王宏伟 汤建伟 秦 舒 周宏伟(中国矿业大学(北京) 力学与建筑工程学院，北京100083)(中国矿业大学(北京) 能源与矿业学院，北京100083)

弹性力学是研究物体在外力、温度改变或其他外界因素作用下弹性阶段的应力、应变和位移的分布特征的一门学科，是固体力学的一个重要分支[1-2]。弹性力学是力学专业的核心课程，也是结构工程、岩土工程、采矿工程和机械工程等其他工科专业的必修课，课程内容可为本科生和研究生在今后的工程实践或科学研究打下扎实的理论基础。

作者在从事弹性力学课程教学过程中发现，即使是课堂上听课非常认真的同学，课下仍然会问到应力或位移解答在平面或者空间中的分布问题。由于弹性力学高度依赖偏微分和泛函方程的求解，最终所得到的结论，即便是经典弹性力学问题，解答仍是一些复杂且枯燥的公式[3-5]。学生虽然理解了这些经典问题的工程背景、载荷施加和边界条件，甚至对求解过程也了如指掌，但依然是雾里看花、不得要领，学习的积极性和主动性大打折扣。作者基于教学经验可以感知到，学生期待的是看得见、摸得着的结果。如果能实际操作改变参数，将所得结果可视化，观察结果的变化，达到与问题互动，与教师互动，与同学交流的目的，则教学效果更佳。

根据上述想法，作者前期开展了部分弹塑性力学解答的交互式教学和可视化结果显示的教学实践，获得了一些教学经验，并且发表了阶段性成果[6]。但是，作者在后续的教学实践中发现，在数据库中切换不同的解答时，无法实现不同解答的独立参数输入和可视化显示。而且，在切换不同解答时，结果显示的速度较慢，无法保证课堂教学的时效性。因此，作者在现有教学方法实践的基础上，单独针对弹性力学经典问题，构筑了不同问题的独立操作和可视化高效显示的数据库，通过数据库和学生及教师的交互式操作，期待这些解答能够更形象、生动、有色彩。

1 数据库的构筑及其特点

1.1 数据库的构筑

数据库的作用是将弹性力学经典解答中枯燥且抽象的公式进行集合，并用模块化的方法将彩色云图和曲线生动形象显示出来。为了能够使各个经典解答集合到同一环境中显示，作者采用Visual C++和MATLAB 联合编程的手段开发和设计了该数据库。数据库中应力结果的云图和曲线基于MATLAB语言环境中计算和绘制，而面对用户的前端界面和内部调用模块是基于Visual C++ 多线程设计并开发的。同时，C++ 在数据库开发过程中的作用还在于将各个解答独立调用并高效且有序地显示出来。图1 为数据库前端界面。

在数据库构筑过程中，需要重点解决三个问题。第一，数据库和用户之间的交互式数据传输。数据库的用途之一是为了实现交互式操作，即用户根据自己的需求，输入相关的参数，数据库返回用户想得到的结果。这就要求数据库能够将问题调用模块，参数输入模块和结果输出模块有机结合起来。第二，不同弹性力学解答的独立调用。数据库在调用弹性力学解答时，需要保证前次调用的清零和本次调用时输出端和显示端窗口的重新分配。第三，数据库可视化显示模块出图的时效性。可视化显示模块给用户提供了理解弹性力学经典解答的全新渠道，但如果显示速度太慢，或者出现信息显示不全，则会影响可视化效果和课堂教学体验。因此，数据库在开发时将十分注重可视化模块的动态调整，针对不同问题显示区域的分布会动态变化。

图1 数据库前端界面

1.2 数据库调用的独立性与交互式操作的时效性

根据以上需要解决的主要问题可知，保证时效性和独立性是数据库实现构筑的基础。

MATLAB 生成的程序需要特定的运行环境，这为用户带来了极大的不便，用Visual C++搭建的前端界面和内部调用模块可以解决这个问题，也能够实现数据库调用的独立性。Visual C++ 构建的平台包含问题的描述模块、参数输入模块、结果输出模块和对MATLAB 生成结果的调用模块。Visual C++作为前端平台，对后台的MATLAB 计算结果进行动态调用，可以保证不同弹性力学问题的独立显示。

时效性是指数据库实现交互式操作和可视化显示的效率。作为一个数据库软件，代码过长会导致运行效率降低。MATLAB 编写的数据库的代码存在运行速度慢的问题，这无疑会降低软件的运行效率。Visual C++ 多线程计算可将不同解答的代码程序相互独立调用，通过主程序控制计算，将各个计算子程序用多线程运行，实现了并行计算，快速准确出图，有效地解决了这一问题。图2 为Visual C++和MATLAB 联合编程的数据库运行的逻辑流程图。

图2 数据库运行的逻辑流程图

1.3 弹性解答的塑性延续

弹性解答的塑性延续是对弹性阶段的进一步认识，可以更深刻地理解物体在载荷变化过程中的力学性能。尽管目前数据库完成了弹性解答的构筑，但物体在达到弹性极限后，往往会进入弹塑性和塑性状态，应力解答应当考虑塑性部分的结果。因此，数据库也在塑性阶段给出了部分问题的应力解答，留有数据输出空间。

2 数据库应用及案例分析

为了进一步探讨数据库的操作和应用，以简支梁受均布载荷问题和梁的纯弯曲问题为例，阐述数据库在问题描述、参数输入和结果输入等方面的特点。

2.1 简支梁受均布载荷

长为l、高为h、宽为单位1 的矩形截面梁，两端简支，在梁的上边界受到均布载荷q的作用，求解梁内的应力分布问题，如图3 所示。

图3 数据库中的简支梁受均布载荷问题描述

由于梁的横截面上同时存在弯曲正应力σx和切应力τxy，因此该问题属于梁的横力弯曲问题。由于有纵向纤维的挤压应力σy和切应力τxy的存在，梁的横力弯曲问题讨论弹塑性和塑性解较为困难。因此，该案例中只分析梁的弹性解答。

针对简支梁受均布载荷问题，弹性力学给出了其应力分布的经典解答，即

相比于梁的纯弯曲问题，式(1)给出的解答既复杂又抽象。尽管我们可以通过材料力学知识，将其简化为熟悉的弯曲正应力和切应力公式(2)[1]，但是由于含有变量较多，依然令学生难以捉摸。

式中，b= 1，I=h3/12 为惯性矩，S=h2/8−y2/2为静矩，Fs为任一横截面的剪力。在简支梁受均布载荷问题中，需要输入的参数有简支梁的长度l、高度h和均布载荷q的大小，而输出的结果为弯曲正应力σx、挤压应力σy和切应力τxy。如果仅仅依靠式(1) 和式(2) 无法真正理解这两组结果的深刻内涵，更不能准确把握材料力学结果和弹性力学结果的区别。课堂教学中经常有同学会问到弯曲正应力σx中的q(y/h)(4y2/h2−3/5)项的作用是什么，如果以两个具体的案例进行分析，如梁的长高比l/h分别为2.5 和0.75 来说明修正项的意义，能很好地解决这一问题，如图4 所示。

图4 梁的横力弯曲问题中σx 的结果输出

弹性力学教材中指出，q(y/h)(4y2/h2−3/5) 项是弯曲正应力的修正项，对于浅梁(l远大于h)，修正项所占的比例很小，而对于深梁，则需要注意修正项。课堂教学单纯的讲公式，很难理解这个修正项的作用，但如果将其用曲线图表示出来，则能直观地看出修正项对浅梁和深梁的不同影响。

2.2 梁的纯弯曲问题

以梁的纯弯曲为例，说明数据库对于弹性解答的塑性延续特点。设有矩形截面梁，高为h，宽为b，在梁的两端受到力偶矩M的作用，假设梁为理想弹塑性材料，求该梁的应力分布，如图5 所示。由于该案例属于梁的纯弯曲问题，在问题描述模块中的下拉菜单里选择梁的纯弯曲问题时，数据库给出了该问题的计算简图和应力分布结果，如图5 所示。其中，输出结果不仅给出了弹性阶段应力解答，也包括进入塑性状态后的弹塑性解答和塑性解答。

图5 数据库中的梁的纯弯曲问题描述

首先，分析梁在弹性阶段的应力解答，其任一横截面上的弯曲正应力为

式中，由于力偶矩M、梁高h和梁宽b均为常数，应力σx则为变量z的线性分布函数。

其次，分析梁在弹塑性阶段的应力解答。随着力偶矩M的增加，梁任一横截面的上下两个边缘最开始进入塑性状态。此时，梁的弹性极限力偶矩为Me=bh2σs/6，式中σs为材料屈服极限。力偶矩继续增加，塑性变形将从横截面上下边缘对称地向内部发展。由于梁为理想弹塑性材料制成，在横截面没有全部进入塑性状态之前，弯曲正应力σx为

式中，zs为横截面上梁的中性层到弹塑性交界面的距离，计算结果为

最后，分析梁全部进入塑性状态后的应力解答。力偶矩继续增加，当整个横截面都进入塑性状态时，由于梁为理想弹塑性材料，整个横截面上的弯曲正应力σx为

由于此时zs= 0，所以梁的塑性极限力偶矩为Mp=bh2σs/4。

式(3)、式(4)和式(5)分别为纯弯曲梁在弹性、弹塑性和塑性阶段的应力解答。尽管公式简洁明了，但是毕竟无法生动形象。图6 为数据库给出的三个阶段应力解答的应力云图。公式和云图互为补充，教师容易讲解，学生理解简单而且印象深刻。

图6 数据库中的梁的纯弯曲问题的解答

3 结论

本文构筑了弹性力学经典解答数据库，通过Visual C++ 和MATLAB 联合编程，可以保证构建的数据库内部调用模块对数据的独立调用，注重可视化模块的动态调整，针对不同问题显示区域的分布会动态变化，将各个计算子程序用多线程运行，实现了并行计算和快速准确的结果输出，保证了交互式操作的时效性。

课堂教学中，学生往往会因为只学到了公式而不能清晰透彻地理解公式的内在含义而迷茫。使用弹性力学经典解答数据库，教师和学生进行交互式操作和交流，学生可以通过彩色云图和曲线直观地分析应力分布和受力变化，从而提高了对弹性力学的学习兴趣，对所研究的问题和解答也有了更深刻的理解。