冯文杰 刘灵灵

(石家庄铁道大学工程力学系，石家庄050043)

铁道工程、桥梁工程是我校最早设置的本科专业，依据国家提出的“大土木、宽基础” 的培养理念，1999 年调整为土木工程专业的两个重点专业方向，属于我校的传统优势专业，在培养方案中明确提出：“要求学生具有扎实的力学基础，能通过力学模型的建立和分析，获得解决复杂工程问题的途径。”材料力学作为这两个专业主干专业基础课程，是连接基础与专业的桥梁，在培养计划中具有举足轻重的作用。该课程具有理论性和系统性强、逻辑严密、内容抽象、公式繁杂、与工程实际联系紧密等特点。传统的材料力学授课注重理论推导，对工程实际应用重视不够。对于缺少工程实践背景的学生而言，学习起来较为困难。材料力学许多问题和概念的提出都源于工程实际问题，如何将材料力学基本知识传授给学生，同时又能将这些知识应用于工程实践，是许多力学教师和学生们关注的问题[1-4]。

材料力学授课内容中有许多与各工科专业相关的实例，如果教师在授课中能针对学生专业特点选择合适的实例讲解，对激发学生学习材料力学及后续专业课程的兴趣将会大有裨益[5]。本文结合材料力学基本理论、知识和铁道、桥梁工程专业特点提出工程案例教学，可以加强学生对知识的理解，提高学习效率，同时可为后续专业课程的学习奠定基础。

1 我校材料力学教学现状

我校自2005 年起，多学时材料力学教材采用孙训方教授编写的《材料力学I，II》，面向的专业包括工程力学、机械设计制造及自动化、能源与环境工程、车辆工程、铁道工程、桥梁工程、地下工程、建筑工程等，各专业的培养目标和学生基础均不相同，而材料力学的授课内容针对这些专业的区分度并不明显。相对而言，由于铁道工程、桥梁工程是我校的传统优势特色专业，该专业学生的基础相对较好，学习积极性也较高。学生毕业后主要去向为铁道系统下属的各大铁路局、工程局，直接在工程一线从事相关技术工作，对学生的专业素养要求相对较高。材料力学的学习是整个专业素养培养环节中很重要的一环，针对这两个专业，教学过程中主要存在以下几个方面的问题：

(1)学生有学习的积极性，但是缺乏主动思考的意识，总是希望教师总结、归纳知识点，多讲解例题；做作业或考试照猫画虎，题型稍微有所变化，就不知道如何下手了。

(2)教材中的例题大多是工程实际问题简化之后的模型，而实际工程中的问题是极其复杂的，如何将一个实际问题简化为合理的力学模型来进一步进行力学分析，这个过程也常常是学生们欠缺的。

(3)通过近几年的教学实践发现，授课过程中适当加入工程实际问题的分析，可以明显提高学生们的学习兴趣，达到学以致用的目的。但如果在桥梁专业授课过程中，过多借助于机械工程中的传动轴、齿轮、轴承等构件进行力学分析，势必会打击学生的专业自豪感和学习兴趣，进而影响学习效果。

2 基于专业导向的材料力学工程案例分析

案例1位于河北省赵县的赵州桥，俗称大石桥，于公元600 年左右由隋朝工匠李春建造，是世界上现存最早的敞肩圆弧拱桥[6]。桥梁全貌如图1 所示，桥身全长50.82 m，主孔净跨37.02 m，拱矢净高7.23 m，拱圈厚度1.03 m，拱轴半径27.28 m，中心张角为83◦24′24′′，拱桥由28 道平行拱圈组成，每道拱圈宽约35 cm[7]。经过1400 多年的风雨，历经多次地震、洪水和战争的考验，迄今依然完好，不得不说这是我国古代桥梁乃至工程史上的奇迹，充分体现了古人的智慧。

图1 赵州桥全貌图

以下主要从材料力学的角度对赵州桥的设计作简单分析。

石桥为什么设计成拱形桥而不是直梁桥呢？假设桥梁承受均布载荷q= 27 kN/m，若采用矩形截面直梁，力学模型如图2(a) 所示，梁的具体尺寸为：跨长l= 37.02 m，横截面宽度和高度分别为b= 9.8 m，h= 1.03 m，设石块的弹性模量E= 50 GPa，抗弯刚度EI。此结构为三次静不定问题，计算中忽略石块纵缝之间切应力的影响。跨中截面弯矩M最大，为危险截面，截面上的正应力分布如图2(b) 所示，梁的下侧受拉上侧受压，最大拉压应力的绝对值相等。利用对称性，并借助变形协调条件跨中转角为零可得

跨中截面上的最大拉应力

拱形桥的力学模型可简化为图3(a)，矢高H=7.23 m，其他数据同直梁。借助于有限元软件ANSYS，计算结果如图3(b) 所示，最大拉应力发生在拱形桥顶部的最下侧，其值σt,max=0.149 MPa，可见此时的最大拉应力远低于直梁，拱形设计充分利用了岩石抗压不抗拉的力学性能，使得拱桥不容易破坏，提高了桥梁的使用寿命。

图2 等直梁力学模型图

图3 拱形桥力学模型图

图4 铁路轨道伸缩缝

图5 铁路轨道力学模型图

另外指出，拱的上方为空腹这一设计理念也是非常合理的，一方面可以减小桥的自重，从而增加自身的承载能力，同时可增大泄洪的能力，减小河水对桥的侧向压力。

通过本案例的讲解，可以使同学们深刻理解材料的力学性质对桥梁设计的重要影响。石块是典型的抗压不抗拉的脆性材料，拱形桥充分体现了“才尽其用”的设计理念，完全符合现代拱桥设计原则。

案例2过去乘坐普快绿皮火车时，总会时不时听到“哐当、哐当” 的声音，同时伴随着车身剧烈的晃动，是什么原因造成的？这是由于过去的铁路线路是由一段段的铁轨铺成的，两段铁轨中间留有缝隙，如图4 所示。预留缝隙的目的是考虑四季更替会导致铁轨热胀冷缩进而在铁轨内部产生温度应力。温度应力是如何产生的？又受到哪些因素的影响呢？下面作一个简单的力学分析。

温度的变化并不一定在构件内部产生应力，如图5(a)所示，铁轨一端固定，一端自由，设铁轨长为l，横截面积为A，材料线膨胀系数为α，弹性模量为E。若环境温度升高∆t，则铁轨将伸长∆l=α∆tl，此时铁轨中不会产生温度应力。而在实际问题中，每一段铁轨的两端是牢牢固定在轨枕上的，如图5(b)所示，这是一个静不定结构，多余约束的存在限制了铁轨的自由伸缩，约束反力FR将温度升高产生的变形给压了回去，并有关系式FRl/(EA) =α∆tl，铁轨内产生的温度内力FR=EAα∆t，温度应力σ=Eα∆t。在接头处预留缝隙，目的是保证铁轨在温度变化时能够自由伸缩，避免产生温度应力。正是由于这个缝隙的存在，导致火车通过铁轨接头时发出巨大的“哐当” 声。

总之，温度应力属于超静定杆件讲授的内容，超静定结构热胀冷缩引起的温度应力是工程设计中必须要考虑的影响因素。铁轨铺设过程中预留伸缩缝，就是为了避免由于产生过大温度应力引起的强度破坏，保证了火车的安全行驶。

案例3如图6 所示，有体重均为800 N 的两人，需要通过一条河，河面上只有一条长度为6 m 的独木桥。已知该独木桥的许可弯矩[M] = 600 N·m，假设独木桥重量可以略去不计。试问：两人采取什么措施才能安全过河呢？

图6 案例3 示意图

经分析可知，一个人是无法单独过桥的，因为当人走到桥中间时，跨中的弯矩为800 N·m，超过了独木桥的承载能力。要顺利过桥，需要两人配合，弯矩图如图7 所示。

图7 外伸梁弯矩图

假设其中一人站在桥外侧x1处，另一人站在桥内侧距离右支座x2处，通过简单计算得到桥上的最大正负弯矩为

由M1≥[M]，得

由M2≥[M]，得(4−x1)x2+3 ≥0，即

设f(x2)=x2+3/x2，则f(x2)min=；由4−x1≥f(x2)min，得x1≥0.536 m.

结论：一人站在桥外侧0.536 m 到0.75 m 之间，另一人可以安全过桥。

通过本案例，可以使学生们清楚，正确列出梁各段的弯矩方程并算出最大弯矩值是材料力学强度分析的关键点。

案例42019 年10 月10 日晚，江苏无锡一座高架桥发生倒塌事故(如图8 所示)，造成严重的人员伤亡和财产损失[8]。经调查，此次事故发生的直接原因是运输车辆超载所致。近几年由于货车超载导致的桥梁垮塌事故时有发生，一方面离不开自身利益驱动，这属于社会问题，暂且不谈，单从力学角度对本次事故作简单分析，以期尽可能避免类似事故的发生。

图8 无锡高架桥垮塌事故图

此桥属于单柱式桥墩桥，这种设计的优点是建造成本低，缺点是桥的承载能力较差。该桥为单向两车道设计，事故发生前载有六个钢卷的半挂式货车总重量达到了187 t，车辆行驶至事发路段时偏向桥梁最外侧，偏载过大，导致桥面发生侧翻。

改进措施一：将桥墩设计为双柱式，如图9(a)所示，两个桥墩之间的横梁相当于外伸梁，力学模型如图9(b) 所示，外伸梁的承载能力要远大于单柱式的悬臂梁结构。

图9 高架桥改进措施图

改进措施二：当然，若将货车后面的平板宽度加宽，增加货车车轮和车轴数量，进而增加载荷与桥梁的接触面，使桥梁的受力分散[9]，也可以起到增加桥梁承载能力的目的。

事实上，如何提高承载能力一直是桥梁设计过程中非常重要的环节，基于材料力学中弯曲强度分析，措施之一就是降低梁上的最大弯矩值。通过合理设置桥墩的位置将悬臂梁或简支梁设计修正为外伸梁，或者将集中载荷分散为均布载荷，都可使梁上的最大弯矩降低，达到提高梁的承载能力的目的。

案例5自1825 年英国建造了世界上第一条铁路开始，在19 世纪末到20 世纪初，铁路建设进入大发展时期。由于当时科学技术发展水平所限，发生过一系列铁路桥杆件系统的破坏事故，例如1876 年美国阿什特比拉桥破坏、1891 年瑞士明汉斯太因村铁路桥破坏、1907 年加拿大魁北克圣劳伦斯铁路桥倒塌等。这些工程事故，均造成了严重的人员伤亡和巨大的经济损失，其中很重要的破坏原因是当时的设计师对压杆稳定问题认识严重不足。这一类铁路桥大多数采用金属桁架式设计，其中包含很多细长压杆，因为采用了不合理的经验公式计算临界应力，导致压杆发生失稳最终引起整座桥梁的垮塌。

通过本案例，不仅使学生们充分认识到区分细长杆、中长杆等概念的重要性，更使学生们切身体会到在工程设计中力学是无处不在的。

3 教学实践效果分析

作者在近五年的教学过程中，对铁道桥梁类本科生均采用了工程案例分析授课模式，学生人数累计近500 人。为了检验工程案例教学的实施效果，作者在2019 秋季学期给桥171-3 班(112 人) 和地下171-2 班(93 人) 讲授材料力学课程时，对桥梁工程专业采用本文提出的工程案例讲授法，而对地下工程专业仍采用常规的授课方式授课。

授课期间，对两个专业的同学进行了问卷调查。例如在完成梁的弯曲应力这一章的授课之后，开展了如下的调研：(1) 你对本章内容是否感兴趣？选项设置为感兴趣、一般和没兴趣；(2) 你能否将本章所学内容应用到生活或工程实际问题中？选项设置为可以、一般和不能。针对第一个问题，桥梁工程专业有92.4%的同学表示对本章内容感兴趣，针对第二个问题，87.3%的同学选择“可以”选项；针对第一个问题，地下工程专业有58.2%的同学选择“一般”，更是仅有25.6%的同学对第二个问题选择“可以” 选项。

另外，两个专业的考试成绩也有很大差别。桥梁工程专业课程期末考试80 分以上人数占比为43.6%，不及格率为9.8%，平均分为72.1；地下工程专业80分以上人数占比为30.3%，不及格率为20.5%，平均分为64.8。

由以上的调查和分析结果可以看出，结合专业背景进行材料力学教学的教学效果是非常成功的，值得进一步推广应用。

4 结语

材料力学是一门与工程实际问题联系紧密的课程，本文结合铁道工程、桥梁工程的专业特点，在授课过程中适时加入与专业学习有关的工程实例，得到如下结论：

(1)材料力学课程内容与很多工程实例甚至现实生活实际问题息息相关，任课教师在备课过程中应当尽量多地搜集相关素材，以尽早地建立课程学习服务于工程实际、解决实际问题的理念。

(2)借助于一个个鲜活的工程案例讲解，既开阔了学生们的视野，又提升了学生们借助材料力学知识解决工程实际问题的能力，激发了同学们材料力学课程学习的兴趣。

(3)无专业差别的材料力学学习，由于学生与后续专业课程的学习严重脱节，在一定程度上会影响到他们对专业课学习的兴趣。故任课教师在授课过程中应加强学生专业领域相关实例特别是最新案例的分析，这从另一个方面也对任课教师提出了更高的要求。

(4)通过这几年的授课实践和问卷调查结果可以发现，这种模式得到了同学们的普遍认可，取得了良好的教学效果，建议进一步推广。