李 凯 薛永江

(上海市应用数学与力学研究所，上海200072)

†(上海市能源工程力学重点实验室，上海200072)

∗∗(上海大学力学与工程科学学院，上海200444)

玩具中蕴含着许多有趣的力学问题[1-5]，对这些问题的分析不但能激发学生学习力学的兴趣，同时也能锻炼学生力学建模、实验操作等多方面的能力[6]。一种能空翻360◦站稳的猴子玩具，因其表演过程令人印象深刻，引起了力学工作者的兴趣。王永等[3]最早对此问题进行了研究，定性的解释了该玩具表演的力学原理。此后，刘延柱[5]对此问题进行了力学建模分析，从理论上分析了猴子玩具表演的力学过程。在已有的这些研究中，实验测量方面的工作开展的较少，文献[3]中虽然给出了一些实验测量结果，但未对猴子玩具的运动过程进行测量。考虑到该问题的直观性和启发性，若能对此问题开展实验研究，对学生学习理论力学课程知识，并在实践中应用、巩固这些知识将是很有帮助的。

本文对猴子玩具进行实验测量研究。首先，通过数字相机采集猴子玩具在不同悬挂姿态下的图像，并结合计算机图像处理方法，获得猴子玩具的质心位置；而后，通过实时观测自由悬挂状态下猴子玩具的摆动，获得猴子玩具的转动惯量；最后，通过小型拉伸试验机拉伸弹簧获得弹簧刚度。此外，本文采用数字图像相关法(digital image correelation，DIC)跟踪测量猴子玩具身上的六个标记点，来获得猴子玩具的质心运动轨迹、质心速度、转动角速度等运动学测量结果。

1 猴子玩具简介

猴子玩具如图1 所示，该玩具主要包括猴身和猴脚两部分，在猴身上有一根发条手柄，猴身和猴脚可以发生相对转动。将玩具上紧发条后置于水平桌面，猴身会缓慢前倾，前倾至某个临界位置时，猴子会突然跳起，在空中翻转360◦后落回桌面站稳(具体运动过程见附件中的视频文件)。为弄清猴子玩具的表演原理，将玩具拆解，如图2 所示。可以看到，猴身由前、后两个外壳组成，猴身内部固定着一个发条盒，猴身与猴脚之间的连接可看做圆柱铰，如图2(b)所示，因此猴身和猴脚可以发生相对转动。从图2(c)可以看到，有一根弹簧一端挂在猴身上，另一端挂在与猴脚固定的弧形板上，在发条盒侧面有一个凸轮，凸轮上有两个突起的小圆柱，如图2(d)所示。通过观察还发现，在弹簧收缩拉动猴身和猴脚发生相对转动的过程中，猴脚上的弧形板最终会撞上猴身内的一根横梁(见图2(d))，本文称此横梁为限位块，该限位块与弧形板的碰撞，导致猴身和猴脚不能继续发生相对转动，弹簧也因此停止收缩，该限位块的作用在3.1 节中会进一步讨论。根据以上对猴子玩具的拆解分析，可定性地解释猴子玩具的表演原理：猴子玩具上紧发条后，发条盒侧面的凸轮在发条的驱动下发生顺指针转动(见图2(c))，当凸轮上的小圆柱与猴脚上的弧形板发生接触后(见图2(d))，小圆柱会推动弧形板，但由于猴脚站立于桌面保持不动，因此猴身在弧形板对小圆柱的反作用力作用下发生前倾，与此同时挂在猴身和猴脚间的弹簧被拉伸开来，当凸轮转至小圆柱与弧形板分离时，弹簧突然收缩，拉动猴身后仰，同时也拉动猴脚起跳，猴子跳起后，由于惯性在空中继续转动，直至翻转360◦后落回桌面站稳。

图1 猴子玩具

图2 猴子玩具的拆解图

2 实验测量

2.1 基于数字图像相关法的运动测量

DIC 是一种用于测量物体运动和变形的实验方法[7-8]，近年来在实验力学教学中得到了很好的应用[9-12]。该方法通过拍摄物体在不同时刻的图像，用基于图像灰度的相关匹配算法，跟踪出物体表面感兴趣点的位置变化，从而得到物体的运动和变形信息。本文采用DIC 方法对猴子玩具的运动进行测量，测量系统如图3 所示，相机正对猴子玩具侧面拍摄，所拍摄的图像存储到计算机中，通过DIC 算法处理这些图像，跟踪匹配出猴子身上感兴趣的点，从而实现测量。本文为实现对猴子玩具的运动过程测量，在猴子玩具侧面喷上白漆并画上了6 个黑色的标记叉，如图4 所示，将这些标记叉从1 到6 编号并建立2 个随体坐标系，一个随体坐标系是位于猴脚上的2-x1y1，该坐标系以叉2 为原点，x1轴通过叉1，y1轴垂直于x1轴并指向叉3 一侧，另一个随体坐标系是位于猴身上的5x2y2，该坐标系以叉5 为原点，x2轴通过叉6，y2轴垂直于x2轴并指向叉4 一侧。测量过程中，先通过DIC 算法跟踪出6 个标记叉的位置，然后重建出这两个随体坐标系的方位，通过观测这两个随体坐标系的运动即可实现对猴子玩具的运动测量。DIC 跟踪匹配算法的基本原理如图5 所示，考察在不同时刻对物体拍摄的两幅图像，一幅称为参考图，另一幅称为目标图。在参考图中，取一个以感兴趣点为中心的正方形子区，在目标图中通过一定的图像搜索方法，按预先定义的相关函数进行图像匹配运算，根据相关系数的极值找到与参考图子区相对应的目标图子区，从而实现对感兴趣点的跟踪匹配[7]。

图3 基于数字图像相关法的运动测量系统

图4 猴子玩具表面的6 个标记叉和两个随体坐标系

图5 DIC 跟踪匹配算法的基本原理

图6 悬挂法测量猴身的质心位置

2.2 质心位置测量

本文将悬挂法和相机拍摄结合起来，用相机拍摄悬挂图像，而后通过图像处理求解质心位置。图6 是将猴身悬挂两次拍摄得到的两幅图像。在这两幅图像中分别找出标记叉4, 5, 6 的位置，并重建出随体坐标系5-x2y2，而后通过图像处理提取出两幅图像中的悬挂线，并建立这两条悬挂线相对各自图像中随体坐标系5-x2y2的直线方程，最后通过求解这两个直线方程的公共解就得到了两条悬挂线的交点坐标，从而确定了质心C2的位置，如图6(b) 所示。对拍摄相机标定后可将相机像素坐标转换为物理长度坐标，质心C2相对随体坐标系5-x2y2的坐标为[xC2,yC2] = [6.85 mm，6.02 mm]。用同样的方法可对猴脚质心位置进行测量，如图7 所示，猴脚质心C1相对随体坐标系2-x1y1的坐标为[xC1,yC1]= [4.18 mm，1.61 mm]。

图7 悬挂法测量猴脚的质心位置

2.3 转动惯量测量

转动惯量的测量采用复摆法[13]。如图8(a) 所示，将细线从猴身与猴脚的连接铰洞中穿过，两端拉紧并固定于刚性杆上。轻微扰动使猴身以细线为轴做微幅摆动，根据复摆法，猴身相对悬挂点O的转动惯量为

式中，m2为猴身质量，b为悬挂点O到猴身质心的距离，T为微幅摆动的周期。本文用相机拍摄猴身摆动过程的图像序列，而后对图像序列分析得出猴身的摆动周期T。距离b可在图6(b) 中定位出悬挂点O后计算得到。求出JO后，可根据平行轴定理计算出猴身对其质心C2的转动惯量JC2=531 0 g·mm2。图8(b) 是用复摆法测量猴脚转动惯量的悬挂方式，该悬挂是通过将猴脚上的一根小横杆平担在两条平行拉紧的细线上实现的，猴脚以小横杆为轴做微幅摆动。与前面的处理过程类似，可求得猴脚对其质心C1的转动惯量JC1=223 g·mm2。

图8 复摆法测量转动惯量

2.4 弹簧刚度测量

弹簧刚度通过拉伸实验测量。将弹簧从猴子玩具中拆下，测得弹簧原始长度为28 mm，用小型拉伸试验机拉伸弹簧，所得拉伸曲线如图9 所示。可以看到，弹簧的拉伸曲线可分为前后两段，前一段是弹簧从初始的28 mm 拉伸至31 mm，该段内拉伸曲线的斜率较大，且是非线性的，这是拉力弹簧的初拉力(或初张力) 现象，该现象是拉力弹簧在冷卷制作过程中形成的，其大小与弹簧材料、钢丝直径、卷制的圈数以及热处理状态等因素有关[14]。图9 中拉伸曲线的后一段，即弹簧拉伸至31 mm 以后，此段拉伸曲线的斜率比前一段小，但线性度很好。根据测量，弹簧安装在猴子玩具中时，其长度在32 mm 至38 mm 之间变化，也就是处于拉伸曲线的后一段线性范围内。因此对猴子玩具来说，该弹簧可当做线性弹簧处理。对拉伸曲线的后一段做线性拟合，如图9所示，可求得弹簧的刚度k=152.8 N/m，同时还可求得在此刚度下弹簧的等效原始长度l0=17.8 mm。

图9 弹簧的拉伸曲线以及线性拟合

3 结果与讨论

3.1 运动测量结果

用相机拍摄猴子玩具的表演过程，相机型号为Baumer-VCXU-02M，拍摄帧率为890 帧/秒，总共拍摄了500 幅图像(见附件视频文件)。通过DIC 算法处理这些图像，可实现对猴子玩具的运动过程测量。图10 显示了对运动过程中某幅图像的处理过程，首先通过数字图像相关法匹配出图像中6 个标记叉的位置，而后重建出2.1 节中定义的两个随体坐标系2-x1y1和5-x2y2，根据这两个随体坐标系可以确定猴脚和猴身的质心位置C1和C2(图10 中的+号标记)，由这两个质心位置可进一步确定猴子玩具的整体质心位置C(图10 中的∗号标记)，猴脚和猴身的转角θ1和θ2分别定义为水平轴转至随体坐标轴x1和x2的角度(以逆时针转向为正)，这两个角度在两个随体坐标系重建后即可求出。

图10 通过DIC 算法跟踪出6 个标记叉并重建随体坐标系2-x1y1 和5-x2y2 进行运动测量

图11(a) 是测量得到的转角θ1和θ2的变化曲线，图中下横轴是图像序列，上横轴是时间(后图同)。图11(b) 是对图11(a) 中的转角变化曲线数值求导后得到的角速度ω1和ω2的变化曲线。经过分析，猴子玩具的运动可分为四个阶段，如图11(b)中所示：阶段1，ω1和ω2基本为零，此阶段猴子玩具站立于桌面，猴身缓慢前倾，弹簧被拉伸开来；阶段2，ω1和ω2迅速变化，其中ω1快速下落，ω2迅速上升，这对应着猴脚发生顺时针快速转动，也就是猴脚突然踮起的过程，与此同时，猴身发生逆时针转动，也就是猴身突然后仰的过程；阶段3，ω1和ω2基本相同且保持平稳，这对应着猴脚和猴身以相同的角速度在空中逆时针转动；阶段4，ω1和ω2突然跌落，并在振荡中逐渐趋于零，这对应着猴子玩具落回桌面，并在与桌面的碰撞过程中逐渐站稳。图11(b)还显示，从阶段2 进入阶段3 时，猴脚的角速度ω2发生了从负到正的大幅突变，该现象发生的原因，是由于该时刻猴脚上的弧形板撞上了猴身上的限位块，见图2(d)，由于猴身的转动惯量比猴脚的转动惯量大得多，因此碰撞使得猴脚的角速度ω2发生大幅突变，而猴身的角速度ω1虽然也有改变，但变化幅度较小，如图11(b) 所示。实验观察还发现，从猴身处于直立状态算起，在进入阶段2 之前，猴身转动过的角度约有30◦。然而，图11(a) 中显示θ2在阶段1中的变化只有约5◦，造成这一差异的原因是由于相机的采图时间有限，为了捕捉猴子玩具的整个运动过程，相机是从猴身发生前倾一段时间之后才开始采集图像的。

图11 猴子玩具运动过程中的转动

图12(a)是猴子玩具整体质心C的坐标[xc,yc]在运动过程中的变化曲线，该坐标以图像左下角为原点。图12(b) 是对质心坐标求导后得到的质心速度vcx和vcy的变化曲线。与图11(b) 类似，也可从猴子玩具运动的四个阶段对图12(b) 进行分析。

图12 猴子玩具运动过程中整体质心C 的运动

3.2 讨论

猴子玩具要表演成功，需在跳起和落回桌面期间在空中翻转一周，设猴子跳起时整体质心的竖向速度为vcy，那么从猴子跳起到猴子落回桌面所需的时间为

猴子在空中只受重力作用，根据质心动量矩定理[13]，猴子在空中将做匀速转动，设其角速度为ω，由于猴子在空中要转动一周，因此有

将式(2) 代入式(3)，可得猴子玩具表演成功的运动学条件

由图 11(b) 可得猴子在空中的转动角速度ω=37.15 rad/s，由图12(b) 可得猴子跳起时整体质心C的竖向速度vcy= 0.8 m/s，将它们代入式(4) 计算得到ωvcy= 29.72 m/s2，这一结果与理论分析结果吻合得很好，说明了本文实验测量结果的有效性。实际上，猴子玩具在空中翻转的角度略小于360◦或者略大于360◦，也是能表演成功的。因为猴子落回桌面时，猴尾或猴脚会与桌面发生碰撞，猴子在这种碰撞过程中能逐渐地站稳，通过视频文件可清楚地看到这一过程。

下面从能量的角度分析猴子玩具的运动过程。开始时猴子站立于桌面，猴身缓慢前倾，弹簧被拉开，当弹簧被拉伸至最长时刻(下一时刻弹簧将开始收缩)，此时系统的机械能为

式中，k为弹簧的刚度，δ1为该时刻弹簧的伸长量，m为系统的质量，h1为系统质心C该时刻的高度。弹簧收缩后猴子玩具跳起，当猴子玩具上升至最高点时，系统的机械能为

式中，δ2为该时刻弹簧的伸长量，h2为系统质心C该时刻的高度，JC为系统对其质心的转动惯量，ω为系统此时的转动角速度。式(5) 和式(6) 中的物理量通过实验测量得到：m= 20.78 g，k=152.8 N/m，δ1= 20.2 mm，δ2= 14.2 mm，JC=7 940 g·mm2，h1= 29.33 mm，h2= 72.26 mm，ω=37.15 rad/s。其中，m通过电子天平称量得出，k根据2.4 节中的拉伸实验得到，δ1和δ2通过拆解猴子玩具进行测量，并结合2.4 节中求出的弹簧等效原始长度l0= 17.8 mm 得到，h1和h2由图12(a) 得到，JC根据2.3 节中求出的JC1和JC2并结合平行轴定理计算得出。将这些值代入式(5)和式(6)计算，得到E1=0.036 9 N·m，E2=0.034 7 N·m，这两个能量值非常接近，说明实验测量的结果与该系统运动过程中机械能守恒的规律相符。

严格的说，猴子玩具的运动是三维空间运动，本文将其作为二维平面运动处理，会带来一定的误差。此外，本文所用的DIC，当物体的运动不是平面运动时，也会产生一定的误差。图13 给出了猴子运动过程中8 个典型时刻的图像，以及系统质心C的运动轨迹。可以看到，在猴子跳起的初始上升阶段，质心基本是竖直上升的(见图13(b) 和图13(c))，然而当猴子上升至最高点附近时，质心轨迹偏离了竖直方向(见图13(d))，这种偏离在猴子越过最高点后的下落过程中继续发生(见图13(e)∼图13(g))，最后，猴子落回桌面站稳(见图13(h))。从理论上分析，猴子跳起后只受重力作用，其质心轨迹应该是一条竖直线(严格说是抛物线，但由于质心水平速度很小，因此可近似为一条竖直线)，然而，由于猴子在运动过程中发生了三维空间运动，这种运动的效应在图13(f) 中可以清楚地看到，该图中猴子的两只脚发生了明显的倾斜。猴子的这种三维运动，会导致本文所用DIC 的测量误差[7]，从而使测量得到的质心运动轨迹偏离竖直线。该测量误差可通过采用能够进行三维运动测量的实验技术来加以克服。本文作为初步的尝试，可为进一步的研究打下基础。

图13 猴子玩具的运动过程以及质心的运动轨迹

4 总结

本文将实验和理论相结合，对一种能空翻360◦站稳的猴子玩具进行了分析。结果显示，将实验测量获得的力学参数带入理论分析模型中，计算得出的运动学结果与实验测量得到的运动学结果吻合得很好，更好地阐述了猴子玩具运动的力学机理。在本科力学教学中开展此实验项目，对学生深入理解理论力学课程知识，培养学生的实验动手能力将很有益处。