李军

【摘要】数学学习，需要把握知识的“本质”，触及知识的“内核”，有效促进学生进行深度学习。笔者以“乘法分配律”教学为例，从计算出发，让学生在探索运算律的过程中感受演绎推理的价值;在回顾反思的过程中感受多元表征的方式;在理解本质意义的过程中让深度学习发生。

【关键词】本质 意义 推理 深度学习

一、课前思考

笔者观摩了好多课堂，发现一些教师非常注重“如何教”，却不注重学生“学什么”“如何学”。学习如果不能把握知识的“本质”，触及不到知识的内核，学生的学习只能浅尝辄止，无法进行深度学习。本文试图以“乘法分配律”内容教学为例，阐述如何从知识的本质出发，有效促进学生的深度学习。

乘法分配律是学生在已经学习掌握了乘法交换律、结合律，并能初步应用这些定律进行一些简便计算的基础上进行学习的。乘法分配律是运算律单元的教学重点，几个版本的教材基本都是按照分析题意、列式解答、举例类比、觀察发现、应用提升等层次进行的。这是学生初步接触乘法分配律，学好分配律是学生后续进行简便计算的前提和依据。

那么乘法分配律教学的起点到底在哪里？应从生活中引入还是从运算中引入？人教版、苏教版、北师大版数学教材都是从购物等生活问题中引入乘法分配律，让学生通过举例，在不完全归纳推理比较中逐步发现蕴藏在其中的规律。笔者前期的教学设计也一直按照这样的思路进行，在实际教学时总感到不顺，学生也感到理解吃力，学生在实际应用中也不太顺手，明明都能说出分配律的内容和表现形式，为何作业中的错误却频繁出现？笔者思考：我们一直把分配律当作一个全新的知识来教学，其实早在二年级学习两位数乘一位数及其口算时学生就开始不自觉地使用乘法分配律了。乘法分配律的本质实则是乘法计算的算理和支撑，有效教学的起点是学生的计算经验而非日常生活，应以此为切入口设计教学。乘法的原理是不是就是学生学习分配律的“最近发展区”？是不是就是学生思维生长的关键节点？想到此处，笔者头脑中突然冒出一个想法：教学乘法分配律时何不尝试从乘法的意义入手，让学生在回顾乘法过程、理解乘法算理的基础上很自然地得出乘法分配律，让规律自由“生长”出来！学生不但知道乘法分配律从哪里来，比较容易理解乘法分配律的意义，而且能理解得比较深刻，有利于学生掌握知识，从而促进深度学习。

笔者期待，这样的教学，会不会让学生有一种“蓦然回首，那人却在灯火阑珊处”的顿悟感？同时，笔者更期待，学生在心底自然而然地“生长”出规律后，会不会这样去反思：很多内容，如果我们能思考和比较得更加深入一点，多一个角度去观察，是不是会自然地“生长”出更多意想不到的知识和规律呢？

二、实践尝试

课前：在黑板上板书5×3和（5+4）×3两个式子，问：各表示什么意思？

（一）复习旧知，引出问题

1.问题引入

（1）出示：25×14

师：算式表示什么？如何计算？自己把算式写在作业本上。

（学生展示自己的作业并说说是怎么计算的）

师（追问）：25×4怎么算的？刚刚我们在计算25×14的时候先算什么？再算什么？

（板书：25×4、25×10）

师：然后呢？（在25×4和25×10之间写个“+”号）

（师引导学生观察黑板上的两个式子： 25×14， 25×10+25×4）

师：两个算式有什么不一样？

（板书： 25×14     25×（10+4）    25×10+25×4）

生：左侧表示14个25，中间是10与4的和乘25也表示14个25，右侧10个25加4个25。

师：现在可以在这三个算式之间画“=”吗？

（2）出示15×12

师：这个算式能写出这个模式吗？又表示什么呢？

生：15×12=（10+2）×15=10×15+2×15。（师板书）

师（追问）：相等吗？谁能说明白为什么？

（3）出示：23×16

师：你能写出上面的格式吗？自己在本子上写一写。

师（板书）：23×16=（10+6）×23=10×23+6×23

同意这种写法吗？为什么？

2.尝试探究：先做后说

出示尝试问题1：

（20+3）×37=

（10+9）×23=

（32+25）×74=

（学生独立完成后上台展示，引导学生观察等号左侧和右侧的相同与不同）

尝试问题2：出示（16+△）×51=

（△+□）×○=

（a+b）×c=

3.比较归纳

师：这就是乘法分配律，而且有自己的语言表达形式。

（学生尝试用自己的语言表达后教师进一步完善乘法分配律的表述）

师：对于发现乘法分配律的过程，你有什么想法？

生：看来，只要我们认真观察，深度思考，就会发现最常见的计算里面也蕴藏着一些重要的数学运算规律！

（二）回顾反思，感悟规律

师：同学们回顾一下，在我们学习的过程中，还在哪儿看到或者用到过类似乘法分配律呢？

学生在经验的有效激发下，回忆起诸如长方形周长计算的两种方法之间的关系、两个图形面积之和的不同算法，在回忆和比较中将以前学习的知识与当前学习的规律进行串联和沟通。

（三）应用规律，巩固提升

过程略。

（四）总结回顾，深化认知

教师指着（5+4）×3算式说，“分配律”，就是先“分”后“配”的规律，引导学生从算式意义的角度，一步步梳理和板书出“分”“配”的过程。

师：今天这节课，你有什么收获？从中你得到什么启发？

师：很多时候，我们面对熟悉的知识、情境、问题，可以试着往深处想一想，这些知识的背后，是不是蕴藏了一些规律？是不是隐藏了一些看不见的奥秘？经常这样往深处去思考，我们的思维会变得更有深度！

师：比如，（指着黑板）这个地方是加号。那如果是减号又该如何呢？乘法分配律除了支撑乘法的算理，还有什么其他作用呢？

（学生带着思考下课）

三、课后思考

本节课教师大胆变革，重在从计算入手，从学生已经学过的习以为常的两位数乘法开始，一步步引导学生从计算的本质出发，促进学生的深度学习。

首先，在探索运算律的过程中感受演绎推理的价值。在此过程中，尝试让学生从演绎推理的角度，来感悟乘法分配律是在计算的基础上自然而然产生的规律，探究算理的过程，就是“生长出”规律的过程，让学生明白：运算律就隐藏在我们常见的运算之中。多数教学这部分内容时都是从生活中的事例出发，通过大量举例后比较发现规律，利用合情推理的思想方法组织学生探究规律。而上述教学案例则是从“事理”走向了“算理”，让学生利用演绎推理思想方法来探究规律，让学生在探究规律的过程中获得一种“顿悟”感，初步感受小学阶段不常用“演绎推理”的力量，也让学生从“意义”“算理”等本质角度展开他的学习之旅。这样的学习更具有深度，更接近数学的本质，让学生更容易理解和接受，也对“分配律”理解得更加深刻。

其次，在回顾反思的过程中感受多元表征的方式。在发现的过程中，学生通过对计算的过程进行分析，从而发现了乘法分配律。学生发现后先用自己的语言来描述规律，此时属于“语言表征”，在学生描述的基础上引入“符号表征”，体会数字换成符号同样可以表征规律，而且更具有一般性。随后，在回顾环节，学生不仅回忆起学过的大量计算的算理运用了乘法分配律（如12×3的口算过程），而且回忆起周长的两种计算方法之间也有分配律，此时教师借助学生的回答，呈现如图1的例子。让学生将符号表征与图形表征相结合，此时又对分配律进行了“图形表征”，从而学生对乘法分配律的理解和记忆更加形象、深刻，同时也初步感受了数形结合思想和模型思想。

再次，在理解本质意义的过程中让深度学习发生。课前，笔者进行了一个简单的提问：5×3表示什么？（5+4）×3又表示什么？这里看似简单了解性的提问，其实是有深意的。目的是让学生从乘法意义的角度，来沟通乘法和加法之间的联系。乘法分配律是運算律中唯一包含两种运算的规律，是沟通乘法和加法（减法）之间关系的运算律，这与其他运算律也是有很大区别的，为后续学生的认知进一步拓展建立深刻印象。后续探究乘法分配律，也是从乘法意义的角度来分解出相对应的等式，在观察等式的基础来发现规律。最后应用总结阶段，笔者回到课前的简单提问“（5+4）×3”，引导学生经历了一个别样的先“分”再“配”的过程（如图2）。这样的教学，无疑是从本质出发，从意义入手，让学生沿着知识的本源探究，让学生触及数学学科的本质，展开深度学习和思考，无疑是一种有益的尝试。