李红影 李 欣 王雪琦

(东北大学理学院，沈阳110819)

轴向运动结构在工程实际中有着广泛的应用，如动力传送带、带锯、轧制中的钢板、连续热镀锌生产线上的镀锌板等。国内外众多学者对轴向匀速运动结构的振动和稳定性问题进行了大量研究[1-4]。Li等[5]研究了轴向运动黏弹性夹层梁的非线性强迫振动和稳定性。刘金堂等[6]利用数值方法研究了受周期激励轴向运动大挠度板横向振动的稳定性及分岔特性。Ghayesh 等[7-8]研究了轴向运动板的非线性动力学特性及全局分岔。李红影等[9]分析了轴向移动局部浸液单向板的内共振特性及运动分岔现象。

然而实际中由于各种因素的影响，结构很难以严格的均匀速度运动，速度通常具有周期脉动量，故系统会表现出更加复杂的动态特性。杨晓东等[10]应用多尺度法研究了黏弹性轴向加速运动梁横向振动的稳定性。Tang 等[11]应用多尺度法分析了轴向变速运动黏弹性板参数共振的稳定性。Lü等[12]研究了时变速度下轴向运动黏弹性夹层梁的非线性参数共振，考察了各参数对系统幅频响应曲线和稳定性区域的影响。Zhu 等[13]采用多尺度法分析了轴向加速运动黏弹性夹层梁的参数共振、内共振、分岔及稳定性。Sahoo 等[14]研究了时变张力、时变速度作用下轴向运动黏弹性梁的稳定性、分岔及混沌等非线性动力学行为。

本文中力学模型来源于钢铁行业中热镀锌生产线，如图1 所示。在连续热镀锌生产过程中，稳定辊与接触滚之间的带钢很容易发生振动，而该部分带钢的振动将直接影响镀锌质量，因而急需研究该部分带钢的振动稳定性，进而加以控制。取图1 中稳定辊与接触辊之间的带钢为研究对象，其简化模型如图2 所示，视其两端简支，两端自由。

本文研究了时变速度作用下对边简支对边自由轴向运动浸液板的非线性动力学行为。在 von K´arm´an 大挠度板理论基础上，考虑流固耦合、张力、时变速度、几何非线性等，建立模型的非线性动力学方程；应用Galerkin 方法对其离散，获得模态坐标上的方程组；分别应用近似解析法、数值方法研究了浸液板的非线性动力学行为。

图2 轴向运动局部浸液板模型

1 基本方程

板长度，宽度，厚度分别为a，b，h；在空气中部分长度为x1；板密度，弹性模量，泊松比分别为ρ，E，µ；液体密度为ρf；板承受的轴向张力为F；沿x轴的运动速度为v(t)，其表达式为

式中，v0为平均速度，v1为脉动速度幅值，Ω为扰动频率。

应用速度势函数和伯努利方程将流体与板之间的耦合作用等效为附加质量和附加阻尼[15]，考虑到实际中稳定辊与接触辊之间的带钢仅发生弯曲变形，故本文基于von K´arm´an 薄板大挠度理论，建立了张力作用下轴向变速局部浸液单向板的弯曲振动方程[16]

通过模态展开研究轴向变速运动局部浸液板的动力学特性，板弯曲变形为

式中，Um(x) 是单向板弯曲振动的振型函数；qm(t)是关于时间t的未知函数，其求解方法详见文献[15]。文献[15]详细地介绍了液体与板之间的耦合作用，讨论了液体对板固有特性的影响。

将式(2) 代入式(1)，选取前两阶模态，应用Galerkin 法对式(1) 进行离散，可得模态坐标上的非线性方程组

其中，si(i= 1,2,··· ,16)，di(i= 1,2,··· ,8)，ri(i=1,2,3,4) 均为积分系数。

2 多尺度分析

应用多尺度法对轴向变速运动局部浸液板的参激振动进行分析，引入小参数ε，并令si=ε(i=1,2,4,5,6,···11,13,14,15,16)，s3=ε，s12=ε，di=ε(i= 1,2,··· ,8)，ri=ε(i=1,2,3,4)，hi=ε(i=1,2,3,4)。

若扰动频率Ω接近线性系统第一、二阶固有频率之和，系统将会发生组合共振。为了描述Ω与ω1+ω2的接近程度，引入调谐参数σ，则有

应用多尺度法分析式(3)，并考虑关系式(4)，可得系统组合共振的平均方程组

其中，γ=−θ1−θ2+σT1。

其中，ei(i=1,2,··· ,14)是通过上述变换后的系数。

通过分析式(6)，可得到系统组合共振特性随浸液板张力，平均速度，脉动速度幅值，扰动频率等参数的变化情况。

3 数值计算

局部浸液板几何与物理参数：a= 1.95 m，b=0.86 m，h= 1 mm，E= 2.07×1011N/m2，µ=0.3，ρ=7.85×103kg/m3，ρf=1.0×103kg/m3，x1=1.4 m，M1= 7.85 kg/m2,M2= 303.5 kg/m2,c1=20 N·s/m3,c2=58.4 N·s/m3。

由式(6) 可获得如图3 所示的系统复杂结构形式的幅频响应曲线，其中图3(a)和图3(b)为系统平均坐标上的曲线，图3(c) 为物理坐标上的曲线。为了比较验证解析结果，通过多尺度法逆过程将平均坐标上的幅值转换到物理坐标上，并与数值解进行了对比，如图3(c)所示，其中周期解的稳定性是应用李雅普诺夫一阶近似理论进行分析的。并应用此近似解析法和数值方法验证了文献[17-18] 中Duffing方程的振动特性。此外，观察式(6) 可发现，系统始终存在一个平凡解，文中为了便于观察各参数对系统幅频响应曲线的影响规律，幅频响应曲线中仅包含了非平凡解。

分析图3 可以发现，轴向变速运动浸液板发生组合共振时解是十分复杂的，幅频响应曲线有多个解支，而仅有一个解支的解是稳定的(图3 中实线部分)；模态幅值a2明显小于模态幅值a1，表明系统发生组合共振时，第一阶模态贡献更多能量；幅频响应曲线出现了滞后和跳跃等现象，系统出现分岔特性。

图3 组合共振幅频响应曲线

图4∼图6 考察了平均速度、脉动速度幅值、张力等参数对组合共振系统幅频响应曲线的影响。图4 描绘了模态a1，a2随平均速度的改变而变化的情况，选取v1=40 m/s，F=2000 N，图(a1)，图(b1)，图(a2)，图(b2) 以及图(a3)，图(b3) 的平均速度分别为v0=2 m/s，v0=3 m/s，v0=4 m/s。

分析图4 可以发现，随着平均速度的逐渐增大，系统呈现出更加复杂的动力学特性，主要表现为：系统周期解由4 个先变化为2 个，然后再次增加为4个，之后随着调谐参数的进一步增大，系统产生分岔，周期解再次恢复为2 个；幅频响应曲线a1在起初阶段4 个解支耦合更加复杂；共振区域逐渐增大；与模态a2相比，a1的变化较为明显。

图5 选取v0= 2 m/s，F= 2000 N，其中图(a1)、图(b1)，图(a2)、图(b2) 脉动速度幅值分别为v1=20 m/s，v1=30 m/s。观察图5 可以发现，随着脉动速度的逐渐增加，系统幅频响应曲线结构形式发生明显变化，周期解4 值区范围增大，共振区域增大。

选取v0= 2 m/s，v1= 40 m/s，图6 中，图(a1)、图(b1) 和图(a2)、图(b2) 张力分别为F= 3000 N，F= 4000 N。随着张力的逐渐增大，系统幅频响应曲线结构形式发生变化，耦合现象逐渐淡化，周期解4 值区范围变小，共振区域减小。

图4 平均速度对幅频响应曲线的影响

图5 脉动速度幅值对组合共振幅值的影响

图5 脉动速度幅值对组合共振幅值的影响(续)

图6 张力对组合共振幅值的影响

4 结论

本文研究了时变速度下局部浸液板的参数振动特性。基于Von K´arm´an 大挠度板理论，建立了局部浸液板的非线性动力学方程。分析了当系统扰动频率Ω接近线性系统第一、二阶固有频率之和即Ω=ω1+ω2+εσ时，系统的组合共振特性。详细地考察了平均速度、脉动速度幅值、张力、扰动频率等参数对系统动力学特性的影响。结果表明：系统发生组合共振时，流固耦合系统表现出丰富多变的非线性动力学行为；第二阶模态响应幅值a2明显小于第一阶模态响应幅值a1，即系统发生组合共振时第一阶模态提供更多能量；张力、平均速度、脉动速度幅值、扰动频率均影响系统的动力学特性，致使系统幅频响应曲线结构形式产生显著变化；平均速度、脉动速度幅值越大，张力越小，系统组合共振区域越大；与张力相比，速度对系统振动特性的影响更加显著，通过优化浸液板轴向运动速度的大小及脉动量可以有效稳定其振动。