摘 要：本文讨论了方阵A的多项式矩阵f（A）的特征根及行列式detf（A）的求法，给出了相应的公式。

关键词：多项式矩阵;特征根;行列式

已知n阶方阵A的特征根及特征向量，怎样求A的多项式矩阵detf（A）的特征根及特征向量？这是高等代数专升本考试题型中的一类问题。主要考查学生对相似矩阵、特征根、特征向量等基本概念的理解，以及对三个重要特征式的灵活、变式应用能力。解决此类问题的根据如下：

假设t是A的特征根，α是A的属于t的特征向量，则下列三个重要特征式成立：

Aα=tα，|tI-A|=0，（tI-A）X=0.

反之也然。上述第一個式子两边反复左乘A，并用它反复循环替代，立得：，

如果，则

，称为A的多项式矩阵，其中：I是与A同阶的单位方阵。

上式说明：就是A的多项式矩阵f（A）的特征根，A的属于t的特征向量α也是f（A）的属于特征根f（t）的特征向量。

进一步：如果知道n阶方阵A有n个不同的特征根：那么依次代入f（t）中即得f（A）的n个不同的特征根：，从而A和f（A）都可对角化，可以快速计算出det（A）、det（A+tI）、detf（A）以及detAk、detf（A）k：

令，其中：P是满秩可逆矩阵。则有：

，

又，

故，

，

又，故，

，

同理可得：，.

典型范例（高等代数专升本考试模拟试题）：

若A为三阶矩阵，它的特征根分别为-1，2，3，，E为与A同阶的单位方阵，则detB ，det（A-5E）= .

解：因为三阶矩阵A有3个不同的特征根：，故A可对角化，且。而B是A的多项式矩阵，也是3阶方阵，根据上述讨论的结论知：B也有3个不同的特征根：

，

，

，

B也可对角化，且：

参考文献

[1]高等代数[M]，何守元主编，现代教育出版社，2015.10.15，第一版.