刘杨青，王保华

（湖北汽车工业学院 汽车工程学院，湖北 十堰442002）

近年来永磁同步电机（Permanent Magnet Syn⁃chronous Motor,PMSM）由于其可靠性高、力能指标好、功率因数高等优点在电动汽车、轨道交通、医疗机械、风机水泵［1］等领域得到了广泛的应用。目前矢量控制是PMSM 调速控制策略中运用最多的控制方法，采用PI算法构成转速、电流双闭环让整个控制系统的结构变得简单明了。传统PI控制可消除静差，改善系统响应能力，在工业设计中应用广泛。实际工程中电机各项参数会随着工况和外界环境的不同而不断发生变化［2］，由此带来的不确定性增大了PI 参数的整定难度，导致系统输出波动变大、稳定性变差，因此选择鲁棒性强、不易受参数变化影响的控制算法尤为重要。

滑模控制（Sliding Model Control, SMC）具有响应迅速、鲁棒性强、对系统参数变化不敏感等优点，因而在各种复杂非线性系统的控制中能够起到较好的效果。文献［3］采用改进的幂次指数趋近率和Super-twisting 滑模控制器构成了PMSM 直接转矩控制系统，使得电机控制系统的稳定性和鲁棒性均得到了提高；文献［4］针对无人机动力学模型复杂且耦合性强的特点，以内环角速率为控制对象，提出了基于反馈线性化的滑模控制策略，使被控对象在有一定湍流环境下飞行具有稳定性；文献［5］将2种SMC方式相结合，设计了新型混合终端滑模观测器，用于估测电机转子的速度和位置；文献［6］在改善水电机运行过程中的“假稳定”问题时，引入了非线性滑模控制策略，将非线性滑模控制策略与传统PID控制策略进行对比，结果表明SMC鲁棒性优于PID 控制。上述文献的研究结果均证实了SMC方法的优越性，但常规SMC方法具有严重的抖振［7］现象，会影响系统稳定，因此文中提出以系统反馈误差作为状态变量的改进型趋近率SMC 方法，并采用光滑连续的准滑模函数取代传统非连续函数符号函数，将其运用到电机转速环控制策略中，并与传统PI控制结果进行对照。

1 三相永磁同步电机数学模型

三相永磁同步电机由于结构复杂、参数繁多，各参数之间相互耦合、影响，因而是冗杂的非线性系统。为便于理论分析，将模型进行简化［8］：1）电机铁芯的饱和问题可忽略不计；2）电机中的涡流现象和磁滞损耗现象对电机性能不产生影响；3）通入电机的电流时刻为对称的三相正弦波电流。

建立d-q 坐标系（同步旋转坐标系）下PMSM的数学模型，其三相电压方程为

磁链方程为

电磁转矩方程为

电机机械运动方程为

式中：u3s为三相绕组相电压；R为三相绕组电阻；i3s为三相绕组电流；ψ3s为三相绕组磁链；L3s为三相绕组电感；F3s(θe)为三相绕组不同电角度下对应的单位磁链系数；ψf为转子永磁体磁链；Te为电磁转矩；pn为三相PMSM的极对数；J为转动惯量；TL为负载转矩；B为阻尼系数；ωm为电机的机械角速度。

2 趋近律控制方法

滑模变结构控制系统中，任一状态空间点在系统内部的运行轨迹通常由2个部分组成：1）从远离滑模面的任意位置趋近滑模面直至到达滑模面附近的趋近运动；2）在滑模面附近沿滑模面的滑动运动。具体运动轨迹如图1 所示，x 为系统的状态变量，AB 称作为系统空间点的趋近运动阶段。此阶段系统点的运动特性需满足可达性条件，即系统的状态空间变量能从任意位置在一定时间内到达滑模面附近，但点A 到达点B 的运动方式是任意的，传统的SMC方法不能反映系统是以何种方式趋近于滑模切换面，而基于趋近律的控制方法则可弥补这一不足。由于趋近律可人为设计，故总能找到一种最为恰当的趋近方式，提高趋近运动阶段系统的动态品质，同时减弱系统点在滑动运动阶段因频率过高而导致的系统抖振现象。

图1 滑模控制状态运动轨迹

2.1 传统指数型趋近律

传统指数型趋近律如式（5）所示：

式中：s为滑模面函数；-εsgn(s)为等速趋近项；-qs为指数趋近项；ε为等速趋近律系数；q为指数趋近律系数。由式（5）可看出，q 的存在使得系统任一状态空间点都能按照指数变化规律趋近滑模面。然而指数切换过程为一带状过程，当空间点到达滑模面附近时，会在滑模面两侧来回穿梭。为减少穿梭次数，减轻系统抖振，需要设计合理的ε值和q值，并采用连续函数取代符号函数sgn(s)，以保证系统的动态品质。

2.2 新型趋近律设计

在趋近运动阶段，因为系统所存在的初始误差无法被直接控制，而系统响应又容易受到内外条件波动所带来的影响，因此在设计趋近律时应尽可能提高系统状态空间点的趋近运动速度，缩短运动时间，降低内外干扰对系统响应的影响程度；但若速度过快，当空间点即将贴近切换面进入滑动运动状态时无法及时减速，容易引发系统抖振。因此设计的趋近率需要满足：当状态空间点离滑模切换面较远时，趋近运动的速度快速增加；而即将到达切换面时，趋近速度降低。新型趋近率为

式中：s 为滑模切换面函数；ε,q 为自定义的参数；ωref为电机参考转速；ωm为电机实际反馈转速；x1为系统的状态变量，其大小是电机参考转速与实际反馈转速的差值。

当系统状态空间点远离滑模切换面时，新型趋近律等价于

此时|s|>> 0，x1>> 0，趋近运动的速度近似与成正比，且|s|越大，运动速度越快，系统能够在更短的时间内到达滑模面附近。

当系统状态空间点达到切换面附近时，趋近律等价于

即s →0，x1→0，<< 1，系统速度近似为ε，趋近速度更小，系统空间状态不会由于惯性而在切换面附近发生高频振动现象，减弱了系统抖振。

为了进一步抑制到达滑模切换面时系统状态空间变量运动轨迹的抖振，采用sigmoid（s）函数替代符号函数的作用，以改善电机的控制性能。sig⁃moid（s）函数定义如下：

与符号函数相比，sigmoid（s）函数可通过调整参数a 的数值来改变函数的斜率，使函数值在［-1,1］之间连续变化，如图2所示。由图2可知，当a值减小时，函数的斜率也随之减小，控制效果更平顺，函数值的变化速度较慢。当a为1时，sigmoid（s）函数的曲线变化率最接近开关函数，并且s为0 时函数值不会出现断点。在|s|趋近于0的过程中，函数值逐渐减小直至为0；在|s|逐渐增大的过程中，函数值又会迅速增大变为值域上下界。

图2 不同a值下的sigmoid函数

综上，改进型趋近律表达式为

2.3 稳定性分析

定义Lyapunuov函数为

对式（11）求导，得

将式（10）代入式（12）可得：

式中：sigmoid（s）函数为奇函数。当s不等于0 时，小于0；当且仅当s等于0时，等于0。

综上所述，改进型趋近律存在且稳定，系统最终能够到达滑模平衡点。

2.4 滑模转速控制器设计

采用id= 0 的矢量控制方法，以表贴式三相PMSM为控制对象，建立d-q坐标系下的数学模型，如式（14）所示：

选择合适的状态变量，定义如下：

将式（14）与式（15）相结合，可得：

滑模面函数定义如下：

式中：c为需要设计的参数值,c > 0。

联立式（10）与式（16），得速度滑模控制器表达式：

对式（20）进行积分，得速度滑模控制器输出电流：

3 仿真与结果分析

为了验证文中设计的SMC算法是否能带来更优越的控制效果，基于Matlab/Simulink平台搭建三相PMSM矢量控制系统，将改进型SMC算法和传统SMC算法、传统PI算法进行比较。

3.1 仿真模型搭建

图3 三相PMSM控制系统结构图

PMSM控制系统结构图如图3所示。仿真对比实验采用3 种控制系统进行对比：1）文献［8］中工程整定法得到的PI 控制系统；2）基于普通指数趋近律的传统SMC 系统；3）采用改进型趋近律的SMC系统。为保证仿真结果的客观性，2种SMC系统中速度滑模控制器的趋近律中各项参数值相同，并设置c为50,ε为200,q为300。仿真电机模型采用180ST-M19015型号电机，各项参数如表1所示。

表1 电机参数

3.2 仿真结果分析

为验证控制系统的全范围调速能力和加载能力，设置电机初始转速为1500 r·min-1，t为0.2 s时突增负载19 N·m，t为0.4 s时转速由1500 r·min-1下降至500 r·min-1；仿真时间为0.6 s。仿真结果如图4所示：在电机启动阶段，电流环作用较大，系统存在较大的转矩波动，额定转矩范围内3种控制系统的转速上升时间相差无几，但改进型SMC 系统没有超调动作，在快到达指定速度时上升速度减缓并完全跟随给定速度，而PI 控制系统存在较大的超调行为，传统SMC系统的超调动作更大，两者的调节时间较长，达到0.9 s。

图4 仿真结果波形图

图5 仿真结果详细对比图

从图5a～5b可看出：当电机在额定转速的情况下，增加负载转矩至额定转矩时，新型SMC系统转速波动较小，转矩响应较快，转矩变化曲线较平滑，扰动抑制性能较好。由图5c～5d可看出：电机处于额定负载情况下，转速发生突变降至500 r·min-1时，新型SMC 系统能更加快速地到达指定转速且不发生超调，并且此时电磁转矩的变化最为平滑。相比之下，基于改进型趋近律的SMC 系统的响应性能和抗干扰性能均优于传统SMC和PI控制。

4 结论

为进一步改善三相PMSM 控制系统的调速能力和鲁棒性，增强系统的抗干扰能力，提出了一种基于改进型趋近律的SMC算法，并在PMSM矢量控制系统中搭建了基于改进型趋近律的速度滑模控制器，将其与传统PI 算法和传统SMC 算法进行比较。仿真结果表明：改进型速度滑模控制器的调速性能更为优越，当外界条件发生突变时，其转速超调量更小，且输出的电磁转矩波动更为平顺，在抑制抖动、抗干扰等方面具有良好的性能，满足电动汽车驱动电机性能需求。