，对教授们教学的评价，并不比教授对他们的评价高多少[7]。这就需要数学教授在发挥自身优势的同时，有效融合教学理论的有益成分，认识到作为一门关于如何进行有效教学的科学，数学教学理论有其独特价值，在指导教育硕士过程中为数学教学理论的丰富和发展做出应有的独特贡献。

一般教学理论研究者则需要更多地关注学科，对其中的宏观问题和核心概念有一定认识，以使自己的研究成果能够有的放矢，为具体学科的教学理论研究和教学实践所用，而非仅停留于“曲高和寡”的一般理论层次。数学教学理论研究者作为特殊的研究群体，对一般教学理论的基本原理有着自身理解，对中小学数学教学实践有着深入的观察与思考，其中有些曾经从事中小学数学教学工作，在建立数学教学理论与数学、一般教学理论以及数学教学实践之间桥梁方面有自身优势。一线的数学教师在自觉学习适切的教学理论并在教学实践中应用的同时，还要坚持进行教学反思并努力将经验向理论层次提升，为数学教学理论体系不断增添“实践智慧”。

在多个群体发挥自身优势、融合他人长处的协同努力下，促进数学教学理论的全方位发展。如，针对中小学数学课程中的核心主题，从数学、一般教学理论、数学教学理论和中小学实践特征等多个视角进行设计、实施，从中抽象归纳数学教学理论的本质属性，为数学教学理论大厦的建设添砖加瓦。