胡作玄

1.解的存在性问题。对于大多数问题，首先必须判定不定方程有没有解，因为如果没有解或只有平凡解，盲目去找是白费工夫。一般来说，总是要先试试是否能找到几个解，如果能找到，心里就有底可以继续往下进行。现在有了计算机的帮助，做这件事就比以前快多了。要是左找右找找不到，也许就要考虑证明没有解或者只有平凡解了。不过，这也绝不是一件容易的事。

2.解的数目。在肯定不定方程有解后，就要知道解有多少。这一般有3种情形：

①只有平凡解;

②只有有限多非平凡解;

③有无穷多非平凡解。

当证明只有平凡解之后，问题回到第一个步骤。

3.解的大小。当知道不定方程存在非平凡解之后，就必须判定解是有限多还是无穷多，这时就要看有没有办法确定解的大小。如果所有解有一个上界，那么可以肯定解是有限多个。有时，我们不能一下子证明没有解或者只有平凡解，可以通过解的大小证明解的个数有限，这是我们证明过程中的重要一步。费马大定理的证明曾有过这一步，虽然最后的证明并不依靠这个结果，但对于这里要讲的卡塔兰猜想的证明，这却是关键的一步。

4.解的完全组。如果有解的话，列出所有的解或得出所有解的表示公式，就表示对某个不定方程实现了彻底的求解，就像勾股方程一样。但是，除了最简单的不定方程之外，能达到这一步的不定方程真是少之又少。现已知达到如此功德圆满的不定方程，除了勾股方程之外，还有一次不定方程，如ax+by=c，其中a、b、c互素。还有一个佩尔（Pell）方程x-Dy=1.

二、许多高次方程仍是数学家未来研究的课题

由于不定方程数目众多，两三千年来我们已经得到了许多有效的解决方法，主要分成四大类：

1.初等方法。主要是运用初等代数和初等数论的方法。直到19世纪中叶，这都是研究不定方程最主要的方法。费马大定理的特殊情形就是借助初等方法，卡塔兰猜想的特殊情形也是如此。

2.代数方法及代数数论方法。我们对费马大定理的研究导致了代数数论的发展，代数数论反过来又推动了对不定方程的研究。同时，代数数论引起了20世纪抽象代数的发展，产生了对解不定方程至关重要的局部一整体原理。

3.丢番图逼近法。这个方法起源于用有理数逼近无理数的研究，并在20世纪产生了一系列对不定方程解的有限性的证明，特别是卡塔兰猜想。

4.丢番图几何方法。这是最先进的方法，威尔斯就是用这个方法彻底证明了费马大定理。

三、卡塔兰猜想

现在来看卡塔兰猜想。其实，它考虑的是所有整数的二次幂、三次幂乃至高次幂之间的差距。我们来看一组具体的数值：

当n=2，3，4，5，6，…时，

n=4，9，16，25，36，…

n=8，27，64，125，216，…

n=16，81，256，625，1296，…

n=32，243，1024，3125，7776，…

n=64，729，4096，15625，46656，…

n=128，2187，16384，78125，279936，…

我们按大小顺序把这些方幂排在一起得到：

4，8.9，16.25，27.36，49，64，81，100，…

显然，除了8、9之间的差距为1之外，再没有差距为1的了。事实上，1000000以下也没有，由此可能要考虑一般情形的证明了。

通常，碰到4个未知数的不定方程，往往要先看一下能否化简。卡塔兰方程恰好可以。因为从上面的数列可以看出，如果n的指数是复合数（除1与它自身外，还能被别的正整数除尽，这种数叫做复合数），则该数列中的数一定出现在n的指数为素数的数列之中。实际上，如果p是u的一个素因子（一个整数如果能被一个素数所整除，这个素数就叫做这个整数的素因子），如u=pk，则n=n=n=（n）。

2.由ABC猜想可推出莫德爾猜想。莫德尔猜想是丢番图几何中的重要猜想，即亏格（genus）大于1的代数曲线上，坐标为有理数的点只有有限多。假定有一个二元方程，我们考虑所有满足方程的复数x、y。这些解对应了一个几何曲面，拓扑学家把这些曲面上的洞（hole）或者把柄（handle）数称为曲线的亏格数，以此来刻画曲线。亏格等于1的叫椭圆，亏格等于0的叫抛物线。这个极难的猜想在1983年被德国数学家法尔廷斯（G。Faltings，1954年一）所证明，因此，他荣获了1986年的菲尔兹奖。

3.由ABC猜想可以推导出只有有限多梅森数是方幂，以及只有有限多费马数是方幂。

4.由ABC猜想可以推导出只有有限多斐波纳契数是方幂，同样，是卢卡斯数的方幂也是有限多。

此外，由ABC猜想还可推导出许许多多猜想来，因此，证明（或反证）它是21世纪的一项重大任务。