黄锦书 沈惠娟

【摘要】本文以命制“新定义题型”数学中考题为例论述命制数学考题的方法，分析2019年广西北部湾经济区中考数学试卷的最后一题，对该考题进行改编，明确考题的考查层次、拓宽考题的考查范围，提出注重问题情境、明晰初中数学各知识板块的考查比例、考查数学本质与核心知识等命题建议。

【关键词】数学 中考 命题研究 核心素养 新定义题型

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2020）29-0036-04

近年来，聚焦数学学科核心素养成为中考命题的出发点和落脚点，注重考查思维过程、创新意识和分析问题、解决问题能力的问题越来越受到命题专家的青睐。如何在考查结果性目标的同时兼顾过程性目标，实现对学生“四基”的考查？怎样命题才能更好地考查数学素养和创新能力呢？笔者认为，应尽量原创或是加大改编力度，对试题反复打磨、精雕细琢。“新定义题型”承载了区分、选拔的功能，其原创取向、由浅入深、数形结合的命题风格，体现了命题组深厚的命题功底，这类“新定义题型”重在考查学生的思维能力，培养学生学会思考、理解数学本质的能力，引领教学方向。“新定义题型”指在问题中定义了一些概念、新运算、新符号，要求学生“现学现用”，用“新定义”解题，考查学生的阅读理解能力、应变能力及创新能力的一种题型。下面笔者以2019年广西北部湾经济区中考数学试题为例进行分析。

一、试题分析

（一）试题呈现

如果抛物线C1的顶点在拋物线C2上，抛物线C2的顶点也在拋物线C1上时，那么我们称抛物线C1与C2为“互为关联”的抛物线。如图1，已知抛物线C1：y1=[14]x2+x与C2：y2=ax2+x+c是“互为关联”的拋物线，点A，B分别是抛物线C1，C2的顶点，抛物线C2经过点D（6，-1）。

（1）直接写出A，B的坐标和抛物线C2的解析式;

（2）抛物线C2上是否存在点E，使得△ABE是直角三角形？如果存在，请求出点E的坐标;如果不存在，请说明理由;

（3）如图2，点F（-6，3）在抛物线C1上，点M，N分别是抛物线C1，C2上的动点，且点M，N的横坐标相同，记△AFM面积为S1（当点M与点A，F重合时S1=0），△ABN的面积为S2（当点N与点A，B重合时，S2=0），令S=S1+S2，观察图象，当y1≤y2时，写出x的取值范围，并求出在此范围内S的最大值。

“互为关联”的抛物线这个“新定义”简单明了，没有晦涩难懂的数学语言和数学符号，简约但不简单，深入思考就会发现其丰富的内涵和意蕴，但在此题中只是在第（1）问中得到简单的应用，最后两问不仅与新定义“互为关联”的抛物线没有关系，甚至与二次函数的性质和图象特征也基本不相关，二次函数只是作为背景，实在有点可惜。笔者认为这道新定义试题应侧重考查代数知识，这样整份试卷的知识点分配更合理，更能考查学生的数学综合能力和创新能力。笔者对这道题进行研究和改编，敬请广大同仁批评指正。

（二）对试题初步探究

既然两条拋物线互为关联，那么它们应该在“数”和“形”上应该有所联系。计算发现C2：y2=-[14]x2+x+2中的a=-[14]与C1：y1=[14]x2+x中的a=[14]互为相反数;仔细观察图形发现，两条抛物线组成的图形应该是中心对称图形。笔者决定再找几个例子研究，从特殊到一般，看看是否都有这样的规律。于是笔者让点B“动”起来，即不要求抛物线C2一定经过点D（6，-1）。当点B坐标为（4，8）时，求得C2：y2=-[14]x2+2x+4，两条抛物线的解析式中的二次项系数仍互为相反数。

作出图形（如图3），观察发现两条抛物线组成的图形也是中心对称图形。当点B坐标为（6，15）时，求得C2：y2=-[14]x2+3x+6，两条抛物线的解析式中的二次项系数仍互为相反数，作出图形（如图4），观察发现两条抛物线组成的图形是中心对称图形。不仅如此，比较得到的几个C2解析式即可发现，C2解析式中的常数项等于一次项系数的2倍。

由上面分析，笔者猜想：如果两条拋物线是“互为关联”的抛物线，则两条拋物线解析式中的二次项系数互为相反数，两条抛物线组成的图形是中心对称图形。下面进行推导验证。

不失一般性地，我们设抛物线C1：y=a1x2+b1x+c1与C：y=ax2+bx+c是“互为关联”的拋物线，为了方便计算和后面的推理阐述，就以拋物线y=[14]x2+x的顶点A（-2，-1）作为抛物线C1的顶点，则抛物线C1的解析式可写成y=a1（x+2）2-1，现在要证明a=-a1以及C与C1组成的图形是中心对称图形。C1上任意一点B（m，n）为抛物线C的顶点，则抛物线C的解析式可写成y=a（x-m）2+n。∵点B在抛物线C1上，∴a1（m+2）2-1=n，又∵点A在抛物线C上，∴a（-2-m）2+n=-1，变形得a（m+2）2+n=-1，解方程组[a1（m+2） 2-1=na（m+2） 2+n=-1得]a=-a1，由此可知C与C1的解析式中的二次项系数互为相反数。

因为抛物线C与C1的解析式中的二次項系数互为相反数，所以互为关联的两条抛物线的形状、开口大小一样，只是开口方向相反、位置不同，只要抛物线C绕线段AB的中点旋转180°，则抛物线C与C1重合，所以互为关联的两条抛物线组成的图形是中心对称图形，由此可知猜想是正确的。

由上面结论可知，如果抛物线C1的解析式为y=[14]x2+x，则抛物线C的解析式中的二次项系数a=-[14]，则抛物线C的解析式可写成y=[-14]（x-m）2+n。∵点B在抛物线C1上，∴n=[14m]2+m，代入y=-[14]（x-m）2+n得y=-[14]x2+[12]mx+m，即b=[12m]，c=m，∴c=2b，即此时抛物线C的解析式中的常数项等于一次项系数的2倍。

在上面分析中，我们从运动与变化的角度，让点B运动起来，则抛物线C跟着运动，这样就成了动态问题。解决动态问题，首先要把握运动、变化的全过程，在“变”中探求“不变”的本质，变中不变即是性质。我们探索出新图形的性质之后，就可以为后面运用新图形的性质解决问题做准备。

在这一过程中，笔者先借助几何直观猜测结论，再从数的角度验证猜测。如果只从“数”的角度出发，根据解析式和中心对称的点坐标去推导说明点在函数图象上是比较烦琐的，有时借助几何直观进行思考会更简便，教师要重视向学生渗透借助几何直观进行分析的思考方式。

（三）对试题进一步拓展

由上述分析可知，互为关联的抛物线C与C1组成的图形是中心对称图形，点B运动，则对称中心跟着运动，那么对称中心运动有规律吗？对称中心运动的轨迹是什么？下面笔者先通过合情推理进行分析。

抛物线C1：y=[14]x2+x的顶点A（-2，-1），设对称中心为O1，当点B与点A重合时，点O1坐标为（-2，-1）;当点B坐标为（2，3）时，点O1坐标为（0，1）;当点B坐标为（4，8）时，点O1坐标为（1，[72]）;当点B坐标为（6，15）时，点O1坐标为（2，7）。通过描点观察，猜想O1的轨迹是一条以点A为顶点的抛物线。如果从“数”的角度去猜想，则看（-2，-1），（0，1），（1，[72]），（2，7）这4个点是否同在一条抛物线上。设O1的轨迹的解析式为y=a（x+2）2-1，把x=0，y=1代入y=a（x+2）2-1，求得a=[12];把x=1，y=[72]和x=2，y=7代入y=a（x+2）2-1，同样求得a=[12]，由此可见，这4个点都同在抛物线y=[12]（x+2）2-1上，由此更加肯定猜想的正确性。下面用演绎推理进行验证。

点A坐标为（-2，-1），设点B坐标为（x，y），点O1坐标为（x0，y0），由中点坐标公式（作三角形中位线容易推导出中点坐标公式，所以应该不算超纲）可知x0=[x-22]，y0=[y-12]，∴x=2（x0+1），y=2y0+1，代入y=[14]x2+x可得y0=[12]（x0+2）2-1，这就是y0与x0的关系式，把x0换成x，把y0换成y，则得到y=[12]（x+2）2-1，从而证明点O1的轨迹是抛物线y=[12]（x+2）2-1。

推广到一般情形，为了方便计算和后面的推理阐述，不失一般性地，笔者还是以点A（-2，-1）作为抛物线C1的顶点，则抛物线C1的解析式可写成y=p（x+2）2-1，推理同上：设点B坐标为（x，y），点O1坐标为（x0，y0），可知x0=[x-22]，y0=[y-12]，∴x=2（x0+1），y=2y0+1，代入y=p（x+2）2-1可得y0=2p（x0+2）2-1，这就是y0与x0的关系式，把x0换成x，把y0换成y，则得到y=2p（x+2）2-1，由此可见，对称中心O1的轨迹是一条抛物线。比较y=2p（x+2）2-1和y=p（x+2）2-1，可知这条抛物线与原抛物线顶点相同，其解析式中的二次项系数等于原抛物线解析式中的二次项系数的2倍。

上面的结论是从特殊到一般，由具体到抽象，通过观察、实验、猜测、计算、归纳、推理、验证等一系列活动得出的。教师如果在日常教学中经常引导学生经历观察、猜想、探究和发现，通過几何直观、推理和计算去分析问题、解决问题，可以让学生积累数学活动经验，提升数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算等数学素养。并且，教师不仅要一题多解，还要一题多变，引导学生多层面、多角度对数学问题进行延伸探究，改变静止孤立思考问题的习惯，使思维向广阔的方向联想，向纵深方向发展，达到由此及彼，触类旁通的教学目的，这样才能培养学生思维的发散性和灵活性，发展其创造力。

二、尝试命制“新定义题型”

由于“新定义题型”考查学生的学习潜能，因此它遵循学习规律：学习新知—巩固新知—运用新知，2019年广西北部湾经济区中考数学试卷第26题中的新定义是“图形新定义”，其命制呈现的结构为：给出新图形的定义—探索新图形的性质—运用新图形的性质解决问题。整题在题干中给出新图形的定义，在题支中设置探索性质、运用性质的问题，设问的特点遵循我们认识事物的规律：从简单到复杂，从特殊到一般。由此，笔者遵循此命题思路尝试命制新题。

（一）初稿呈现

如果抛物线C的顶点在拋物线C1上，抛物线C1的顶点也在拋物线C上时，那么我们称抛物线C与C1“互为关联”的抛物线。抛物线C：y=ax2+bx+c，抛物线C1：y1=[14]x2+x，点A，B分别是抛物线C1，C的顶点。

（1）如图5，如果抛物线C与C1是“互为关联”的拋物线，求a的值以及b和c之间的关系;

（2）抛物线C1以点A为顶点，抛物线C与C1是“互为关联”的抛物线，求证：抛物线C与C1是中心对称图形;

（3）抛物线C与C1是“互为关联”的拋物线，抛物线C与C1组成的图形的对称中心为O1，点B运动，则点O1跟着运动，请分析说明点O1运动的轨迹是一条抛物线。

此题第（1）问，根据文字语言和图形语言初步理解新定义，是对新定义的简单应用，先从“数”的特征提出问题，同时为第（2）问铺垫;第（2）问让学生在熟悉新定义的基础上继续探索，并从“形”的特征提出问题，对新定义的性质进一步研究，同时为第（3）问铺垫;第（3）问在前面探索出新定义图形的性质后，让学生学以致用。但仔细一想，如果这样设问，还是没有考查到二次函数的主要性质，如轴对称性质和增减性等。虽然考查了转化、数形结合、特殊与一般、类比等数学思想，但尚未考查到分类讨论思想，感觉压轴的分量不够，于是笔者决定再次进行改编。

（二）再次改进

由前面的分析可知，对称中心O1的轨迹是一条抛物线，这条抛物线与原抛物线顶点相同，解析式中的二次项系数等于原抛物线解析式中的二次项系数的2倍。抛物线C1的解析式为y=[14]x2+x=[14]（x+2）2-1，点O1的轨迹为抛物线C2：y=[12]（x+2）2-1，如果抛物线C与C2是“互为关联”的拋物线，抛物线C与C2组成的图形的对称中心为O2，由前面的分析易知，点O2运动的轨迹是抛物线C3：y=（x+2）2-1。以此类推，很容易求出对称中心On的轨迹，但这样还是没有涉及二次函数的主要性质，也没用到分类讨论思想。由于抛物线C3：y=（x+2）2-1与坐标轴的交点的坐标比较好算，于是笔者决定以此展开。