宋美芸 谢佐杰

算法是高中数学中的重要内容，也是计算机科学的基础，是连接问题与计算机程序语言之间的桥梁.若一元方程[f（x）=0]的左端函数[f（x）]不是关于x的多项式，那么我们就将类方程称之为超越方程.超越方程一般没有解析解，而只有数值解或近似解.求解超越方程近似解的方法有很多，而利用算法或者计算机程序语言来求解是最为简便的一种方法.笔者结合一个实际应用问题，来谈一谈算法在求解超越方程中的应用.

问题：内江某玻璃厂的工人需要切割一块如图1所示的玻璃窗.若该窗户的横梁长为a、竖梁高为b、圆弧长为[l]，为了能准确切割出这块玻璃，工人必须知道此圆弧半径[R].求该圆弧的半径[R].

解析：如图2，我们先作辅助线，将扇形扩充为一个完整的圆，连接AB、AO、BO，其中AO、BO为圆的半径，[AB]为圆的一条弦，作弦[AB]的中垂线DO，则DO必过圆心且平分[∠AOB]，令弧[AB]所对的圆心角∠AOB=θ（θ为弧度角），建立等式[l=θ⋅R]，[sinθ2=a2+b22R]，两式联立消去[θ]得[sinl2R=a2+b22R].该方程属于超越方程，其中R是要求的未知量，该方程无法直接求解.一般，我们会采用常规方法，利用函数与方程的思想，令[fR=sinl2R][=a2+b22R]，在同一个平面直角坐标中分别作出这两个函数的图象，于是两图象交点的横坐标即为方程的解.此方法在理论上可行，但在实际操作中存在很大的困难.因为一般我们很难作出准确的图形，并且通过画图得出的结果必然存在很大的误差，所以这种方法并不是解答这个问题的最好方法.

我们可以转换思路，利用算法来求解.首先，我们需要确保数据的准确性，将数据的单位设置为毫米，这样可以将误差控制在0.01毫米内.然后，我们可以从0.01毫米开始取值，让R的值逐次递增0.01，分别将其代入方程左边和右边的两个等式[M=sinl2R]、[N=a2+b22R]中，并算出M和N的值，判断|M-N|是否小于或等于0.001，其程序框圖如图3所示.如果该值小于或等于0.001，我们就可以近似认为m=n，此时R的值就是方程的解.人工计算肯定需要很长的时间，但计算机可以以每秒上亿次的计算速度来进行计算，得出结果所花的时间不足一秒，所以此方法可行.

该算法的关键是在R值递增的过程中，判断等式两边的差值是否小于或等于0.001.由于三角函数的正弦值不会大于1，我们可以将程序设计为：当等式两边的差值大于或等于1时，R每次递增1;当等式两边的差值小于1时，R每次递增0.01，这样可以有效地提高运算的效率，并且使最终计算出的结果误差在0.01内.如果我们想提高计算的精确度，就可以把当差值小于1时，R每次递增的值设置得更小，这样可以按照我们的需要来设置算法.

该算法的程序如下：

$（function （ ） {

var $a = $（"#input-a"）;

var $b = $（"#input-b"）;

var $l = $（"#input-l"）;

$（"#getResult"）.on（"click"， function （      ） {

var l = parseFloat（$l.val（ ））; //弧长

var a = parseFloat（$a.val（ ））; //长

var b = parseFloat（$b.val（ ））; //高

if （isNaN（l） || isNaN（a） || isNaN（b））

{ alert（"只能输入数字"）;

return; }

var r = 1; var d = null;//差值小于0.001

var count = 0; //计算次数

var c = Math.sqrt（a * a + b * b）;

do { var nd = Math.abs（Math.sin（l / （2 * r）） * （2 * r） - c）;

if （nd <= 1） { //差值小于1

r += 0.01;  }

else { r += 1;  }

count++;    d = nd;

if （count > 200000） { alert（'无法计算出结果'）;

return;   }

} while （d > 0.001）;

alert（"r=" + r.toFixed（2））;

return false;  }）}）;

其程序架构过程如图4所示，其运算过程如图5所示.

如果所输入的参数不合要求，出现如[l≤a2+b2]的情况，则计算结果会提示“无法计算出结果”.为了防止程序进入死循环，我们需要增加内容：在计算200000次后，仍然没有找到满足条件的解，则为无解.此方法还可以推广到解答其它不易直接求解的方程中.

（作者单位：四川省内江市第一中学）