非匀速算法在桥梁动态称重中的应用研究

2020-11-18安家禾

公路工程 2020年5期

卓颖，安家禾，张斌，朱平，赵华

(湖南大学风工程与桥梁工程湖南省重点实验室，湖南长沙 410082)

0 引言

车辆超载会加速道路基础设施的老化，尤其会显著缩短桥梁的使用寿命[1-2]。在一些极端情况下，超载车辆的重量甚至可能超过桥梁的承载能力，直接导致桥梁倒塌。因此，治理车辆超载问题对保护和维护现代运输系统变得越来越重要。

为了获取移动车辆的轴重信息，通常可采用静态称重和动态称重(Weigh-In-Motion: WIM)这两种技术。静态称重能够精确获得车辆轴重信息，但是经济和时间成本很高，并且会妨碍正常交通，因此是不切实际的。为了克服静态称重的限制，自20世纪60年代以来，基于WIM的路面称重系统(Pavement Weigh-In-Motion: PWIM)发展了起来[3]。PWIM系统使用安装在道路上的设备在正常交通条件下对公路车辆进行称重。

Moses于1979年首先提出了桥梁动态称重(Bridge Weigh-In-Motion: BWIM)的概念。与PWIM系统不同，BWIM系统将一座桥作为称重秤来计算车辆的重量。BWIM系统具有耐用、易安装和维护、轴重识别精度高的优点[4]。这些优点使BWIM系统成为治理车辆超载问题一个有效工具。

桥梁动态称重(BWIM)系统计算轴重的方法通常可分为两大类，一类是静态算法，主要计算移动车辆的静态轴重，以Moses影响线算法为主要代表；另一类是动态算法，主要计算轴重的时程曲线，以移动荷载识别(Moving Force Identification: MFI)算法为代表。

Moses算法通过最小化实测桥梁响应与理论桥梁响应之间的差值来计算车辆轴重，而理论桥梁响应是利用影响线计算出来的[4]。

Moses算法现已被用来建立现代商业BWIM系统基本框架。20世纪80年代，PETERS[5]在澳大利亚开发了Axway系统。后来，PETERS[6]开发了一种更有效的系统，称为Culway，它使用一个涵洞作为称重秤。之所以用涵洞而不是桥梁来进行称重，是因为车辆和涵洞之间相互作用所产生的动力效应可以更快地被周围的土壤所抑制。在欧洲，COST 323行动和WAVE(Weighing in Motion of Axles and Vehicles for Europe)项目在1990年代末实施[7-8]。这些项目极大地提高了BWIM技术的准确性，并促使了著名商业BWIM系统——SiWIM系统的开发。SiWIM系统由ZAG[9]在2005年基于Moses理论所研发出来的。该系统采用一种修正的弯矩影响线，使得单轴和总轴重计算更为精确。该系统在板桥上的轴重计算结果精度是可以接受的。

MCNULTY[10]和O′BRIEN[10]在2003年提出只有标定影响线尽可能地与实际一致，BWIM算法才能得到理想的精度。ZHAO[11]等在2015年提出了一个用于轴重识别的修正Moses算法，也证实了获得与实际一致的标定影响线对于BWIM系统的成功应用十分重要。

LANSDELL A[12]等在2017年提出了一种考虑车辆以分匀速行驶的情况的算法，并运用实桥试验证实了该算法的有效性。

本文的研究主要基于Moses的影响线算法，针对其局限性，提出了适用范围更广的非匀速算法，并利用MATLAB软件进行数值模拟，验证了其有效性。

1 Moses影响线算法

Moses算法主要由两部分组成。第一部分需要对测试桥梁进行标定试验，用已知轴重和轴距信息的车辆去标定桥梁，得到实际的桥梁影响线。第二部分是让实际车辆在桥上行驶，获得实测应变数据，再用标定试验得到的计算影响线来进行计算，从而获得车辆的轴重和轴距信息。

1.1 影响线计算公式推导

当车辆通过桥梁时，跨中的纵桥向总弯矩，可以表示成时间的函数，并且等于每根梁的弯矩之和。为了简化起见，将整座桥视为一个整体，且每根梁具有相同的弹性模量E与截面模量Z。故桥梁某一截面的总弯矩Mk，在时间步k可以由式(1)表示。

(1)

在整个标定期间，假定标定车是匀速行驶。车速由布置在桥面板下的两排FAD(Free of Axle Detector: FAD)传感器所采集的数据得到。已知一辆标定车的N个轴的轴重P1，P2，…，PN，当车过桥时，在时间步k时，由车产生的跨中弯矩Mk即为：

(2)

(3)

(4)

基于最小二乘法，理论应变与实测应变的误差函数可定义为：

(5)

为了使E最小，对E中IR项求偏导并令其偏导数为0，可得：

(6)

测量总时间步为K，则从时间步R=1到K，共可得到K-CN个方程，将这些方程联立便可以解出各个位置的影响线竖标值。

1.2 轴重计算公式推导

(7)

(8)

则对应时刻的理论应变为：

(9)

按照1.1小节的计算公式，可由标定试验数据计算出影响线矩阵[I]。由式(9)，时间步k从1到K有K个理论应变：

(10)

其中,K是采集的应变数目，式(10)可简化为:

[εt]K×1=[IL]K×N[P]N×1

(11)

其中,[εt]是理论应变的列向量；[IL]是影响线纵坐标的矩阵；[P]是待求的轴重列向量。

参考式(5)，构造应变误差函数，

(12)

将式(12)写成矩阵形式，有:

(13)

将式(11)代入，对E中[P]求偏导并令其偏导数为0，可得:

(14)

从式(14)就可以求出各轴的轴重,将其求和便可得到总轴重GVW。

(15)

1.3 算法的局限性

尽管Moses理论在BWIM中已经应用得很广泛，但是该算法仍然存在缺点。Moses算法中假定了车辆以匀速行驶，但车辆在实际行驶时，其车速可能会发生变化，速度变化也会引起轴重计算误差。当车速发生较大的变化时，Moses算法便不适用了。因此，引入非匀速算法就显得很重要。

回顾Moses算法的计算流程，由式(3)可知Ci为与Di相应的采集点数，且与车速相关。当车辆以匀速行驶时，车辆位移随着时间均匀变化，影响线可以分成相等的若干段，每一段的距离便是v/f，而Ci保持不变。而当车速在不断变化时，车辆位移与时间的关系发生了变化，影响线矩阵也需要重新进行分段处理才能与车的位置对应，Ci也会随之变化。在轴重计算中，式(11)中的[IL]矩阵与车轴的位置有关，而轴距Di在该矩阵中是用Ci间接表示的。也就说，当车速在不断变化时，Di需要根据不同的车速换算成新的Ci然后才能构建[IL]矩阵，使计算变得十分繁琐。若Ci与影响线分段不变，而车速在变，则[IL]矩阵中的元素数值会与实际不一致，为轴重计算带来误差。

2 非匀速算法

非匀速算法的计算建立在Moses所提出的BWIM算法上，同样是基于最小二乘法，通过使跨中理论应变与实测应变的误差最小来求轴重。在非匀速算法中，不再需要假定车辆以匀速行驶。

2.1 影响线与轴重的计算

从车辆第一个轴上桥开始测量，到最后一个轴离桥停止测量，车辆行驶的总距离为X=L+DN(L为桥长)。以0.025 m为一个区间，可将X分为K=X/0.025个区间，各区间端点编号依次为0，1……K。

为了克服Moses算法在处理轴距时的缺陷，用距离分段代替时间分段，减少转换步骤，为后续考虑变速情况提供便利。即将式(3)换成式(16)。

(16)

其中,Ci是与Di相对应的分段数。

将式(16)代入式(6)，此时R表示车辆第一轴所在的区间端点号，同样从端点1到K可以构建K-CN个方程，联立之后便可求得影响线竖标值。

至于轴重计算，关键也在于Ci的变化。将式(16)代入式(8)～式(10)，再用最小二乘法使得理论应变与实测应变的差值平方和最小，即可求得车辆轴重。

该算法其实是用距离间隔代替时间间隔。在原始Moses算法中，由于仪器的采集频率不变，因此时间间隔是恒定的。而在非匀速算法中，使距离间隔保持不变，然后根据车速和车辆行驶的距离算出时间。当车速不变时，距离间隔与时间间隔都是恒定的，与原Moses算法等效。而当车速改变时，距离间隔不变，时间间隔会变化。这样处理可以在考虑车速变化时，减少计算步骤。除此之外更为重要的是，距离，速度与时间这三者的关系可以单独定义，而不影响轴重计算中[IL]矩阵的构建。

2.2 速度假定与轴距计算

Moses算法假定车辆以匀速行驶，其计算车速是通过先求出每一根轴经过两排FAD传感器的平均速度，再将这些速度平均所得到。为了充分利用试验数据，现引入新的速度计算方法。一辆N轴车，每一个轴经过一排FAD传感器都会产生一个信号，而在桥梁上装有两排FAD传感器，所以一辆N轴车行驶一趟一共可以产生2N个信号。2N个信号就意味着有2N个时间点，2N-1段距离，那么便可以得到车辆在2N-1个区间的平均速度。本文假定车辆在这2N-1个区间内分别以各个区间的平均速度行驶。除此之外还可以假定车辆以其他方式运动，采用不同的假定会有不同的计算结果。本文仅讨论车辆以分段匀速的方式行驶。

在实际的轴重计算中，移动车辆的轴距是未知的，需要利用传感器的信号先对其进行计算，这样才能顺利构建轴重计算矩阵。

假定车辆的相邻2个轴在通过两排FAD传感器时做匀加速运动，前轴经过2个FAD传感器的时间分别记为t1，1，t2，1，对应的车辆瞬时速度记为V1，V3；后轴经过2个FAD传感器的时间分别记为t1，2，t2，2，对应的车辆瞬时速度记为V2，V4；2个车轴的距离记为D，2排传感器之间的距离记为S。根据D与S的大小关系，可能出现2种情况，如图1和图2所示。

图1 轴距计算图(S>D)Figure 1 Wheelbase calculation (S>D)

图2 轴距计算图(D>S)Figure 2 Wheelbase calculation (D>S)

由图1可知，当S>D时，车辆后轴经过第1排FAD传感器时，前轴还未到达第2排传感器，此时前轴与第2排FAD传感器的距离为S-D；由图2可知，当D>S时，车辆前轴经过第2排传感器时，后轴还未到达第1排FAD传感器，此时后轴距离第1排FAD传感器的距离为D-S。

前轴在2排FAD传感器之间的平均速度为:

(17)

Δt1=t2，1-t1，1

(18)

后轴在两排FAD传感器之间的平均速度为:

(19)

Δt2=t2，2-t1，2

(20)

由此，可以计算车辆的加速度a。

(21)

(22)

(23)

故可求出V1和V4:

(24)

(25)

由第1排FAD传感器算出来的轴距D1为:

(26)

由第2排FAD传感器算出来的轴距D2为:

(27)

相邻两轴的轴距D取D1和D2的平均值，

(28)

当车辆做匀速运动时，即加速度为0时，上述计算公式依然适用，且与原来的计算方法等价。

3 数值模拟

数值模拟不考虑车桥的振动及相互作用，仅考虑数值上的计算。计算桥梁为一跨长度为20 m的简支梁，传感器布置如图3所示。应变计始终位于桥梁跨中，用于采集桥梁跨中的应变数据，在计算中为了减少转换步骤，实际采用的是跨中弯矩，标明应变计主要是示意其位置。2排FAD传感器之间距离为S，FAD与最近桥梁支点的距离为S1，FAD2与最近桥梁支点的距离为S2，且S1+S+S2=20 m。车辆行进方向与x轴正方向一致。

图3 传感器布置图Figure 3 Sensor layout

计算选用了3轴车和5轴车这2种车型，因为这两者都同时具有单轴和组轴，比较具有代表性。车辆的轴距及轴重信息如表1所示。

表1 车辆轴距轴重信息Table 1 Vehicle wheelbase and axle load information轴数轴距/m轴重/kNA1-A2A2-A3A3-A4A4-A5总长A1A2A3A4A5总轴重34.00 1.25 ——5.25 60 120 125 ——305 54.30 1.35 11.20 1.30 18.15 50 70 70 80 80 350

数据采样频率f为512 Hz，利用MATLAB模拟车辆过桥过程来产生计算数据。计算所用的影响线为桥梁的理论影响线。

3.1 匀速运动

在讨论车辆做匀加速运动前，首先要对计算数据段的选取做一个说明。一般来说，桥梁动态称重试验会布置2排FAD传感器，用于检测车轴位置和计算车速。所以车辆在这2排FAD传感器之外的速度是未知的，也就是说车辆的运动可以有无限种可能，因此传感器区间之外的数据不宜用来进行计算。计算所采用的数据区间，是从车辆第1轴到达FAD1开始，到车辆最后1轴离开FAD2为止。

车辆初始速度为10 m/s，从车辆第1轴到达FAD1开始加速，加速度分别取0.5、1.0、1.5、2.0 、2.5、3.0 m/s2。用2种方法进行计算，第1种，假定车辆全程做匀速运动，用Moses算法求解，用“全程匀速”表示；第2种，假定车辆做分段匀速运动，用非匀速算法求解，用“分段匀速”表示。

3轴车的轴重计算结果如图4～图6所示。由图可知，2种方法计算的单轴和组轴误差都非常小，保持在1%以内，但是单轴的误差都较大，误差最大时都超过了6%。

图4 3轴车总轴重计算误差折线图Figure 4 The calculation error line chart of the gross vehicle weight of 3-axle vehicle

图5 3轴车单轴重(A1)计算误差折线图Figure 5 The calculation error line chart of the single axle (A1) weight of 3-axle vehicle

图6 3轴车组轴重(A2+A3)计算误差折线图Figure 6 The calculation error line chart of the group of axles (A2+A3) weight of 3-axle vehicle

5轴车的轴重计算结果如图7～图10所示。由图可知，就总轴重而言，“全程匀速”的计算结果更好，其最大误差比“分段匀速”的最大误差小了近1%。对于单轴A1，“分段匀速”的计算结果明显更好，其最大误差基本在10%以内，而“全程匀速”的最大误差约20%，是“分段匀速”的2倍。对于A2和A3组成的组轴，2种方法的计算结果相近，两者最大误差均在2%以内。对于A4和A5组成的组轴，“分段匀速”最大误差约为2%，而“全程匀速”最大误差约为4%，两者有2%的差距。

图7 5轴车总轴重计算误差折线图Figure 7 The calculation error line chart of the gross vehicle weight of 5-axle vehicle

图8 5轴车单轴重(A1)计算误差折线图Figure 8 The calculation error line chart of the single axle (A1) weight of 5-axle vehicle

图9 5轴车组轴重(A2+A3)计算误差折线图Figure 9 The calculation error line chart of the group of axles (A2+A3) weight of 5-axle vehicle

图10 5轴车组轴重(A4+A5)计算误差折线图Figure 10 The calculation error line chart of the group of axles (A4+A5) weight of 5-axle vehicle

综上，“分段匀速”在单轴和组轴的轴重计算上具有较高的精度，总轴重的计算精度略低，但也在可接受范围之内；“全程匀速”的总轴重计算精度很高，组轴精度略低，但也在可接受范围之内，而单轴的计算很不稳定，可能出现较大的误差。

3.2 随机变速运动

车辆在实际运动中可能多次变速，为了模拟更为真实的车速情况，现在假设车辆以10 m/s的速度行驶，当车辆第1轴到达FAD1时以随机加速度a1做匀加速运动，直到到达FAD2，然后再以随机加速度a2做匀加速运动，直到最后一轴经过FAD2。加速度a1和a2由MATLAB的随机函数生成，两者均在0～3内取值，单位为m/s2。车辆每行驶1趟，便重新生成一次加速度，共生成100趟。计算采用“全程匀速”和“分段匀速”2种方法来进行对比。计算选用车型仍为3.1小节中的3轴车和5轴车，且每1种车型的计算原始数据均相同。

3轴车的计算结果汇总如表2所示，总轴重，单轴重和组轴重的误差箱线图如图11～图13所示。

表2 随机变速3轴车轴重计算结果比较Table 2 Comparison of axle weight calculation results of 3-axle vehicle with random variable speed项目A1A2A3总轴重单轴组轴数量100100100100100100全程匀速均值3.16-17.5816.060.293.16-0.41标准差2.038.027.370.192.030.28分段匀速均值-3.41-0.601.29-0.38-3.410.36标准差2.202.972.680.232.200.28注: 均值与标准差的数据为百分数分子; “单轴”即为“A1”; “组轴”为“A2+A3”。

由表2所示，2种方法在总轴重，单轴A1和组轴上的计算精度非常接近，无明显区别。但是组轴中的单轴A2和A3的计算精度有明显差别，“全程匀速”的计算误差非常大，误差均值超过了15%，而且标准差也在一个较高水平，而“分段匀速”的误差均值在1.5%以内，标准差也很小。这说明“分段匀速”的轴重计算更为稳定一些。

由图11～图13可知，2种方法在总轴重，单轴A1和组轴上的计算精度非常接近，无明显区别，与表2中的数据一致。

图11 随机变速3轴车总轴重计算误差箱线图Figure 11 Calculation error boxplot of the gross vehicle weight of 3-axle vehicle with random variable speed

图12 随机变速3轴车单轴重(A1)计算误差箱线图Figure 12 Calculation error boxplot of the single axle (A1) weight of 3-axle vehicle with random variable speed

图13 随机变速3轴车组轴重计算误差箱线图Figure 13 Calculation error boxplot of the group of axles weight of 3-axle vehicle with random variable speed

5轴车的计算结果汇总如表3所示，总轴重、单轴重和组轴重的误差箱线图如图14～图16所示。

图14 随机变速5轴车总轴重计算误差箱线图Figure 14 Calculation error boxplot of the gross vehicle weight of 5-axle vehicle with random variable speed

图15 随机变速5轴车单轴重(A1)计算误差箱线图Figure 15 Calculation error boxplot of the single axle (A1) weight of 5-axle vehicle with random variable speed

图16 随机变速5轴车组轴重计算误差箱线图Figure 16 Calculation error boxplot of the group of axles weight of 5-axle vehicle with random variable speed

由表3所示，“全程匀速”在总轴重计算上有略微的优势。除总轴重这一项外，“全程匀速”的标准差均高于“分段匀速”，说明“分段匀速”的计算结果更稳定。两者的组轴计算结果相近，但是“分段匀速”的单轴计算精度要显著高于“全程匀速”。

表3 随机变速5轴车轴重计算结果比较Table 3 Comparison of axle weight calculation results of 5-axle vehicle with random variable speed项目A1A2A3A4A5总轴重单轴组轴数量100100100100100100100200全程匀速均值10.38-29.4430.98-55.0050.670.8010.38-0.70标准差6.2516.3317.1026.4724.410.566.251.67分段匀速均值-5.4225.43-26.91-36.5034.43-1.54-5.42-0.89标准差2.1112.9214.1815.4114.160.782.110.68注: 均值与标准差的数据为百分数分子; “单轴”即为“A1”; “组轴”为“A2+A3”和“A3+A4”。

由图14～图16可知，“全程匀速”的总轴重计算精度要比“分段匀速”略高，但两者的总轴重误差均小于3.0%，在可接受范围内。“分段匀速”的单轴重计算误差基本可以控制在10%以内，要显著高于“全程匀速”。对于组轴重的计算精度，综上，“全程匀速”的总轴重计算结果更好，而“分段匀速”的单轴计算结果更好，两者的组轴计算结果相近。考虑到两者的总轴重和组轴的计算精度相差不大，而“分段匀速”在单轴精度上具有明显优势，因此可认为在车辆以非匀速行驶时，非匀速算法要比原始Moses算法更好。