廖 晗 姜吕锋 李恒达 杨兴昌 李映辉

(西南交通大学力学与工程学院, 成都610031)

工程中有大量非均匀悬臂结构，如风电叶片、塔架、直升机旋翼等，这类结构都可简化为变截面悬臂梁进行研究，此类结构的设计中需要计算刚度和强度。付俊强等[1]基于Euler 梁理论，通过求解与均匀梁的相似系数得其静弯曲刚度；陆念力等[2]从二阶挠曲线方程出发，对惯性矩沿轴向二次变化的变截面Euler 梁在弹性约束下的刚度进行了分析；孙江宏等[3]讨论了线性变截面梁的建模方法；王晓臣等[4]推导了变截面平面梁的单元刚度矩阵。但现有研究缺少针对各类回转变截面悬臂梁最小挠度的探讨。本文将基于圆柱型、圆锥型、抛物型和双曲型回转悬臂梁惯性矩沿长度方向的分布规律，得到其在任意侧向分布载荷下的挠曲线方程；基于三角形分布载荷下的挠曲线方程，得到其端部挠度值，在等长度和等体积状态下，探讨在三角形分布载荷作用下四类回转悬臂梁的最小挠度。

1 截面惯性矩

图1 所示为四类回转悬臂梁，其母线方程分别为

其中，r为圆柱半径(图1(a))，h为圆锥底面半径(图1(b))，p/2 为抛物线焦点到顶点的距离(图1(c))，a和b分别为双曲线实半轴和虚半轴长(图1(d))，d=a+l。

图1 四类回转悬臂梁模型

对长为l，弹性模量为E的四类回转梁，截面惯性矩分别为

其中，I01=πr4/4，I02=πh4/4，I03=π(pl)2，I04=πb4(2α+α2)2/4 分别为四类回转梁在左端处x= 0的惯性矩，其中α=l/a。

2 挠曲线方程

受侧向分布载荷f(x)作用的悬臂梁，其中f(x)以沿y轴正向为正，弯矩M(x) 以顺时针方向为正，挠度以y轴正向为正，其截面弯矩为

其中，MB和RB分别为右端截面B处的弯矩和反力。

忽略剪力并基于小变形假设，挠曲线方程为

其中，EIz为弯曲刚度，将M(x) 代入式(2) 得

对式(3) 积分，由边界条件w′′(l)=0，w′′′(l)=0 得

利用梁左端边界条件

可确定待定系数C和D。

3 三角形分布载荷下的最大挠度

对三角形分布载荷f(x)=−q(x−l)/l，其中f(x)以y轴正向为正，q >0，得到挠曲线方程为

3.1 四类回转型悬臂梁的最大挠度

对圆柱型悬臂梁，将EIz=EI1代入式(6)，并由边界条件(5) 得其挠曲线方程

得到

对圆锥型悬臂梁，将EIz=EI2代入式(6)，并由边界条件(5) 得其挠曲线方程

得到

对抛物型回转悬臂梁，将EIz=EI3代入式(6)，并由边界条件(5) 得其挠曲线方程

对双曲型回转悬臂梁，将EIz=EI4代入式(6)，并由边界条件(5) 得其挠曲线方程

得到

3.2 三角形分布载荷下结论

在回转体长度l和体积V相同情况下，四类回转悬臂梁的特征参数为

上述四类回转悬臂梁最大挠度可由l和V表示为

由于g(a/l)在(0,+∞)上先递减后递增，当a/l趋近0 时，g(a/l) 取得最大值，此时g(a/l) 趋近2/27；当a/l= 0.485 时，g(a/l) 取得最小值，此时g(a/l) = 0.052 6。由牛顿法得，当a/l= 0.117 9时，g(a/l)=1/18。

因此得到结论，当0

当a/l>840 时，双曲型回转梁挠曲线不断接近抛物型回转梁挠曲线。

可见，在三角形分布载荷情况下，等体积和等长度梁，

(1) 当双曲型回转梁特征参数0.117 9< a/l <840 时，双曲型回转梁最大挠度最小。

(2) 当双曲型回转梁0< a/l <0.117 9 范围内，抛物型回转梁优于回转双曲型梁。

(3) 且当双曲型回转梁a/l=0.485 0 时，双曲型回转梁最大挠度最小。

4 等体积模型验证

用有限元法验证结论正确性，有限元模型中，梁长l= 0.5 m，梁总体积V= 0.2 m3，这时r=11.283 8 mm，h=19.544 1 mm，p=0.254 6 mm，对双曲线梁，取a/l= 0.1 和0.5 两种情况。材料弹性模量E= 210 GPa，载荷q= 3 000 N/m，用200个两结点四自由度平面梁单元。结果如表1，可见本文与有限元结果有很好的一致性。

表1 本文解与有限元解比较

5 结论

研究了圆柱型、圆锥型、抛物型和双曲型回转悬臂梁在侧向三角形分布载荷情况下的最大挠度。在等长度和等体积情况下，抛物型和双曲型梁最大挠度最小；特征参数在特定范围时，双曲型梁挠度最小；特征参数另一范围时抛物型梁挠度最小。