曹文慧

高中数学命题主要包括公式、定理、运算法则等，大多较为抽象，学生理解起来较为困难.在教学数学命题时，教师可以根据学生的实际情况，合理设计一些问题链，让学生在问题的引导下探索数学命题的本质，领悟其精髓，掌握其应用技巧.合理利用问题链，让学生参与到发现问题、解决问题及构建命题的过程中，有助于培养学生的数学思维能力.本文以《平面向量的数量积》的教学为例，谈一谈如何运用问题链进行数学命题教学.

首先，问题的指向要明确.问题涉及的面不能太广或者表达的意思不能模棱两可，让学生不知道在问什么，不明白需要回答什么.例如，在教学《平面向量的数量积》时，教师如果提出问题1：我们已经研究了向量的哪些内容？学生就会不理解教师提问的目的何在，如何作答.教师如果将问题1改为：请同学们回顾一下，我们已经研究了哪些有关向量的运算？学生便会快速地想到问题的答案：向量的加法、减法、数乘运算.然后教师可以引导学生从原有的知识经验中探索新的知识，在问题1的基础上给出问题2：如何计算两个向量的积呢？学生由该问题立即联想到所学的知识，发现没有可用的公式.于是，教师可以引出新课的内容：平面向量的数量积.

其次，问题链中的各问题必须有一定的关联.在教學数学命题时，教师要结合学生的认识发展水平和已有的知识经验，围绕某一知识、方法或者教学目标设计不同层次、梯度的问题，或者将命题产生的背景、形成过程以及应用串联起来，加深学生对命题的理解，并让学生在回答问题的过程中了解各问题之间的联系，建立知识体系.

例如，在教学《平面向量的数量积》时，教师可以给问题3：我们知道，如果一个物体在力F的作用下产生位移s，如图1，那么F做的功为W=|F||s|cosθ，其中θ是F、s的夹角.我们能否把“功”看成是这两个向量的一种运算结果呢？于是学生尝试将F、s看作向量a、b，且它们之间的夹角为θ，于是得到了平面向量的数量积ab=|a||b|cosθ.接着教师可以给出问题4：设两向量e1、e2满足|e1|=2，|e2|=1，e1、e2的夹角为60°，求e1e2.学生利用该公式很快计算出结果为1.

结合学生已学的物理知识设计问题链，可以启发学生的思维，让学生发现平面向量的数量积与实际应用问题之间的联系，加深对平面向量的数量积的理解.

最后，问题链中的问题要具有启发性.在学生构建知识的过程中，教师要设置一些具有启发性的问题链，来让学生的认知产生碰撞，让学生学会发现问题、运用所学知识解决问题.这样，学生在思考问题的过程中就可以逐步扫除学习障碍，突破难点.

在《平面向量的数量积》的教学中，教师给出问题5：指出图2中的两个向量的夹角.学生通过观察，发现他们的夹角分别为：锐角、钝角、0o、180o、直角.

问题6：求向量夹角时，他们起点位置具有什么要求？（共起点）

问题7：向量夹角具有哪几种特殊情况？对应的向量存在怎样的位置关系？（0、[π]、[π2]，向量平行、垂直）

问题8：向量数量积运算结果与向量的加、减、数乘运算结果有什么不同？（向量数量积的结果是实数，向量的加、减、数乘结果还是向量）

问题9：向量数量积的符号在什么情况下为正？什么情况下为负？（夹角在[0，π2]时，为正，夹角在[π2，π]时，为负）

问题5～9这一连串问题，从不同的角度、层次探讨了数量积公式中各个量的作用、代表的含义、可能出现的情况，有利于引导学生深入理解向量的数量积.利用具有启发性的问题链，引导学生学会从数、形上对向量数量积的内涵、外延进行研究，学生便可自主得出结论：当[a，b]方向相同时，[a⋅b=ab];当[a，b]方向相反时，[a⋅b=-ab];特别地，[a⋅a=a2=a2].

在利用问题链进行数学命题教学时，教师要合理设置指向明确、有一定关联、具有启发性的问题，这样才能有效地提升命题教学的效率.

（作者单位：江苏省海门市证大中学）