杜宵丰 赵家锋 周达 刘坚

摘   要   各个国家和地区的学校教育都面临数学推理教学难的问题。本研究运用质性研究方法，通过对一位初中数学教师的访谈，尝试对其数学推理教与学的观念进行深入探讨和分析。研究表明，数学推理的教与学应让学生体验推理的生成过程，培养学生的“反权威”意识，营造猜想-证明的课堂情境。

关键词   推理  观念  教师  教学  学习

一、研究背景

数学推理是“做”数学的核心。一方面推理的过程代表了通过旧知识获得新知识的有效途径，另一方面推理中所涉及的不同概念与原理之间的相互关系，发展了人们对数学知识的理解。近年来不同国家和地区的数学教育均重視数学推理的课程编排[1]。尤其是在美国，学校数学教育原则和标准以及州共同核心数学课程标准的发布都显著提升了推理在学校数学中的地位，将其作为K-12年级数学教育的一条学习主线[2-3]。尽管数学推理日益受到人们的重视，但来自不同国家和地区的研究表明，中学生的数学推理能力存在诸多不足[4-6]，而教师却普遍面临数学推理难教的窘境[7]。因此需要更多的实证研究来提高推理在课堂中的作用，探索如何支持教师的教学工作才能有效发展学生的推理能力[8]。在我国，自1951年《中学数学科课程标准（草案）》首次提出“培养学生观察、分析、归纳、判断、推理等科学习惯”[9]，到2012年《义务教育数学课程标准（2011年版）》明确将推理能力作为数学课程的十个核心词之一，并指出义务教育阶段要引导学生积极参与观察、实验、猜想、证明、综合实践等数学活动，注重学生思考的条理性，而不过分强调推理的形式[10]。半个多世纪的课程变革对推理内容的要求不断发展和完善，以往的数学推理教学观念随着课改的逐步深入正在被新的教学观念所替代，那么当下初中数学教师的推理教学观念实际情况到底是怎样的，引发了研究者的深入思考。

二、研究方法

本研究是一项个案研究，通过现场访谈收集了一位初中数学教师推理教学与学习观念的质性数据，尝试揭示其在数学推理教学实践上的潜在特质。

1.研究对象的选择

我国H市515名初中数学教师参与了北京师范大学区域监测项目中有关数学推理知识的问卷调查，49 658名八年级学生参加了有关数学推理的能力测试。通过数据发现，H市W中学的学生数学推理能力得分很高，并且该校教师的数学推理知识掌握扎实（已有研究指出教师的数学推理知识是影响其推理教学的一个关键因素[11]）。因此，研究者在地方教研员的帮助下，选择了该校一位具有近20年教龄的数学女教师（简称L老师）作为深度访谈的对象。

2.资料收集

研究采用半结构式访谈的方式来收集信息，因为半结构式访谈比结构式访谈能收集到更广泛的资料。访谈前，研究者根据研究目的与已有研究中的访谈工具[12]，事先设计出访谈提纲作为访谈的提示。访谈依托于提纲，但又不局限于提纲，只要在本研究的主题范围内，研究者都会允许对方自由畅言。研究采用直接访谈的方式，也就是面对面访谈，地点选择在L老师所在学校的会议室进行，以便录音和现场记录。

3.资料分析

首先，依据访谈问题中的推理教学与学习这两个方面进行初步归类，但在分析过程中，发现教师在谈到教学时也会涉及学生学习的相关内容，二者混在一起，因此将教师教与学两方面的观念进行合并，统称为教师的推理教学与学习观念。其次，将原始材料按照不同的、有意义的主题切割成小的段落，即分析单位，再根据分析单位的前后顺序以阿拉伯数字依次编号，比如编码L-6表示L老师的第6个分析单位。最后，将材料编码后，根据各分析单位中的核心字词进行分类，经过取舍和修改后逐渐形成分析主题，并最终完成数据分析。

三、结果与分析

关于L老师的数学推理教学与学习观念，她首先强调了课上与课下学习相结合，以此拓展学生数学推理的学习机会。

“我每天布置的作业并不多，不想给学生造成太多的课业负担，但我很重视学生课下学习的情况。课下学习不是让学生死记硬背地去掌握一些解题技巧，而是调动学生去探索某种问题背后的思想方法，内容本身不局限在已经学过的内容里，可能涉及新内容，或一些生活素材，因此学生需要自己去查阅一些资料才能得出答案（L-3）。”同时，“允许学生采用自己喜欢的方式去呈现探索的结果，可以采用纸笔画图、具体例子等多种表达形式（L-5）。这样在课堂上学生也会有更多的时间进行小组或班级的互动与交流，因为课堂时间紧张一直是我们老师面对的一个老大难问题（L-6）。”

由上可以看出，L老师充分利用学生在课下的学习时间，以弥补课上学习时间的紧张。其中L老师提到了学生对推理的独立探究，以及与大家互动交流这两个重要的方面，所以研究者就这两个方面对L老师进行了连续追问，发现L老师在推理教学上的两个重要观点。

一个观点是L老师认为个体的独立推断至关重要，即学生通过自己的努力寻找证据，推理出所有的核心结论。

“在日常教学中，我通常呈现给学生正确未知的命题，在这种不确定的情况下，引导学生做出猜测，激发他们学习的积极性（L-8）。我一般不会直接在黑板上板书完整的推理过程，不着急为学生提供标准答案，因为推理是灵活多变的，它没有固定的解题套路，所以我觉得推理的学习不能以老师教为主，要让学生自己主动去尝试、去体会、去思考（L-10）。当班里的学生从各自不同的角度摸索出推理思路时，我的任务就是及时‘扶正学生的思考方向，根据不同学生的表现点出他们合理的地方和不合理的地方，了解学生的真实想法，再进一步拓展他们的想法（L-15）。”

另一个观点是L老师注重个体与个体间的合作推理，即多个学生通过讨论与互动共同构思推理的过程，在交互行为的作用下改善推理方案。

“面对比较难的推理题，学生往往出现思维混乱的情况，比如搞不清楚其中的因果关系（L-26）。根据条件可能会得到很多推论，但这些推论对解决问题不一定都有用，如何选出有用的推论，并将它们连贯地组织起来，这是教学难点（L-28）。在我的班上一般将学生分为4人左右的学习小组，由学习好的学生担任小组长，对小组合作起到带动作用（L-29）。有时我会提出小组讨论的问题，有时是各小组提出讨论问题（L-33）。通过小组互动的合作学习，学生的想法可能会受到他人影响，也可能会影响他人，学生之间相互交流和启发，在合作解决问题中逐渐知道好的推理方法是什么，自己的思路又有哪些不足。久而久之，学生的语言表达和推理技巧都会得到提高（L-34）。”

显然，L老师的推理教学表现出个体与社群的双重性。但L老师进一步指出学生个体或小组在得到结果后，常常依赖教师等外部权威去确定推理的有效性，这与Harel和Sowder（1998）的研究發现一致，即学生会质疑自己已经证明出来的结论，直到有权威人士告诉他们推理是正确的，他们才能够信服[13]。因此在课堂教学中，L老师着重强化了学生对数学推理的理解和批判，即重视对推理方法本身的辩护。

“我在班上时，经常有学生找我确认他们的答案是否正确。在很多情况下，他们的解答完全没有问题，在和他们的讨论中，我发现他们明明做对了，但只有得到我的认可，他们才会结束这道题的思考，再去想其他题目（L-46）。为了改善这种情况，在课堂上当有学生表述自己的思路时，我有时会要求学生在练习本上边听边记下这个同学的主要想法，也会要求个别学生在黑板上写，这是为了引导他们去理解别人的观点。我自己也会非常仔细地去听，发现其中暗含的一些思路，组织学生之间通过说理去反驳别人或坚持自己的主张，培养学生对‘为什么是这样的求知欲（L-49）。逐步让学生摆脱对外部力量的依赖，使得他们能够靠自己的理性思考去看待各种观点（L-50）。”

为了丰富学生的推理活动经验，L老师认为要同时兼顾形式化和非形式化两种推理模式，更要注重提高学生推理的策略性知识。

“数学的严谨性常常要求学生的推理要列式子写符号，但干巴巴的符号往往会加重学生推理学习的负担。推理本身就难学，如果再过分强调这些格式，会让孩子彻底丧失推理学习的兴趣（L-53）。适当放宽严谨性的要求，允许学生使用图像、日常语言等方式来表达推理。我觉得这很重要，因为这对于孩子来说往往更容易理解和接受（L-54）。”同时，“作为老师，我在给学生讲推理的时候也不都是符号和公式的，因为教材上已经这样呈现了，如果老师再这样的话，容易使得学生养成只关注推理表面特征的习惯，却忽视推理内容本身，我更喜欢用一些通俗易懂的话解释推理（L-59）。”并且，“我发现有的学生在做题时喜欢参考课本上的例题，或者模仿我讲课时用到的方法，如果你让学生说出为什么要这样推理，学生往往很难解释清楚，一般都是回忆相似的题目使用了这种方法，所以感觉应该使用这种方法（L-62）。”“我觉得老师应该多与学生交流自己构思推理的心路历程，让学生了解为什么在做题时就用到了这样的数学知识，根据怎样的蛛丝马迹完成了一步又一步的推理，这都是重要的做题经验（L-65）。”最后，L老师还特别考虑了影响学生推理学习的心理因素。

“推理题的逻辑性一般很强，没有固定的方法去遵循，因此不管是在考试还是在平时的作业里推理题都是最难把握的（L-71）。学生有两级分化的现象，喜欢推理的学生对推理题越发感兴趣，不喜欢推理的学生常常因此产生对数学学习的害怕心理，如何提高学生这方面的心理承受力真的太重要了（L-73）。我觉得可以经常的夸夸学生，鼓励学生，努力发现学生的一些优点（L-76）。”“特别是要注意推理学习由易到难的过度，比如在课堂上，可以通过实验操作、画图的方式引出推理内容，再比如我前面说到的不能把现成的推理结果告诉学生，少说这样推，多说为什么这样推，还有就是刚开始学习推理的时候，多让学生做做简单题，不要太强调推理技巧（L-79）。”

四、结论与讨论

1.数学推理的教与学应让学生体验推理的生成过程

各个国家和地区的中学生在数学推理上面临挑战的一个关键因素就在于其缺乏足够的推理知识，尤其是策略性知识[14]。比如很多学生不知道如何开始一个推理或者应该选择哪些定理或性质进行推理[15]，甚至有学生认为检验几个特殊例子就足以确定命题为真[16]。具有这些迷思概念的学生归根结底是由于他们的推理知识不充分，没有认清推理的本质所造成的。根据数据编码的结果，L老师常常会通过生生互动或师生互动的方式精细化学生的推理方案。为了减少学生对形式化推理的过度记忆与模仿，她在课堂上采用解释性的话语描述推理，并鼓励学生使用图像、日常语言等多种表征方式去解决问题，有助于规避学生仅关注推理表面特征的情况出现，使得他们能够将更多的注意力集中在推理内容本身。而且L老师习惯与学生交流推理的来龙去脉，这种向学生暴露思维过程的教学方式会展现思考中可能的弯路、尝试性的失败及修正的思考，体验式的学习对深化学生对推理知识（尤其是策略性知识）的感性认识具有重要意义。此外，L老师将教学重心放在推理生成而不是结果导出的另一层重要意义在于，可进一步让学生从内心深处感受并相信，推理不是一挥而就的，即使是教师，在面对推理题时也不能马上就步入解题的正轨，而需要不断地尝试与反思，从而增强学生数学推理的自信。

2.数学推理的教与学应培养学生的“反权威”意识

已有研究发现，诉诸权威的推理模式是学生普遍持有的一种错误的推理方式[13]。它表现在很多方面，其中一种表现是学生依赖于被告知解题步骤去解决问题。当进行推理时，学生期望被告知推理的思路而不是探索推理的过程。这种行为的潜在特征是将数学视为事实性结果的集合，不关注或很少关注结论真实性的来源。诉诸权威的第二种表现是学生在自己不认真解决问题的情况下或已经正确解答的情况下寻求外部的帮助或确信。当这种情况发生时，只需要与学生进行一个简短的讨论或明确告知他们的解答是无误的，他们才会意识到自己实际上已经具备独立解决问题的能力。诉诸权威的第三种表现是“定理”在学生推理过程中的作用，一旦一个命题被视为定理，一些学生推理该命题的努力、意愿和能力就会大打折扣，“定理”对学生来说似乎是应该遵守的而不是被推理或质疑的。根据数据编码的结果，L老师提到的外部权威应该属于上述第二种表现。她为避免学生被动地依靠教师或教材等外部力量去接受推理，在授课时她注重强化学生对数学推理的评价能力，努力使学生学会理解他人的看法，并且能通过说理去说服或反驳别人，而非纯粹的接受或记忆。这样，学生虽然是从上（教师）至下的学习推理，但通过他们自己的探索活动和彼此的争论反驳，确保了自身与外部权威之间的平等性。这无形中发展了他们“反权威”的意识，强化了学生的反思精神和理性思维能力。

3.数学推理的教与学应营造猜想-证明的课堂情境

很多学者指出，为了培养学生的数学推理能力，应该让学生经历数学家“做”推理的完整过程，包括探索数学关系以识别有意义的模式、使用模式来形成猜想、通过新的证据来检验猜想、修订猜想以排除反例，以及提供一般论证来确定猜想等等[17]。由此营造猜想—证明的课堂情境十分有利于学生对推理的全面理解。根据数据编码的结果，L老师通常会在结论不确定的课堂情境中，引导学生进行探究和臆测，鼓励学生敢于提问和质疑，并进一步厘清自己的思路。学生有机会亲身参与数学推理的独立建构，也有机会通过彼此合作共同解决有意义的问题，这使得学生不仅能够自己“悟”推理，也能在互动交流中不断精准化自己的推理方案。因此，为了营造探索真知的课堂情境，教师应为学生提供探究性的学习任务，引导学生自行构建推理和品评他人推理，主动分享自己的看法，同时勇于回应他人的疑惑，真正做到以“理”服人。当下无论是在国内还是国外，努力营造数学推理的课堂学习情境已经得到学界的广泛认可，但在实际操作层面还面临很多挑战。例如，教师需要知道如何运用恰当的符号体系去向学生表达推理并帮助学生学会这种表达方式。唯有把这些元素揉进数学教学，形成推理的课堂学习规范，方能切实改善学生的逻辑思维。

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