方明霞 陈 洁

(同济大学航空航天与力学学院，上海200092)

材料力学是理工科相关专业的重要专业基础课，与工程问题密切相关。通过材料力学的学习，不仅可以培养学生严密的逻辑思维能力，为后续课程学习打基础，还可以培养学生解决实际问题的能力，强化工程应用意识。将材料力学课程学习与工程应用紧密结合已受到众多教育工作者的重视。马国军等[1]将一些新颖的与教材内容相关、且带有趣味性的拓展知识引入材料力学教学中，如纳米材料的力学性能、预折纹管的局部屈曲等。指出通过新知识的引入，可以有效提高学生学习的积极性和主动性。杨晓峰等[2]以工程问题为导向，进行材料力学的教学改革与实践，介绍了应用材料力学中的基本原理解决工程问题的思想与方法。胡海岩[3]以航空科技工业所需的强度工程师为例，分析了人才培养中知识结构的变化情况，指出需要培养大批具有工程意识的工程技术人员。朱公志等[4]分析了以工程实际案例为核心的材料力学教学的基本特点和优势，阐述其在教学中的作用。李俊峰等[5]通过对小行星不规则引力场及复杂周期轨道的研究，尝试提炼其中与动力学相关的科学问题。

总体看来，目前尝试将拓展知识与基础力学教学有机结合的教学实践论文正呈上升趋势。但在当前课时被大量压缩的情况下，如何在保证教学大纲要求的基础上，适当引入与知识点相关的工程拓展知识，是目前很多教育工作者思考的问题。本文在如何进一步发挥在线课程平台优势、有效整合课程素材资源方面进行了探索，尝试以扩展阅读的形式将与课程知识点相关的工程案例和论文等引入在线课程，并有意识地引导学生去在线课程中学习相关内容。如关于材料力学课程中的疲劳强度问题，一般材料力学教材主要针对稳定交变应力下金属材料的疲劳进行介绍，那么不稳定交变应力、非金属材料的疲劳问题如何处理？学生很容易产生这样的疑问。事实上，这些工况恰恰在工程中更具普遍性，如汽车在路面上行驶，受到的路面激励具有随机性，汽车中所有构件的疲劳皆属于不稳定交变应力下的随机疲劳。而汽车中除金属材料外，还包含大量非金属材料，如发动机悬置、车身连接件—– 橡胶衬套中均包含橡胶，作为连接件的橡胶疲劳破坏问题是汽车设计中必须关注的问题。为此本文以疲劳问题为例，依托在线课程平台，通过实例将不稳定交变应力下金属材料疲劳、非金属材料疲劳等与工程密切相关的内容，以扩展阅读的形式放在疲劳分析的扩展部分进行介绍，以拓展材料力学的教学内容。

1 材料力学教材中对疲劳问题的研究

疲劳破坏是指构件在交变应力下虽处于较低的应力水平(应力满足强度条件)，但经长期反复工作后，仍会发生突然断裂的一种破坏形式。各种交变应力中，周期和应力幅都不变的称为稳定交变应力；周期变化而应力幅不变的称为等幅疲劳；周期不变而应力幅变化的称为变幅疲劳；周期和应力幅都变化的称为随机疲劳。变幅疲劳和随机疲劳都是构件受到不稳定交变应力而产生的。

材料力学教材中主要研究金属材料在稳定交变应力下的疲劳问题。由于疲劳破坏是低应力破坏，因此不能用静强度下的屈服极限或强度极限作为依据。在疲劳问题研究中，首先通过试验获得不同材料在对称循环下的应力−疲劳寿命曲线(也称σ–N曲线)，如图1 所示。然后通过计算获得构件的工作应力，利用该曲线进行疲劳寿命估算，或利用水平线对应的疲劳极限或名义疲劳极限，结合构件外形、尺寸及表面质量等因素，基于无限寿命或有限寿命对构件疲劳强度进行校核。

图1 金属材料σ–N 曲线

对称循环(r=−1) 下构件疲劳强度校核

非对称循环下构件的疲劳强度校核

式(1)和式(2)中，nσ为工作安全系数，n为规定安全系数，σ−1为材料疲劳极限，σmax为最大应力，Kσ为有效应力集中系数，εσ为尺寸系数，β为表面质量系数，σm为平均应力，σa为应力幅，ψσ为不对称性敏感系数。

以上介绍的课本中的研究方法主要针对稳定交变应力下金属材料的疲劳问题，作为课本知识的拓展内容，下面分别介绍不稳定交变应力、非金属材料的疲劳问题的解决方法。

2 拓展知识1 —— 不稳定交变应力下金属材料的疲劳问题

由于工程结构在工作中受到的交变应力往往具有不稳定性，对不稳定交变应力作用下构件的疲劳问题如何处理？现对该问题进行介绍，并以汽车前轴随机疲劳为例，对不稳定交变应力作用下构件的疲劳特性估算进行说明。

2.1 金属材料在不稳定交变应力下疲劳特性分析方法

对于在不稳定交变载荷作用下的构件，由于有多个应力幅值，无法直接用上一节介绍的σ–N曲线进行寿命估算。对于这类问题，一般需要联合采用多种方法进行分析。首先通过雨流计数法，将不稳定交变载荷变换成多组均值、幅值块；然后根据Goodman 经验公式，对雨流计数结果进行零均值应力转换；再利用σ–N曲线，得到转换后各载荷块对应的疲劳寿命；最后利用Miner 线性疲劳累积损伤理论，得到构件在变幅载荷作用下的损伤度，进而估计构件的使用寿命。下面对这些方法进行简要说明。

(1) 采用雨流计数法对不稳定载荷谱进行处理

结构在工作中受到不规则载荷作用，会激起系统产生多个动态响应。结构中某一点的响应函数统称为应变−时间历程，可以是应力、应变或其他任何可以说明结构应力信息的量。由于应力−时间历程的不规则性，通常采用雨流计数法将其简化成“典型载荷谱”。雨流计数法示意图如图2 所示，上半部分为应变−时间历程，下半部分为对应的循环应力−应变曲线，由三个小循环B−C −B′,E−F −E′,G −H −G′和一个大循环A −D −A构成，逐次将构成较小迟滞回线的小循环提取出来重新加以组合。处理后图2 简化成图3 的简单载荷谱，包括四个不同幅值的载荷循环，它与原载荷谱引起的疲劳损伤是等效的。

图2 雨流计数法示意图

图3 简化后的载荷谱

(2) 处理成对称循环的等效应力幅

从图3 中可以看出，简化后的载荷谱一般均值不为零，可以采用恒寿命图将其转化为对称循环下的等效应力幅。常用的恒寿命图模型——Goodman模型如图4 所示。

图4 Goodman 恒寿命图

恒寿命模型认为，应力幅与平均应力之间的不同配合可得出一恒定的疲劳寿命，图4 中三条斜线各代表一种寿命，利用直线方程把实际应力状态(σm，σa)转化为σm=0、应力幅σn=σa/(1−σm/σb)的情况(其中，σb为抗拉强度极限)。再利用σ–N曲线进行各载荷块疲劳寿命Nfi的计算。

(3) Palmgren–Miner 累积损伤法则

经雨流计数法处理后获得的载荷谱一般具有多个幅值(见图3)，也将对应多个疲劳寿命。可以采用Palmgren–Miner 累积损伤法则来预测载荷块产生的总累积损伤

式中，D为总累积损伤度，ni为第i种载荷下的工作循环次数，Nfi为第i种载荷对应的疲劳寿命。当D=1 时达到临界破坏状态。

2.2 实例分析—— 汽车前轴随机疲劳寿命分析

现以汽车前轴随机疲劳为例对上述方法进行说明。由于汽车前、后轴处于悬架下方，来自地面的随机激励得不到缓冲，因此更易产生随机疲劳破坏，汽车前轴所在位置见图5。

图5 汽车前轴位置图

首先对普通组合路面的载荷谱信号进行采样、标定(取L0为10 000 km)[6]，通过雨流计数法得到多个载荷块，对应的应变均值εmj、幅值εai和工作循环次数nij的分布直方图见图6。

图6 应变均值与幅值的分布直方图

采用Goodman 疲劳经验公式进行等寿命转换，若汽车前轴材料为42CrMo，σb=1133.9 MPa，E=2.1×106MPa。由σ=Eε，得

将对应数据代入式 (4)，可分别求得σ11=0.510 9 MPa，σ12= 0.511 4 MPa，···，σ88=1.886 8 MPa。

将获得的结果代入σ–N曲线，得到前轴疲劳寿命Nfij。由σ11=0.510 9 MPa，可得Nf11=8 307 172次，类似可得：Nf12=83 071 140 次，Nf88=7 216 057次。

由nij和Nfij，可得该车前轴的损伤度Dij。如n11=15，Nf11=8 307 172，得D11=1.8×10−6。利用Miner 线性累积损伤理论，得汽车前轴总损伤度

由于L0= 10 000 km，该车前轴对应寿命里程Lz=L0/D= 2 323 831 km。至此获得汽车前轴的随机疲劳寿命。

3 拓展知识2 —— 非金属材料的疲劳问题

由于非金属材料与金属材料的本构特性不同，非金属材料在进行疲劳分析时一般不能采用传统的σ–N曲线，这给非金属材料的疲劳分析带来很大困难。

目前国内外非金属材料疲劳分析主要采用软件计算或疲劳试验获得。由于软件分析时往往以准静态进行模拟，有很大局限性；而依赖负荷测试虽有优势，但不能用于产品设计阶段。因此将理论计算和疲劳试验相结合，从能量角度对非金属材料的疲劳寿命进行分析是较合理的方法[7-8]。现以比较典型的非金属材料—— 橡胶为例，说明汽车中橡胶衬套寿命估算方法。

图7 橡胶衬套所在位置及实物模型

橡胶衬套作为弹性连接件，广泛应用于汽车车身与副车架、动力总成之间。图7 为汽车中橡胶衬套所处的位置及其实物结构图。对于橡胶材料的疲劳分析，可以采用有限元计算和疲劳试验相结合的方法，以应变能密度作为疲劳损伤参数，从能量角度对橡胶元件的疲劳特性进行分析。首先通过试验获得橡胶本构模型

式中，U为应变能密度，I1为主伸长比的第一不变量，Ci0为材料系数。Ci0可以通过试样单轴拉伸试验获得(见图8)。

利用获得的材料本构模型参数，在ANSYS 中建立橡胶衬套三维实体有限元模型。通过计算得到不同载荷P下橡胶的最大应变能密度Umax，见图9。然后通过疲劳试验获得橡胶衬套在对应载荷P下的疲劳寿命Nf，见图10。由此得到橡胶衬套在不同载荷工况P下的Umax与Nf之间的关系曲线，如图11所示。利用幂函数模型得到橡胶疲劳寿命预测公式

式中，a，b为材料常数。对于实际工况下橡胶衬套疲劳寿命估算，只要获得其在汽车不同行驶工况下的最大应变能密度，代入式(6)，即可获得其疲劳寿命的估算值。

图9 橡胶衬套有限元模型和应变能密度分布云图

图10 橡胶衬套疲劳试验

图11 橡胶最大应变能密度−疲劳寿命关系曲线

4 总结

本文以材料力学课程中与工程紧密相关的疲劳问题为研究对象，将课本中介绍的金属材料在稳定交变载荷作用下的疲劳问题，拓展到不稳定交变应力下金属材料的疲劳及非金属材料在不同载荷作用下的疲劳问题，主要工作如下：

(1)课本中介绍的金属材料在稳定交变载荷作用下的疲劳问题，主要通过试验获得不同材料在对称循环下的σ–N曲线。利用该曲线可以对工程结构进行疲劳寿命估算，或基于无限寿命或有限寿命设计对构件疲劳强度进行校核。

(2)以汽车前轴随机疲劳为例，引入不稳定交变应力下金属材料疲劳寿命的估算方法。通过试验提取关键节点的应力时程曲线，根据雨流计数法将其等效为不同应力幅的循环；同时根据Goodman 修正公式，对载荷谱进行零均值应力转换，并利用Miner线性疲劳累积损伤理论得到构件的疲劳破坏特性。

(3) 以汽车中弹性连接件—— 橡胶衬套为例，介绍非金属材料疲劳寿命估算方法。采用有限元计算和疲劳试验相结合的方法，以应变能密度作为疲劳损伤参数，利用超弹性本构模型，从能量角度对橡胶元件疲劳特性进行分析，并利用幂函数模型得到橡胶最大应变能密度与疲劳寿命之间的关系，获得橡胶疲劳寿命估算公式。

在基础力学各门课程课时比较紧张的情况下，利用在线课程将拓展知识放在书本知识的扩展部分进行介绍，并在课堂上将其作为思考题，有意识地引导学生去学习相关内容。通过这种形式将基础力学与工程实践紧密结合，对提高基础力学的教学深度和广度将起到重要的促进作用。