何叶飘

[摘要]一次磨课，就是一次“历劫”，是一次学习、实践和思考的过程，也是一次合作、反思与教学创新的过程，更是教师自身教学能力与专业素养提升的过程。在“分数的再认识”的磨课中，逐步深入概念本质，让课堂从肤浅走向深刻，从自我走向实际，促进学生深入理解知识。

[关键词]概念本质;深化理解;分数;认识

[中图分类号]

G623.5

[文献标识码]A

[文章编号] 1007-9068（ 2020） 26-0013-04

分数的意义这一内容并不好教，也是学生学习的一个难点：一是知识点较多，诸如单位“l”、分数的意义、分数单位等;二是内容较为抽象，教学时需要逐步剥离具体素材的依附，实现分数从“面积模型”到“集合模型”的过渡，并在此过程中进行“数学化”提炼，形成纯理论的表达;三是时间相隔较长，从“分数的初步认识”到“分数的再认识”的学习，长达一年半之久。如何考量和取舍才能有效教学分数的意义，既能把握分数意义的内涵实质，又能遵循学生的认知规律？我们数学组对“分数的再认识”一课进行了专题研讨。

【课前思考】

1.对多版本教材的对比和梳理

三个版本的教材尽管编排方式有所不同，但都是在“平均分”的基礎上，帮助学生进一步理解“部分与整体的关系”。北师大版教材没有用固定的语言表述分数的意义，而是让学生不断体会，自我感悟，内化对分数意义的认识。

2.通过前测缜密分析学情

学生的思维是否能跟上分数意义发展的步伐？就此问题，我们对学生（共45人）进行前测——用自己的方式表示出3/4这个分数，得出结论：全班学生基本都能用自己的方式表示出3/4，可见他们对分数意义的理解没有太大困难。由于在日常生活中，学生也经常会用“一堆”“一群”“一些”等词语来描述许多物体的集合，因此，学生立足于已有的生活经验和认知基础，由把一个物体看成一个整体过渡到把多个物体，乃至多组物体看成一个整体，都是比较容易的。

找到知识的生长点，我们决定课始就直接从建构单位“1”的意义人手，于是就有了第一次教学。

【第一次教学】

活动一：用不同的数表示两个正方形

下面的正方形可以用什么数来表示？

生1：把2个正方形看成一堆就是1。

师：可以把半个正方形看作“1”吗？用什么数来表示这些正方形呢？

生2：可以。4。

师：反应真快！还可以用数字几来表示这些正方形呢？

师：刚才大家把不同的部分看作“1”，用了2、1、4等整数来表示正方形。想一想，除了整数，可以用分数吗？能用什么分数表示？

（学生说出了很多分子和分母相同的分数）

师：还有其他分数吗？（很多学生说不出来）

生3：可以用2/3表示，它的整体是3个正方形。

师：像这样，把几个正方形看成一个整体，这样的“1”叫作单位“1”。

活动二：用不同的分数表示两位同学

师：我们一起做个游戏。请两位同学起立，大家用一个分数来表示看到的这两位同学，用哪个分数？

生4：这两位同学占全班的2/45。

生5：这两位同学占整个小组的2/10。

师：同样的两个同学，能够用不同的分数来表示，原因是什么？

生6：因为单位“1”不一样。

生7：单位“1”不确定。

师：单位“1”不同，这两个同学占这个整体的几分之几就不一样了。

活动三：通过练习，巩固分数的意义

习题：淘气吃了一个蛋糕的1/4，笑笑吃了一盒蛋糕的1/4。谁吃的多一些？

活动四：拓展练习，深化分数的意义

习题1：把12个蛋糕平均分给3个人，每人分得（ ），每人分得（ ）个。

习题2：把（ ）个蛋糕平均分给3个人，每人分得（ ），每人分得（ ）个。

【教后反思】

对于活动四中两道习题的完成情况，全班45人中做对的只有8人，错误主要集中在“每人分得几分之几”这一填空。由此可见，学生对于分数的意义还停留在初步感知的基础阶段，并没有深入理解分数的真正含义。通过分析，教学存在以下几个问题：

1.教学起点太高，脱离学生实际

教师耳提面命、声嘶力竭地让学生亦步亦趋地去抽象单位“1”，却有为数不少的学生茫然而不知所云。对于“同样两个正方形，为什么可以用任何数来表示呢？”学生是丈二和尚摸不着头脑的，而这一环节教学用时为23分钟。可见这一教学设计未能很好地顺应学生的思维，阻碍了单位“1”的建构。要让学生的学习真正发生，最关键之处就是要关注他们学习的真实起点，找准学生“现在在哪里”。

回顾前测习题，全班45人均能用自己的方式表示分数3/4的意义，其中用一个图形表示的有10人，用4个图形表示的有27人，但用多个图形表示的只有7人，仅占了全班的16%。从这些数据中不难看出，虽然学生都用自己的方式表示分数3/4的意义，但对于“分数是相对于单位1而言的”的本质，学生是不理解的，学生的思维仍然处于初步认识的形象阶段。

2.对单位“1”的认识肤浅，影响了对分数意义的理解

三年级的认识分数，是平均分一个物体，虽然分一些物体的平均分的方法一样，但平均分的整体变了，1份的数量也就变了。对于小学生来说，是很难一下子理解这种辩证关系的，只有亲自让他们动手画一画、分一分，他们才能在动手操作中感悟分数的意义。

【第二次教学】

活动一：基于学情，复习分数的意义

展示生，的作品（一个正方形）：

师：你是怎样表示3/4这个分数的？

生1：把一个正方形平均分成4份，取

了其中的3份，就是3/4。

展示学生作品（一个圆和一条线段）：

师：他们都用自己的方式表示出了3/4。你有什么发现？对，他们都把1个物体平均分成了4份，取其中的3份，就是3/4。

展示学生作品：

师：这位同学表示的3/4对吗？（学生讨论后发现可以把4个物体看成一个整体）

师：能用8个、12个苹果……表示3/4吗？请在作业纸上画一画，表示出3/4。

展示学生作品：

师：这个同学是这样表示3/4的。你有什么想法？

生，：把8个苹果平均分成4份，取其中的3份。

师：看出3/4了吗？还可以看出几分之几呢？

生3：6/8。把8个苹果平均分成8份，取6份就是6/8

师：同一幅图，为什么一会儿表示3/4，一会儿又表示6/8呢？

生4：平均分的份数不一样，意义就不一样。

展示学生作品：

师：为什么这几位同学的作品都可以表示3/4呢7

生，：虽然物体和数量都不一样，但把一个正方形、8个苹果、12个苹果分别看成一个整体，平均分成4份，取其中的3份，就是这个整体的3/4。

师：同样是3/4，为什么这里是6个，而那里是9个呢？

生6：因为整体的个数不一样，所以3/4所对应的具体数量也就不一样了。

活动二：动手操作，建立部分与整体的关系

习题：一个图形的1/4是两格，请画出这个图形。

活动三和活动四（同第一次教学）

【教后反思】

调整了教学起点后，课堂总体呈现比较流畅，学生在教师的一步步引领下完成了学习任务。同样分析活动四中两道习题的完成情况，学生的正确率只有40%。看来是课堂上教师“包办代替”的地方过多，没有真正从学生的已有认知展开教学。

“分数的再认识”该再认识什么？课堂中到底能给予学生多大的思辨空间？学生的接受学习和思辨学习在这样的课中分别占多大比例比较合适？知识的落脚点应该在哪里？……我们陷入了沉思：

1.關于教学的切入点

教学本课之前我们对学生的学习难点有一定的把握，课堂上也对这些难点进了针对性的突破，学生对分数这一概念也已经有初步的认知，能否在课始就激发学生的已有认知，帮助学生形象地建立部分与整体的关系呢？

2.关于意义的理解

关于意义的理解是本节课的重点，学生认识上存在差异，教师在课堂中应引导学生思考：同一幅图，为什么既可以表示3/4，又可以表示6/8呢？学生通过观察和思辨，完全可以自己归纳出分数的意义。教师应该放手让学生尝试在不断思辨中总结归纳，提高学生的思辨能力。

3.关于“平均”的再认识

关于部分和整体的意义模型，一般有四个渠道可以建立：范围、长度、集合和面积。分数具有“无量纲性”，即分数表示部分与整体的关系时，不需要考虑物体的形状和大小，只要看把这个整体平均分成了多少份，要表示这样的几份，这是分数意义最本质的地方。因此教师在课堂上应直击“平均”的意义。

4.关于“相对”的再认识

分数表示数量的多少具有相对性，因为分数的意义（份数定义）是基于部分与整体的关系而建构的。同一个分数，因为整体对象的不确定，分数对应的数量也就不确定，这一点和整数表示数的多少有着很大的区别。学生认识分数不久，这就更需要教师引导学生经历、体会、感受、总结、领悟，进而把分数表示数的相对性认识到位。

【第三次教学】

1.基于学情，复习分数的意义展示学生作品：

师：你是怎样表示3/4这个分数的？

生1：我把一个圆平均分成4份，表示这样的3份，就是这个圆的3/4。

师（展示学生作品）：还有的同学是这样表示3/4的，可以吗？

生2：可以。他们都把1个图形平均分成了4份，表示这样的3份，就是这个图形的3/4。

展示学生作品：

师：有同学是这样表示3/4的，可以吗？为什么？

生3：可以。他把4个苹果平均分成了4份，表示3份，也是3/4。

师：刚才不都是把一个正方形、一个圆、一条线段平均分成了4份，表示这样的3份吗？现在是4个苹果，怎么也可以呢？

生4：把4个苹果也看成一个整体，平均分成4份，表示这样的3份，就是4个苹果的3/4。

师：这4个苹果大小不一样，可以平均分吗？

生5：平均分是可以对面积大小进行平均分，也可以对数量进行平均分。

师：还能画出和这个不一样的三吗？

展示学生作品：

师：他们都表示了3/4，你觉得谁的作品正确？

生6：（2）号作品正确，因为他把8个苹果平均分成了4份。

生7：我选择（1）号作品，因为表示得很清楚。

生8：可他没有把8个三角形平均分成4份。

生9：可他把6个圈起来了，看得很清楚。

生10：把8个三角形看成一个整体，平均分成8份，取这样的6份，就是6/8。

师：你们同意他的想法吗？你怎么想？

生11：平均分的份数不一样，意义也就不一样。

展示学生作品：

师：为什么这几位同学的作品都可以表示3/4呢？

师：虽然物体和数量都不一样，但都可以把它们看成一个整体，平均分成了4份，表示这样的3份，就是这个整体的3/4。

师：同样都表示了3/4，为什么这里是6个，而那里是9个呢？

生12：整体的个数不一样，3/4所对应的具体数量也就不一样了。

2.数形结合，建立整体量与部分量之间的关系

师：如果一个图形的1/4是□□，请画出这个图形。

展示学生作品：

师：同学们画的图形都不一样，为什么都正确？

师：1/4对应的具体数量确定了，那么单位“1”这个整体的总数量也就可以确定了，但形状可以多样。

3.突破认知，建立分率与具体量之间的关系

习题：淘气吃了一个蛋糕的1/4，笑笑吃了一盒蛋糕的1/4，谁吃的多一些？

师：单位“1”的数量不确定，所以1/4对应的数量也不确定。

【教后反思】

1.导入环节的改变

学生在三年级下册学习了分数的初步认识，到五年级上册再次认识分数，间隔时间略长。基于学生的前测结果，通过师生谈话，可调取学生已有的认知基础和活动经验，在课堂上唤醒学生的有意注意，激活学生头脑中“分数”的认知图式，快速直观地建立部分与整体的关系。

2.探究知识、理解意义环节的改变

在探究知识、理解意义的环节中注重引导学生深入观察、比较、思辨，并让学生在不断思辨中理解“平均分的份数不一样，意义也就不一样”这一知识重点，帮助学生深入理解概念本质，深化理解意义。

3.“平均”认识环节的改变

在觀察4个苹果的3/4这一环节，当学生得出“可以把4个苹果看成一个整体，平均分成4份”时，教师马上质疑“这4个苹果大小不一”，学生在思辨中从面积一样过渡到抽象出来的数量一样，自然顺畅，水到渠成。

4.“相对”认识环节的改变

通过独立尝试、交流互动、投影演示，让学生根据对应的分数进行整体和部分之间的互推。用画图表征相对性，由“关系”会带来“相对”的大小，这个意义上的分数，能引导学生深刻理解数学知识，透过现象把握数学知识背后的核心问题，进一步帮助学生学好数学，领悟知识的本质内涵。

【磨课感悟】

1.关于“平均”

分数有多种不同的意义，而在教材中，学生最初学习分数时，一般以“部分与整体的关系”这样的意义切人。在这个意义上，一般需要特别强调“平均分”这个事情。当把多个物体看成一个整体，把这个整体平均分时，明明划分的各个部分的面积不一样，为什么会是“平均”？“平均”必须要的“一样”在哪里？如何从“面积一样”过渡到“抽象出来的数量的一样”，应该作为学生再次认识“部分与整体关系”意义上的分数的一个重要内容。

2.关于“1份”

在“分数的再认识”中，“再认识”的重点应该在于从把“1个东西”平均分过渡到把“1个整体”平均分，也就是单位“1”从1个到多个。但从另一个角度来看，其实更应该是怎么认识“1份”。学生往往既关注份数，又注意到了每份数的数量，具体的数量和份数对学生的认识起到了干扰作用。教师应引导学生质疑，让学生在比较中辨析、在辨析中明理，帮助学生更深刻地理解“1份”的含义，加深对分数意义的全面理解。

3.关于“相对”

除了再次认识“平均”和“1份”外，有一个目标也很重要，因为这是部分与整体的关系的意义，所以由“关系”会带来“相对”的大小，也就是说，这个意义上的分数，不能仅比较分数的绝对数值大小，还要考虑其对应的整体是多少。

一次磨课，就是一次“历劫”，是一次学习、实践和思考的过程，也是一次合作、反思与教学创新的过程，更是教师自身教学能力与专业素养提升的过程。一次次的“改课”，就是践行“课改”思想、理念与方法的过程。让我们变“劫”为“节”，在一次次“历劫磨难”中拔节生长，蜕变成一个有教育智慧和情怀的教师。

（责编金铃）