王汉奎

数学思想有很多，將其运用于解答函数题，有助于拓宽解题的思路，提升解题的效率.在解题教学中，教师要重视讲解各种数学思想方法的应用条件和技巧，开展有针对性的训练，让学生学会灵活地运用数学思想来解题.

一、分类讨论思想

当遇到题目条件较复杂的函数问题时，教师首先要引导学生根据题目的条件，针对题目的各种情况进行分类，逐类进行讨论，再综合求出结果.利用分类讨论思想将问题分情况进行讨论，思路会更加清晰.

例1.求函数[f（x）=lg（ax-k2x）]（a>0且a≠1，k∈R）的定义域.

解析：在解答此题时，教师可以指导学生假设函数[f（x）]为有意义，学生结合已学的对数知识可以得到[ax-k2x>0]，从而得到[a2x>k].此时，教师可以指导学生对[k]进行分情况讨论，当[k≥0]时，x∈（0，+∞）;当[k<0]时，对不等式两边取对数，可以发现若[k<1]，则x∈R;若[k≥1]，则[x]∈Ø.综上，当[0≤k≤1]时，x∈（0，+∞）;当k≥1时，x∈Ø.

在运用分类讨论思想解题时，教师要提醒学生确保分类讨论的完整性，防止因为分类的遗漏或重复而出现的问题.

二、数形结合思想

数形结合思想是在解答函数题中运用较多的一种解题方式. 运用数形结合思想解题的关键是，根据题目的要求灵活地进行“数”与“形”之间的互化，建立“数”与“形”之间的关系，使问题得以简化.在解题时，教师要引导学生将函数题目中抽象的数量关系，通过图形以直观化的形式展现出来，简化解题的过程，优化解题的方案.

例2.设函数[f（x）=x-[x] ，x≥0，f（x+1） ，x<0，]其中[x]表示不超过x的最大整数，如[-1.5]=-2，[2.5]=2，若直线y=  k（x-1）（k<0）与函数[y=f（x）]的图象只有三个不同的交点，则k的取值范围为（ ）.

解析：教师可以首先引导学生作出函数[f（x）=x-[x] ，x≥0，f（x+1） ，x<0，]的图象，如图所示.

然后，学生由直线[y=k（x-1）（k<0）]与函数[y=f（x）]的图象只有三个不同的交点，可以得到[-1<k≤-12].

运用数形结合思想解题，能够将题目中所有的信息展示在图形上，做到一目了然，学生可以用最简单的方法得到最准确的结果.

三、方程思想

函数与方程之间的关系较为密切.在解题时，令函数[y=f（x）=0]，就将函数问题转化为方程问题.在函数中，方程思想主要应用于求函数的零点及其取值范围、讨论二次函数的根的分布情况、函数图象与x轴的交点问题等.

例3.已知函数[f（x）=x2-2x+a（ex-1+e-x+1）]有唯一零点，则a=（ ）.

A.- [12] B.[13] C.[12] D.1

解析：由[f（x）=0，a（ex-1+e-x+1）=-x2+2x].

[ex-1+e-x+1≥2ex-1·e-x+1=2]，当且仅当[x=1]时取“=”.

[-x2+2x=-（x-1）2+1≤1]，当且仅当[x=1]时取“=”.

若a>0，则[a（ex-1+e-x+1）≥2a]，

要使[f（x）]有唯一零点，则必有[2a=1]，即[a=12].

若[a≤0]，则[f（x）]的零点不唯一.

综上所述，[a=12].

该题主要考查了方程思想的应用.在解题时，教师首先要引导学生将函数问题转化为方程的根的问题，然后利用基本不等式确定a的取值.方程思想在解函数题中应用较广泛，教师要组织学生开展有针对性的训练，帮助他们提升运用方程思想解题的能力.

在解答函数题时灵活地运用数学思想，对解题有很大的帮助.因此，在解题教学中，教师不仅要讲解解答函数题的基本方法，还要指导学生灵活地运用数学思想方法，提升解题的技能.

（作者单位：浙江省绍兴市新昌县鼓山中学）