陈雪斌

摘要：行程问题是研究路程、速度和时间三者之间的关系。随着运动物体的个数、时间、地点及运动方向、结果等因素的变化，行程问题变得变化多端且错综复杂。基于此，教师应针对行程问题编写拓展性学材，立足课本内容，通过以“类”组题，把握问题的本质属性，实现主动建构;以“序”呈题，揭示问题的发生发展过程，完善认知;以“一”拓题，在多种变换中反复运用，构建解题策略，积累解题经验，促进知识的生长，实现师生共同成长。

关键词：对接   生长   行程问题   拓展

行程问题是研究路程、速度和时间三者之间的关系，是物体匀速运动的物理模型。从横向来看，它适用于总价、单价、数量，每份数、份数与总数这一类现实中的乘法问题，可以称为乘法模型的代表;从纵向来看，随着运动物体由一变多，运动方向、结果等诸多因素的变化，问题也变得错综复杂。再加上行程问题与分数、比例等知识综合起来，呈现出综合性强、类型多样的特征，学生更加难以把握。究其原因，是因为行程问题的复杂性与课时紧迫性之间的矛盾，迫于课时限制，在平时数学教学中，教师只囿于课本，没有从本质上揭示关键要素，学生没有对行程问题形成系统性认知，没有建立整体结构。

教师针对行程问题编写拓展性学材时，应立足课本内容，对接学生的所知、所惑、所需，通过揭示多个物体运动的关键要素，引领学生分析问题;针对共性问题分类组题，实现学生主动建构;针对同类问题序列呈现，揭示问题的发生发展，完善学生认知;在多种变换中反复运用，内化形成心智技能，构建解题策略，积累解题经验，促进学生知识和学力的生长。

一、低起点：以“点”引题，唤醒旧知

在编写拓展性学材时，教师要源于课本，又高于《课程标准》。具体来说，源于课本是从基础性来思考的，为例题的学习起到了解现实起点、唤醒旧知之效;高于《课程标准》是从生长性来考虑的，为例题学习确定了思维角度与发展方向。因此，在编写拓展性学材时，教师应安排课本链接，呈现“低起点，高落点”的态势。

例1.甲、乙两人分别从相距180米的两地同时出发相向而行，甲、乙的速度分别是40米/分与20米/分。两人几分钟后相遇？

例2.甲、乙两人分别从相距180米的两地同时出发同向而行，甲、乙的速度分别是40米/分与20米/分。几分钟后甲追上乙？

上述两个例子是五年级《代数》单元章节中的相遇问题与追及问题，有助于面向全体学生诊断学习起点、唤醒铺垫。在教学中，教师的教学重点落后围绕这两题进行追问：“求时间的方法有什么不同？为什么？”师生进行比较、讨论，引出分析两个物体运动事件时要考虑“方向”与“结果”这两个要素，通过想象，唤醒相向、相背、同向三种方向，直观地理解了速度和（差）与各种方向的逻辑联系。由此看来，从源头上把握速度和、速度差的影响要素和产生原因，是分析多个运动物体数量关系的关键与本源。

二、强联系：以“类”组题，主动建构

教师应从行程问题的题目类型、分析思路、发展变化等角度进行思考与分类，有代表性地描述与呈现整类题目，力图体现精选题、拎结构、显联系，才能让学生在题组中通过感知、理解、比较，全面把握，达到窥一斑见全身之效。

1.逆向而寻，编制可逆关系的“类”

逆向思维是一种从反面观察事物，变换思考角度，由果索因的思维形式。它的创新在于从另一个方向来验证结果，多了一种探求的乐趣，实现了正向和逆向的融会贯通，达到对数学知识的深度理解，提高了学生思维的灵活度。如针对例1中进行逆向思考，学生分别可以求出两地路程、甲与乙的速度，形成一组可逆关系的四道题：

原题：求相遇时间180÷（40+20）=3（分钟）

联 1：求两地路程 （40+20）×3=180（米）

联 2：求甲的速度180÷3-20=40（米）

联 3：求乙的速度180÷3-40=20（米）

原题：求追及时间80÷（40-20）=9（分钟）

联 1：求追及路程（40-20）×9=180（米）

联 2：求甲的速度180÷9+20=40（米）

联 3：求乙的速度40-180÷20=20（米）

每组的四道题所求问题不同，但分析思路呈现出共性，即相遇问题是先求速度和，追及问题是先求速度差，从而引导学生从整体上把握，抓住思路的共通之处进行理解建构，建立起统摄性的数学模型，使学生进一步理解问题中隐藏的数量关系。

2.水平而找，组织横向联系的“类”

学生的学习就是激活、利用、调整与提升已有经验，进行主动建构。学生在现实生活中积累了一定的行程问题经验，而经验的有限性与问题的复杂性构成了一对矛盾，如何运用有限的经验进行无限的超越想象、理解，就需要学生寻找、链接相似的生活情境，让学生将发现的一个个知识“点”连成知识“串”，形成知识“链”，构成牢固的知识“网”。

例3.甲、乙两车分别从相距240千米的两地出发同向而行，甲车出发2小时后乙车才开出。已知甲车每小时行驶70千米，乙车每小时行驶30千米，问乙车出发几小时后被甲车追上？

例4.哥弟俩都步行到同一学校上学，他们的速度分别是50米/分与30米/分。一天弟弟先出发5分钟后，哥哥才出发（速度不变）。问哥哥出发多久后才追上弟弟？

上述两题分别从“时间”与“地点”两个维度进行变易，在解决行程问题时，学生需要关注时间、地点、方向與结果四大要素。例3从“同时”变成“不同时”，通过“甲车先出发2小时”这个变易因素，学生可以发现“路程差”，联想到可能是“乙车先出发2小时”这种不同情况;例4是出发地点由“两地”变成了“同地”，同地出发由于慢方先行产生路程差，还可以将此题变成“哥弟同时出发，2分钟后哥发现忘带资料，原路原速返回，拿东西用去1分钟”。通过这类题解答、分析与对话，学生自主经历了追及问题的各种变化，丰富了事实背景与分析经验，发现思考的路径都是“路程差÷速度差=追及时间”，聚焦到“不同时”与“地点变化”引起路程差。这样一来，学生就站在更开阔的视野解读和分析题目了。

3.顺势而探，组合比较关系的“类”

正所谓：“有比较才有鉴别。”比较是一切理解与思维的基础。对于相遇问题中有些偏难、易错的综合问题，学生可以通过比较达到澄清、明晰，予以突破。基于此，教师可以沿着相遇问题顺势挖掘，安排题组让学生主动发现异同，形成思路，然后在交流中发现易错点，分化知识。

例5.甲、乙两车同时从东西两地相向开出。甲车每小时行驶42千米，乙车每小时行驶50千米，两车相遇时甲车比乙车少行驶32千米。问东西两地相距多少千米？

例6.甲、乙两车同时从东西两地相向开出。甲车每小时行驶42千米，乙车每小时行驶50千米，两车在距中点32千米处相遇。问东西两地相距多少千米？

例5运用“路程差÷速度差=时间”，先求出时间再求路程，同化到原来的求路程问题思路中。例6是典型的“中点”问题，学生借助线段图直观地理解中点问题，在比较中引出题目的关键点与注意点。另外，教师可以改变信息为“当乙车行到中点，甲车离中点还有32千米”，让学生在质疑与对比中理解“中点”起着参照点的作用，在辨别中主动建构，突破自身的思维定势。

三、高结构：以“序”呈题，完善认知

行程问题具有极强的结构性，如两地出发的相向行程，随着运动时间的不断推进，运动物体会处于不同的运动结果，即未相遇、相遇、交叉而过又相距、快方（或双方）到达、二次相遇等，这些结果往往又隐藏着解决问题的关键信息。在编题时，教师应突出“序”，体现问题的系统性与结构性，让学生在与问题的对话中发现它们的发生与发展过程，在内隐信息的运用中体会“运动结果”的重要性。

例7.客車和货车同时从两地相对开出，客车每小时行70千米，货车每小时行50千米，经过2小时后，这时两车还相距45千米。两地相距多少千米？

例8.客车和货车同时从相距285千米的两地相向而行，客车每小时行驶70千米，货车每小时行驶50千米，行了几小时后两车交叉而过又相距75千米？

未相遇    共行驶路程﹤全程

相  遇    共行驶路程 =全程

交叉而过  共行驶路程﹥全程

又相距

这组例题在同一素材中凸显运动结果的区别，将学生的视角聚焦到“结果”要素上，经历从“未相遇”到“相遇”，再到“交叉而过又相距”，引导学生发现三种不同的运动结果分别是共行驶路程与全程的三种不同的对应关系。

四、善变换：以“一”拓题，引发生长

俗话说：“少则得，多则惑。”教师在拓展时，要用“精”素材，通过变换实现“以一当十”，帮助学生在“异”中思“变”，“变”中求“通”，从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探究规律，努力实现内容、策略的多角度延伸，深入学生的学习。

1.变换条件或问题，由单薄到丰厚，探求本质

如在下题的讨论中，学生的争论点在共行路程是2个全程还是3个全程这个疑惑处。学生画图分析辨认澄清，再通过改编求全程、速度突出双方共行3个全程是关键。这是较难的二次相遇问题，数据少、算式简单，但思维含量高。

80×3-50=190（千米）

甲、乙共行    甲

第1次相遇   在1个全程中  80

第2次相遇   在3个全程中  80×3

（比一个全程多50千米）

围绕“80×3求的是什么”“为什么-50就是全程”这两个问题，学生需要借助几何直观地运用倍比法来理解。此时，学生只是首次感知，建构这种问题不能一蹴而就，教师需要通过改编、寻同、辨异、延伸等途径达到深刻理解、内化与运用。

2.变换解题策略，由单一到全面，寻求灵动

当面对逆向题且有多个未知数的行程问题时，学生如果选择代数思维来分析，能实现化逆为顺，解题思路易于理解，便于建模。因此，教师要适时引进方程思路，开阔学生的视野，丰富学生的解题策略。

例9.汽车从甲地开往乙地，平均每小时行20千米。到乙地后又以每小时30千米的速度沿原路返回甲地，往返一次共用7.5小时。求甲、乙两地间的距离。

例10.两地相距460千米，甲车开出2小时后，乙车与甲车相向开出，经过4小时与甲车相遇。已知甲车每小时比乙车多行驶10千米。求甲车每小时行驶多少千米？

这两题都是有多个未知数的行程问题，从算术思维角度思考，方法不同，且理解难度较大。那么，教师可以引进代数思维解答，在交流中形成思路，即通常根据时间（或速度）的关系来设未知数，表示出路程后再根据路程的关系列方程，从而让学生感受代数的便捷，体会方程解决问题的优越性。最后，教师可以通过寻同，让学生体会到具有怎样特征的行程问题用方程解答比较合适，做到以题定法，完善策略。

3.变换运动物体，由二元到多元，追求深刻

随着运动物体的增加，行程问题的综合性越强，难度越大。因此，在拓展过程中，教师可以通过以两个运动物体的研究为支点，将视角延伸到多个物体，让学生将从两个物体获得的分析方法、解题策略等迁移运用到多个物体，学会在复杂情境中综合运用、感悟方法、提升能力。

思维发展是“根”，素养发展是“干”，唯有“根”深，才能“枝繁叶茂”。在行程问题的拓展课教学实践中，教师应始终紧扣学生的认知基础，切入学生的经验系统，高屋建瓴地选择、调整、组合、补充内容，编织一个具有生命力、处于运动中的思维网络，引领学生拾级而上，逐步丰厚学生对行程问题的认知储备，实现知识的结构化和系统化，达成思维的灵活性和深刻性，促进知识、学力、品格等诸多方面的生长，最终促进学生生命个体的成长。同时，教师自身也能够在实践和反思中不断磨炼，实现成长自我。

参考文献：

[1]许卫兵.简约数学教学[M].南京：江苏教育出版社，2011.

[2]G.波利亚.怎样解题[M].上海：上海科技教育出版社，2011.

[3]袁晓萍.学会向学生借智慧[M].杭州：浙江教育出版社，2018.

[4]陈加仓.小学数学拓展课[M].北京：中国人民大学出版社，2017.

（作者单位：浙江省台州市玉环市环山小学）