马 杭 马永其 丁伟东 丁 超(上海大学力学与工程科学学院，上海200444)

†(上海樟祥电器成套有限公司，上海201400)

通常强度是指物体承受载荷而不破坏的能力，刚度是指物体抵抗变形的能力。材料力学以杆、柱、轴、梁等简单构件为研究对象，其几何特征是一个方向的尺度远大于另外两个方向的尺度[1-2]。学生通过杆柱的拉压、圆轴的扭转、梁的弯曲的学习，逐步建立起强度和刚度的概念。在学生时代曾经问过老师这样的问题：“满足了刚度指标的构件，其强度指标一定能够满足吗？”作为教师，有时候也会被学生问到类似的强度与刚度关系的问题。事实上，刚度指标是针对构件使用性能的需要而提出的对变形的限制或变形能力的要求。显而易见，对构件刚度的要求具有多样性。例如在生活中，秤杆不允许产生明显的变形以保证其称重的准确性，而扁担则需要较大的弯曲变形能力才能在使用时省力。在工程上，对变形限制比较严格如有机床主轴等，其中有些变形限制隐含了对受力稳定性的要求，特别是薄壁构件，例如起重机的箱型主梁[3]等。而板簧以及其他各类弹簧则要求具有较大的变形能力来实现储能或减振隔振的功能，尽管这些不同的物体变形的大小和形式多种多样，但显然都必须以满足强度的要求作为前提。

另一方面，由于变形的测量比应力测量来的方便，在构件生产制造中往往通过变形测量来检验构件的合格性，或者通过变形测量来确定构件的安全工作载荷，作为设计计算的依据或对其加以验证[4]。毫无疑问，从正常服役的要求来说，构件的强度和刚度指标都必须同时得到满足。然而，强度和刚度显然是两个完全不同的概念，不容混淆。强度和刚度之间是否存在普遍的确定的关系，以及二者通过怎样的方式联系起来，搞清楚这个问题，不仅有助于加深对基本概念的正确理解，提高教学水平和学生的学习兴趣，也是工程实际中设计者和生产者所十分关心的重要问题，具有普遍的意义[3,5]。

材料力学是本科生接触到的第一门变形体力学，其理论性和实践性都很强[6]。教学的改革与创新，首先应当在教学内容上下功夫[7]，其次要紧密结合工程实际，在理论教学中适当地引入实践性问题[8]。由此出发，本着节材节能绿色制造的理念，本文通过弯曲梁的强度与刚度之比的定义，简要地探讨梁的静载强度与刚度之间的关系，以期在确保安全的前提下达到优化设计的效果，同时在教学上加深学生对基本概念的理解与掌握，提高学习积极性。

1 弯曲梁的强度与刚度之比

工程上弯曲梁在服役状态下必须同时满足强度和刚度的要求，梁的强度条件表达为[1-2]

式中，σmax和M分别为弯曲梁的危险截面上的最大应力和弯矩，Iz为梁的轴惯性矩，h0为梁横截面的边高，h为横截面到中性轴的最大距离，如图1 所示。通常h≥0.5h0(图1(a))，仅当横截面几何关于中性轴对称时h= 0.5h0(图1(b))。[σ] 和σ0.2分别为材料的许用应力和条件屈服应力，ns为强度条件的安全系数。弯曲梁的刚度条件可写为

式中，y0为无量纲挠度，定义为梁的最大挠度与跨距l的比值。在本文中，悬臂梁的无量纲挠度在梁的自由端处定义，简支梁在跨距的中点处定义。梁的许用无量纲挠度[y]则是结合了服役的经验，综合考虑了梁变形的限制以及防止失稳的要求，并考虑了刚度条件的安全系数nr后所给出的控制参数。一般来说，强度条件与刚度条件的安全系数未必相等。显然，满足强度条件(1)和刚度条件(2)是在梁的设计过程中时刻要考虑的重要问题。

图1 梁的横截面与中性轴

处于弹性状态的物体，其受力和变形存在确定的对应关系，材料服从虎克定律，由此可定义材料的许用应变[ε] 和条件屈服应变ε0.2，分别为

式中，E为材料的弹性模量。许用应变[ε] 与许用应力[σ]可以看作是考虑了安全系数后的材料参数，二者通过虎克定律相联系。分别将梁的强度条件(1)和刚度条件(2) 改写成无量纲的形式

不失一般性，假定弯曲梁的强度条件和刚度条件取相同的安全系数，即n=ns=nr。安全系数在本质上反映了主观与客观之间的某种联系，要考虑的因素很多，本文不作讨论。利用材料力学[1-2]中梁的弯矩和挠度的表达式，将不等式(5)和不等式(6)的左边相除，定义梁的强度与刚度比(简称强刚比) 为

式中，h/l为梁的高跨比，Cβ为梁的特性系数，其定义为

其中，ymax和y′′max分别为梁的挠度及其二阶导数的最大值，注意梁的最大挠度和最大二阶导数的位置不一定重合。式(7) 还可以写成

事实上，式(9)与式(7)给出的强刚比定义是完全相同的，式(7) 适合于理论分析，而式(9) 便于在工程上利用数值计算或者试验来得到梁的强刚比。需要指出的是，强刚比是利用强度条件和刚度条件来定义的，强刚比用无量纲的形式表达了梁的强度与刚度之间的定量关系，但与载荷的大小并无关系。在理想的工作状态下，有β=1，梁的强度条件(1) 和刚度条件(2) 同时得到满足。表1 列出了一部分梁的特性系数，并按其大小顺序进行了排列。

表1 某些常见梁的特性系数Cβ 的数值

2 关于强刚比的讨论

2.1 影响强刚比的因素

由式(7) 可知，梁的强刚比与材料的许用应变[ε]、梁的许用无量纲挠度[y]、高跨比h/l以及特性系数Cβ的数值大小等因素有关，其中[ε] 代表了材料的影响。当安全系数一定时，由式(3) 可知，许用应变[ε] 是允许的材料弹性应变最大值。高跨比h/l属于几何参数，是设计时能够直接调节的参数之一。许用无量纲挠度[y] 的取值则与梁的用途的多样性有关，从机床主轴[1]的10−4到箱型起重机梁[3]的10−3，从电缆桥架[4]的0.005 到板簧的0.1 左右。对于不同用途的梁，其许用挠度的取值显然存在着数量级的差异。

关于梁的特性系数，由式(8) 的定义可知，Cβ由ymax和y′′max，即梁的挠度及其二阶导数的最大值来决定。众所周知，根据材料力学的梁理论[1-2]，y′′是曲率的近似值，对应于梁的局部变形。由于曲率与该处梁截面的弯矩相对应，而弯矩的分布规律取决于梁的加载方式和支撑形式。挠度y则是通过对y′′进行二次积分并结合边界条件得到的，因此Cβ反映了梁的载荷与支撑的影响。从数学的角度来看，对y′′与y加以比较并考虑到二者之间的积分(或微分)关系，如果说y′′在一定程度上反映了梁的局部变形特性，y则更多地反映了梁的整体变形特性，在这个意义上，Cβ也是梁的局部变形与整体变形关系的某种反映。

由表1 可知，Cβ的数值变化范围是相当大的。对于相同的支撑形式，集中载荷的Cβ数值大于均布载荷的，说明在集中载荷作用下，梁的局部变形的不均匀性相对较大，均布载荷的相对较小；对于不同的支撑形式，简支梁的Cβ数值大于悬臂梁的，固支梁的Cβ数值又大于简支梁的，反映了约束的强弱对梁的整体变形的影响。比较而言，悬臂梁的约束相对较弱，简支梁居中，固支梁最强。可以说，Cβ数值变化的范围反映了梁的结构形式和加载方式的多样性对强刚比的影响。

通过前面的讨论，梁的强刚比受到材料性能、几何特点、加载方式、支撑条件、许用挠度等多种因素的影响，因此从理论上看，强刚比的数值可以在很大的范围内变化。

2.2 关于强刚比的取值范围

本文前面提出的问题，即“满足了刚度指标的构件，其强度指标一定能够满足吗？”可通过对强刚比的分析来回答。根据强刚比的定义可知，强刚比等于梁的最大无量纲挠度达到许用挠度的时刻，梁的危险截面上最大应力与许用应力的比值。在理想的工作状态下β=1，梁的强度条件和刚度条件能够同时获得满足，材料的利用率最为合理。由于影响强刚比的因素较多，其数值变化的范围很大，要求弯曲梁恰好工作在理想的状态之下，在设计上未必容易实现。但另一方面，多种影响因素的存在也为设计者提供了便利，即通过参数的调整，使得弯曲梁工作在接近理想的状态之下，即β值接近于1。如果梁的强刚比大于1，梁在刚度方面的安全性将高于强度方面的安全性。具体而言，当强度条件(5) 取等号时，刚好满足了梁的强度条件，刚度条件(6) 的左边必然小于1。这时，可将强度条件(5) 取等号时梁所承受的载荷作为许用载荷，即安全工作载荷。强刚比大于1的情况表明，只要满足了梁的强度条件，梁的刚度条件总是能够得到满足的。

反之，如果梁的强刚比小于1，梁在强度方面的安全性将高于刚度方面的安全性，或者说强刚比小于1 是前述问题“满足了刚度指标的构件，其强度指标一定能够满足”的适用条件。事实上，无论从理论还是从实践来说，人们对强度安全性的考虑总是优先于刚度安全性的考虑的。由于梁的挠度测量简便易行，工程上常常需要通过挠度试验来获取梁的安全工作载荷[4]，即许用载荷。当强刚比小于1 时，以许用挠度为临界的控制参数，加载时通过实时的挠度测量值来控制加载的过程，即可获得偏于安全的许用载荷。综上所述，从充分发挥材料的强度潜力和挠度试验的可行性两方面考虑，在设计上使得强刚比在小于1 且接近1 的范围内取值更为合理，也有利于工程上顺利地开展梁的挠度试验。

2.3 强刚比的数值计算与实验测定

随着数值分析技术的发展和有限元软件的普及，有限元计算已经成为构件设计与优化的重要手段。对于复杂截面的梁结构，简单地采用梁理论进行构件设计并不足以满足实际的需要。利用式(9) 可以方便地从有限元计算的结果得到梁的强刚比。在式(9)中，[σ] 和[y] 为已知参数，y和σmax分别为计算得到的最大无量纲挠度和最大应力。这里需要注意的几点是，第一，计算对象在整体上处于弹性阶段；第二，σmax应当取自最大弯矩所在截面并位于距离中性轴为h的表面处，参见图1，而不是取自构件上的某个应力集中处；第三，σmax可以取作最大等效应力。

辅之以应力测试技术[9]，同样可以利用载荷试验的结果得到梁的强刚比，这时y和σmax应分别为试验得到的最大无量纲挠度和最大应力。一旦获得了梁的强刚比，无论来自计算还是试验，都可以用作构件优化设计的参考，以期最大限度地发挥材料的潜力。

需要指出的是，强度和刚度这些基本概念最初是通过材料力学的学习而建立起来的，理论上的分析与思考正是通过基本概念进行的。无论计算软件发展的多么强大，数值计算并不能代替理论上的分析与思考。而理论指导下的实验是对理论分析与计算结果的最终检验，理论、计算与实验三者相辅相成。

3 结束语

本文提出了梁的强刚比的定义，用无量纲的形式定量地表达了梁的强度与刚度之间的关系，强刚比与载荷大小无关。加载方式、支撑条件、几何特点、许用挠度以及材料性能等多种因素都会影响梁的强刚比，其数值可以在很大的范围内变化。合理的强刚比有利于充分发挥材料的潜力，强刚比的数值可以通过有限元方法或者通过梁的载荷试验来获得。

在教学上，当学生建立起强度与刚度的基本概念并学习了梁的变形之后，适时地把强刚比的概念引入材料力学的教学过程，或开展相关的课外专题活动，将有助于加深学生对基本概念的理解与掌握，促进节材节能绿色制造理念的形成，提高学习材料力学课程的兴趣。