河源市田家炳实验中学(517000) 袁雨红

纵观近几年高考数学全国卷导数压轴题,有如下特点:主要以三次函数或以指数函数、对数函数和多项式函数混合为载体,试题有一定的综合性,考查导数的几何意义,利用导数研究函数的单调性、极值、最值,研究方程和不等式,渗透了函数与方程、分类与整合等数学思想和方法.笔者通过研究近几年全国卷导数压轴题,下面介绍其常用解题策略.

一、虚设零点

导函数的零点既可能是原函数单调区间的分界点,也可能是原函数的极值点或最值点.在高考导数压轴题中,经常会遇到导函数有零点但求解比较复杂甚至无法求解的问题.此时,无需具体求出,只需设出零点,充分利用其满足的关系式,谋求一种整体的代换和过渡,再结合其他解决问题,这种方法即是“虚设零点”[1].

例1(2019年高考全国卷Ⅰ理科第20 题) 已知函数f(x)=sinx-ln(1+x),f′(x)为f(x)的导数.证明:

(1)f′(x)在区间存在唯一极大值点;

(2)f(x)有且仅有2 个零点.

知识考查函数的零点,利用导数研究函数的极值和零点.

试题难度较大.

思路方法(1)设g(x)=f′(x),对g(x)求导可得g(x)在(-1,a)单调递增,在单调递减,由此得到极大值点的唯一性.

(2)对x进行讨论,当x∈(-1,0]时,利用函数单调性确定此区间上有唯一零点;当时,利用函数单调性,确定f(x)先增后减且f(0)=所以此区间上没有零点;当时,利用函数单调性确定此区间上有唯一零点;当x∈(π,+∞)时,f(x)＜0,所以此区间上没有零点.

解析(1) 设g(x)=f′(x),则g(x)=cosx-当x∈时,g′(x)单调递减,而可得g′(x)在上有唯一零点,设为a.则当x∈(-1,a)时,g′(x)＞0,则g(x)在(-1,a)上单调递增,当时,g′(x)＜0,则g(x)在上单调递减,故g(x)在上有唯一极大值点,即f′(x)在上存在唯一极大值点.

(2)显然,f(x)的定义域为(-1,+∞).以下将定义域分成四个区间,并分别各个区间中的零点的个数.

①当x∈(-1,0]时,由(1)知,f′(x)在(-1,0)单调递增,而f′(0)=0,所以当x∈(-1,0)时,f′(x)＜0,故f(x)在(-1,0) 单调递减.又f(0)=0,从而x=0 是f(x) 在(-1,0]的唯一零点.

②当x∈时,由(1) 知,f′(x) 在(0,a) 单调递增,在单调递减,而所以存在使得f′(β)=0,且当x∈(0,β)时,f′(0)＞0;当x∈时,f′(0)＜0.故f(x)在(0,β) 单调递增,在单调递减.又f(0)=0,所以当x∈时,f(x)＞0.从而,f(x)在没有零点.

③当x∈时,f′(x)＜0,所以f(x)在单调递减.而所以f(x)在有唯一零点.

④当x∈(π,+∞)时,ln(x+1)＞1.所以f(x)＜0,从而f(x)在(π,+∞)没有零点.

综上,f(x)有且仅有两个零点.

评注利用导数确定函数零点或方程根个数的方法.(1)构建函数g(x)(要求g′(x)易求,g′(x)=0 可解),转化为确定g(x)的零点个数问题,利用导数研究该函数的单调性、极值,并确定定义区间端点值的符号(或变化趋势)等,画出g(x)的图象草图,数形结合求解.(2)利用零点存在性定理.首先借助该定理判断函数在某区间上有零点,若可断定存在零点,则利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值符号,进而判断函数在该区间上零点的个数.

二、分类讨论

分类讨论思想在简化研究对象,发展思维方面起着重要作用,因此,有关分类讨论思想的数学命题在高考试题中占有重要地位.分类讨论问题的常见题型:问题中的变量或参数需要进行分类讨论;问题中的条件是分类给出的;解题过程不能统一叙述,必须分类讨论的.分类原则:分类对象确定,标准统一,分层讨论,不重不漏[2].

例2(2019年高考全国卷Ⅲ理科第20 题) 已知函数f(x)=2x3-ax2+b.

(1)讨论f(x)的单调性;

(2)是否存在a,b,使得f(x) 在区间[0,1]的最小值为-1 且最大值为1? 若存在,求出a,b的所有值;若不存在,说明理由.

知识考查导数的运算、函数的导数与单调性的关系、利用函数的导数研究函数的最值.

试题难度较大.

思路方法(1) 先求出f(x)的导数,再根据导函数的符号判断函数的单调性,由于导函数中含有字母参数,需要对参数进行分类讨论.

(2)结合(1)中函数的单调性,确定函数的最值,从而建立关于a,b的方程(组)求解,要注意验证解的合理性.

解析(1)f′(x)=6x2-2ax=2x(3x-a).令f′(x)=0,得x=0 或x=

①若a＞0,则当x∈(-∞,0)时,f′(x)＞0;当x∈时,f′(x)＜0.故f(x) 在单调递增,在单调递减.

②若a=0,则f(x)在(-∞,+∞)单调递增.

③若a＜0,则当x∈∪(0,+∞) 时,f′(x)＞0;当x∈时,f′(x)＜0.故f(x) 在单调递增,在单调递减.

(2)满足题设条件的a,b存在.

①当a≤0 时,由(1)知,f(x)在[0,1]单调递增,所以f(x)在区间[0,1]的最小值为f(0)=b,最大值为f(1)=2-a+b.此时a,b满足题设条件,有即a=0,b=-1.

②当a≥3 时,由(1)知,f(x)在[0,1]单调递减,所以f(x)在区间[0,1]的最大值为f(0)=b,最小值为f(1)=2-a+b.此时a,b满足题设条件,有即a=4,b=1.

③当0＜a＜3 时,由(1)知,f(x)在[0,1]的最小值为最大值为b或2-a+b.若

综上所述,当a=0,b=-1 或a=4,b=1 时,f(x)在区间[0,1]的最小值为-1 且最大值为1.

评注(1)讨论函数的单调性时,一要注意函数的定义域,二要注意分类的标准,做到不重不漏;(2)对于探索性问题,求出参数的取值后要注意检验.

三、多次求导

利用导数研究函数的单调性、值域问题时,往往会遇到判断不了一次导函数在其定义域上的正、负取值问题,在这种情况下二次求导可判断一次导数的单调性,进而求一次导函数的值域,由此来判断原函数的单调性、求解值域问题等[1].

例3(2018年高考全国卷Ⅲ理科第21 题) 已知函数f(x)=(2+x+ax2)ln(1+x)-2x.

(1)若a=0,证明:当-1＜x＜0 时,f(x)＜0;当x＞0 时,f(x)＞0;

(2)若x=0 是f(x)的极大值点,求a.

知识考查利用导数研究函数的单调性.

试题难度中等.

思路方法对f(x)进行二次示导,设g(x)=f′(x),利用g(x)研究f(x)的单调性,再结合f(0)=0,证明不等式.

解析(1)当a=0 时,f(x)=(2+x)ln(1+x)-2x,f′(x)=ln(1+x)-设函数g(x)=f′(x)=则当-1＜x＜0时,g′(x)＜0;当x＞0 时,g′(x)＞0.故当x＞-1时,g(x)≥g(0)=0,且仅当x=0 时,g(x)=0,从而f′(x)≥0,且仅当x=0 时,f′(x)=0,所以f(x) 在(-1,+∞) 单调递增.又f(0)=0,故当-1＜x＜0 时,f(x)＜0;当x＞0 时,f(x)＞0.

(2)略.

评注对函数进行二次求导,解题过程简便易懂,因此要强化多次求导的解题意识.

四、构造函数

利用导数研究函数的零点是导数一个非常重要的应用,f′(x)=0 经常涉及解超越方程问题,可以通过构造恰当的辅助函数与解超越方程问题完美擦肩而过,利用问题的等价性进而研究函数的零点解决问题[3].

例4(2018年高考全国卷Ⅱ理科第21 题) 已知函数f(x)=ex-ax2.

(1)若a=1,证明:当x≥0 时,f(x)≥1;

(2)若f(x)在(0,+∞)只有一个零点,求a.

知识考查导数在研究函数中的应用.

试题难度较大.

思路方法构造函数,利用函数的单调性与极值(或最值)可完成证明与求解.

解析(1)略.(2) 设函数h(x)=1-ax2e-x,f(x)在(0,+∞)只有一个零点等价于h(x)在(0,+∞)只有一个零点.

(i) 当a≤0 时,h(x)＞0,h(x)没有零点;

(ii) 当a＞0 时,h′(x)=ax(x-2)e-x.

当x∈(0,2)时,h′(x)＜0,h(x)在(0,2)上单调递减;当x∈(2,+∞)时,h′(x)＞0,h(x)在(2,+∞)上单调递增.故h(2)=是h(x)在(0,+∞)的最小值.

①若h(2)＞0,即在(0,+∞)没有零点;

②若h(2)=0,即在(0,+∞)只有一个零点;

③h(2)＜0 时,即由h(0)=1＞0,则h(x)在(0,2)有一个零点.由(1)知,当x＞0 时,ex＞x2,则故h(x)在(2,4a)有一个零点.因此,h(x)在(0,+∞)有两个零点.

综上所述,当f(x)在(0,+∞)只有一个零点时,

评注根据指数函数y=ex值域的特殊性,巧妙构造函数h(x)=1-ax2e-x,通过分类讨论思想求解.

五、分离参数

讨论含参数的方程或不等式问题时,进行分类讨论有时比较复杂.如果我们将含参数的方程经过变形,将参数分离出来,使方程的一端化为只含参数的的解析式,而另一端化为与参数方程无关的主变元函数,通过函数的值域或单调性讨论原方程的解的情况,则往往更加快捷.

例5(2013年高考全国卷新课标Ⅰ第21 题) 设函数f(x)=x2+ax+b,g(x)=ex(xc+d).若曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0,2),且在点P处有相同的切线y=4x+2.

(1)求a,b,c,d的值;

(2)当x≥-2 时,f(x)≤kg(x),求k的取值范围.

知识考查导数在研究函数中的应用,不等式恒成立问题.

试题难度较大.

思路方法第(2)问可以先分离出参数k,转化为求函数的最值问题.

解析(1)a=4,b=2,c=2,d=2,过程从略.

(2)由(1)知,f(x)=x2+4x+2,g(x)=2ex(x+1).由f(x)≤kg(x),得x2+4x+2≤2kex(x+1),设

则F′(x)=

①当x=-1 时,对任意k ∈R,f(x)≤kg(x)均成立;

②当-2≤x＜-1 时,f(x)≤kg(x) 等价于k≤F(x).由F′(x)≥0 知:F(x) 在[-2,1) 上单调递增,所以F(x)≥F(-2)=e2,从而k≤e2.

③当x＞-1 时,f(x)≤kg(x)等价于k≥F(x).当x∈(-1,0)时,F′(x)＞0,则F(x)在(-1,0)上单调递增;当x∈(0,+∞)时,F′(x)＜0,则F(x)在(0,+∞)上单调递减.所以F(x)≤F(0)=1,从而k≥1.

综上所述,k的取值范围为[1,e2].

评注分离参数法常用于求参数的取值范围,通过将参数分离,将求参数的取值范围问题转化为函数在给定区间上的最值问题.在分离变量时要注意以下几个问题:①分离变量是可分的,可求的;②分离变量的范围只有一头,如果得出两头可能是分类讨论变号产生;③除的时候考虑正负[3].

六、合理放缩

导数压轴题中函数不等式问题常常涉及超越不等式,难度非常高,进行合理放缩是解决此类问题的关键所在.常见的一种放缩法是切线放缩法,曲线的切线为一次函数,高中阶段大部分函数的图像均在切线的同侧,即除切点外,函数的图像在切线的上方或下方,利用这一特性,可以将参与函数放缩成一次函数[1].

例6(2017年高考全国卷Ⅲ理科第21 题) 已知函数f(x)=x-1-alnx.

(1)若f(x)≥0,求a的值;

(2)设m为整数,且对于任意正整数n,求m的最小值.

知识考查导数在研究函数单调性中的应用、不等式放缩.

试题难度较大.

思路方法第(2) 问可根据(1) 的结论,可得出结论从而得

通过放缩及对数的运算法则求得m的最小值.

解析(1)a=1,过程从略.(2) 由(1)知,当x∈(0,+∞)时,x-1-lnx＞0,即lnx＜x-1.令x=得从而

所以m的最小值为3.

评注本题是利用不等式lnx＜x-1 进行放缩,要熟悉不等式ex≥x+1 及其变形ex-1≥x,ex≥ex,lnx≥1-ln(x+1)≤x,ln(x+1)≥的适用范围及等号成立的条件,这些不等式都是指对放缩时常用的不等式.