1826年9月17日，黎曼出生在德国北部汉诺威的布雷塞伦茨村，父亲是一名乡村牧师.黎曼6岁开始上学，14岁进入大学预科学习，19岁按照父亲的意愿进入哥廷根大学攻读哲学和神学，为将来继承父志成为一名牧师作准备.

由于从小酷爱数学，黎曼在学习哲学和神学的同时，也旁听了一些数学课.当时的哥廷根大学是全世界研究数学的“圣地”，一些著名的数学家，如高斯、韦伯等数学大师都在该校执教过.黎曼被这里的数学教学和数学研究的氛围所感染，决定放弃神学，专攻数学.

1847年，黎曼转入柏林大学学习数学，成为雅可比、狄利克莱、施泰纳和艾森斯坦的学生.1849年，他重回哥廷根大学攻读博士学位，成为高斯晚年时期的学生.

l851年，黎曼获得数学博士学位;l854年被聘为哥廷根大学的编外讲师;1857年晋升为副教授;1859年接替去世的狄利克雷，被聘为教授.

1862年，因长年的贫困和勞累，黎曼在婚后不到一个月就患上了胸膜炎和肺结核，在其后四年里，他大部分时间都在意大利治病疗养.1866年7月20日，黎曼病逝于意大利，终年39岁.

黎曼的著作不多但却异常深刻.他对数学概念极富创造力与想象力.黎曼在其短暂的一生中，为数学的众多领域作出了许多奠基性、创造性的贡献，是世界数学史上最具独创精神的数学家之一.

一、复变函数论的奠基人

19世纪数学最独特的创造是复变函数理论的创立.它是18世纪人们对复数及复函数理论研究的延续.1850年以前，柯西、雅可比、高斯、阿贝尔以及维尔斯特拉斯已经对单值解析函数的理论进行了系统的研究，而对于多值函数，仅有柯西和皮瑟有些孤立的结论.

1851年，黎曼在高斯的指导下完成题为《单复变函数的一般理论的基础》的博士论文，后来又在《数学杂志》上发表了四篇重要文章，对其博士论文中的思想作了进一步的阐述.黎曼一方面总结了前人关于单值解析函数的成果，并用新的工具予以处理，另一方面，他还创立了多值解析函数的基础理论，并由此为几个不同方向的发展铺平了道路.

柯西、黎曼和维尔斯特拉斯是复变函数论公认的主要奠基人，而且人们后来证明了在处理复函数理论的方法上，黎曼的方法是基础性的方法，柯西的思想可以和黎曼的融合起来，维尔斯特拉斯的思想可以从柯西和黎曼的观点中推导出来.

在对多值函数的处理中，黎曼引入了被后人称作“黎曼面”的概念.黎曼面给多值函数以几何直观，且证明了在黎曼面上表示的多值函数是单值的.他在黎曼面上引入支点、横剖线，定义了连通性等，在对函数性质的研究上获得了一系列成果.

经黎曼处理的复函数中，单值函数是多值函数的特例.他把单值函数的一些已知结论推广到多值函数中，其中按连通性对函数分类的方法，极大地推动了拓扑学的初期发展.他研究阿贝尔函数和阿贝尔积分及阿贝尔积分的反演，得到了著名的黎曼——罗赫定理.首创的双有理变换构成了19世纪后期发展起来的代数几何的主要内容.

黎曼在其博士论文结尾部分给出了函数论在保形映射中的几个应用，将高斯在1825年关于平面到平面的保形映射的结论推广到任意黎曼面上，并给出了著名的黎曼映射定理.

二、几何学的创始人

黎曼对数学最重要的贡献还有几何方面的.他开创了对高维抽象几何的研究，其中处理几何问题的方法和手段带来了几何史上的一场革命.他建立了一种全新的，后来以其名字命名的几何体系，该几何体系对现代几何乃至数学及其各分支的发展都产生了巨大的影响.

1854年，黎曼为了取得哥廷根大学编外讲师的资格，向全体教员作了一次演讲，该演讲稿在其逝世两年后以《关于作为几何学基础的假设》为题出版了.在演讲中，他对所有已知的几何，包括刚刚诞生的双曲几何作了纵贯古今的概要，并提出一种新的几何体系，后人称之为黎曼几何.

为争取巴黎科学院的奖金，黎曼在1861年写了一篇关于热传导的文章，这篇文章后来被称为黎曼的“巴黎之作”.该文对他1854年的文章进行了技术性的加工，并进一步阐明了其几何思想.该文在他去世后被收录在黎曼的《文集》中.

黎曼主要研究几何空间的局部性质，他采用的是微分几何的方法.这与在欧几里得几何中，或者在高斯、波尔约和罗巴切夫斯基的非欧几何中，把空间作为一个整体考虑是对立的.黎曼摆脱了高斯等前人把几何对象局限在三维欧几里得空间的曲线和曲面里的束缚，从维度出发，建立了更具有普遍性的抽象几何空间.

黎曼引入流形和微分流形的概念，把维空间称为一个流形.维流形中的一个点可以用可变参数的一组特定值来表示，而所有这样的点构成流形本身，这个可变参数称为流形的坐标，而且是可微分的.当坐标连续变化时，对应的点就分布在整个流形当中.

黎曼仿照传统的微分几何定义了流形上两点之间的距离、流形上的曲线、曲线之间的夹角，并以这些概念为基础，展开对维流形几何性质的研究.在维流形上，他还定义了类似于高斯在研究一般曲面时，刻划曲面弯曲程度的曲率.他证明了在维流形上，维数等于3时，所得到的欧几里得空间情形与高斯得到的结果是一致的，因而黎曼几何是传统微分几何的推广.

黎曼发展了高斯关于一张曲面本身就是一个空间的几何思想，开展了对维流形内蕴性质的研究.黎曼的研究导致了另一种非欧几何——椭圆几何学的诞生.

在黎曼看来，有三种不同的几何学.它们的差别在于通过给定一点作关于定直线平行线的条数.如果只能作一条平行线，即是熟知的欧几里得几何学;如果一条平行线都不能作出来，则为椭圆几何学;如果存在一组平行线，就得到了第三种几何学，即罗巴切夫斯基几何学.黎曼在继罗巴切夫斯基以后发展了空间理论，使得一千多年来关于欧几里得平行公理的讨论宣告结束.他断言，客观空间是一种特殊的流形，并预见具有某种特定性质流形的存在性.这些断言逐渐被后人予以证实.

由于黎曼考虑的对象是任意维数的几何空间，对复杂的客观空间有更深层的实用价值，所以在高维几何中，多变量微分具有一定的复杂性.黎曼采取了一些异于前人的手段使其表述更为简洁，并最终促使张量、外微分等现代几何工具的诞生.爱因斯坦就是以黎曼几何为工具，成功地将广义相对论几何化.现在，黎曼几何已成为现代理论物理必备的数学基础.

三、对微积分理论作出了创造性的贡献

黎曼除了对几何和复变函数进行了研究以外，还对l9世纪初兴起的完善微积分理论作出了杰出贡献.

18世纪末到l9世纪初，数学界开始关心数学的一个最庞大分支——微积分在概念和证明中表现出的不严密性.波尔查诺、柯西、阿贝尔、狄利克莱以及维尔斯特拉斯，全都投入到研究分析严密化的工作中.黎曼由于在柏林大学师从狄利克莱研究数学，且对柯西和阿贝尔的工作有深入的了解，因而对微积分理论有其独到的见解.

1854年，黎曼在争取哥廷根大学编外讲师的资格时，还递交了一篇反映他学术水平的论文《关于利用三角级数表示一个函数的可能性》.这是一篇内容丰富、思想深刻的杰作，对完善分析理论产生了深远的影响.

柯西曾证明连续函数必定是可积的，而黎曼指出可积函数不一定是连续的.关于连续与可微性的这个关系，柯西和他那个时代几乎所有的数学家都相信是正确的，许多教科书都“证明”连续函数一定是可微的.但黎曼给出了一个连续而不可微的著名反例，最终讲清楚了连续与可微性的关系.黎曼建立了如现在微积分教科书所讲的黎曼积分的概念，给出了这种积分存在的充分必要条件.

黎曼用自己独特的方法研究傅立叶级数，推广了保证傅立叶展开式成立的狄利克莱条件，即关于三角级数收敛的黎曼条件，得出了关于三角级数收敛、可积的一系列定理.他还证明：可以把任一条件收敛的级数的项适当重排，使新级数收敛于任何指定的和或者发散为无穷大或负无穷大.

四、在解析数论方面取得跨世纪成果

19世纪数论中的一个重要发展是由狄利克莱开创的解析方法和解析理论的导入，而黎曼开创了用复数解析函数研究数论问题的先例，并取得跨世纪的成果.

1859年，黎曼发表了一篇《在给定大小之下的素数个数》的论文.在这篇论文中，他将素数的分布问题归结为函数的问题，现在称为黎曼函数.黎曼证明了函数的一些重要性质，并简要地断言了其它的性质，但未给予相应的证明.

在黎曼去世后的一百多年中，世界上有许多非常优秀的数学家尽了最大的努力想证明他的这些断言，并在作出这些努力的过程中为数学分析创立了新的内容，增加了新的分支.如今，除了他的一个断言——黎曼猜想外，其余都按黎曼所期望的那样得到了解决.

那个未解决的问题被称为“黎曼猜想”，即方程[ζ（s）=0]的所有有意义的解都在一条直线上（希尔伯特23个问题中的第8个问题），迄今为止这个问题还没有被证明出来.对于某些其它的域，布尔巴基学派的成员已证明相应的黎曼猜想.数论中很多问题的解决有赖于这个猜想的解决.黎曼的这一工作既是对解析数论理论的贡献，也极大地丰富了复变函数论的内容.

五、组合拓扑的开拓者

在黎曼博士论文发表以前，已有一些组合拓扑的零散结论，其中包含著名的欧拉关于闭凸多面体顶点、棱、面数关系的欧拉定理.还有一些看起来简单又长期得不到解决的问题：如哥尼斯堡七桥问题、四色问题，这些促进了人们对组合拓扑学（当时被人们称为位置几何学或位置分析学）的研究.但对拓撲学研究的最大推动力来自黎曼对复变函数论的研究.

黎曼在1851年的博士论文中，以及在他的关于阿贝尔函数的研究里都强调，要研究函数，就不可避免地需要位置分析学的一些定理.按现代拓扑学术语来说，黎曼事实上已经对闭曲面按亏格分类.值得一提的是，在他的学位论文中，黎曼提出了某些函数的全体组成（空间点）连通闭区域的思想，这是最早的泛函思想.

比萨大学的数学教授贝蒂曾在意大利与黎曼会面，黎曼当时由于病魔缠身，已无力继续研究发展其思想，于是就将在拓扑学上的研究方法传授给了贝蒂.贝蒂把黎曼的拓扑分类推广到高维图形的连通性上，并在拓扑学的其它领域作出了杰出的贡献.而黎曼则是当之无愧的组合拓扑的先期开拓者.

六、在代数几何方面作出贡献

19世纪后半叶，人们对黎曼研究阿贝尔积分和阿贝尔函数所创造的双有理变换的方法产生了极大的兴趣.当时他们把代数不变量和双有理变换的研究称为代数几何.

黎曼在1857年的论文中指出，所有能彼此双有理变换的方程（或曲面）属于同一类，它们有相同的亏格.黎曼把常量的个数叫做“类模数”，常量在双有理变换下是不变量.“类模数”的概念是现在“参模”的特殊情况，参模上的结构是现代数学研究最热门的领域之一.

著名的代数几何学家克莱布什后来到哥廷根大学担任数学教授，他在进一步熟悉了黎曼的工作后，将黎曼的工作推向了一个新的高度.虽然黎曼英年早逝，但世人公认，研究曲线双有理变换的第一个大步骤是由黎曼的工作引发的.

七、在数学物理、微分方程等其它领域取得成果

黎曼不但在纯数学领域作出了划时代的贡献，他也十分关心物理以及数学与物理世界的关系.他写了一些关于热、光、磁、气体理论、流体力学及声学方面的论文.黎曼是对冲击波作数学处理的第一个人，他试图将引力与光统一起来.他将物理问题中抽象出的常微分方程、偏微分方程进行定论研究，得到了一系列丰硕的成果.

黎曼在1857年发表的论文《对可用高斯级数表示的函数的理论的补充》，及同年写的一个没有发表而后收集在其全集中的片断中，提出了处理超几何微分方程和讨论代数系数的阶线性微分方程的方法.这是关于微分方程奇点理论的重要文献.

黎曼在常微分方程理论中自守函数的研究上也有所建树.在他关于超几何级数的讲义和1867年发表的关于极小正曲面的一篇著作中，他建立了为研究二阶线性微分方程而引进的自守函数理论，即现在通称的黎曼—许瓦兹定理.

在对偏微分方程的理论和应用研究上，黎曼在论文中提出解波动方程初值问题的新方法，降低了许多物理问题的难度;他还推广了格林定理，并对狄里克莱原理——关于微分方程解的存在性作了杰出的贡献……

黎曼在物理学中使用偏微分方程的讲义，后来由韦伯以《数学物理的微分方程》编辑出版，这是一本关于数学物理的重要著作.

黎曼在数学的各个领域都取得了不小的成就，他的工作直接影响了19世纪后半期的数学发展.许多杰出的数学家重新论证了黎曼断言过的定理，在黎曼思想的影响下，许多数学分支得到了长足的发展，并收获了巨大的成果.