新疆师范大学 阿迪拉·阿布都热依木 阿迪莱·玉苏普

常用的Hölder 不等式有离散型和积分型两种形式，与它相应，Cauchy-Schwarz 不等式也有离散型和积分型两种形式。Hölder 不等式中，若p=q=2，则它就是Cauchy-Schwarz 不等式。它们主要应用于极大值原理，梯度估计的一些计算过程还有Minkowski 不等式和庞加莱不等式的证明等。

一、HÖlder 不等式的两种形式

1.离散型HÖlder 不等式

2.积分型HÖlder 不等式

二、Cauchy-Schwarz 不等式的两种形式

1.离散型Cauchy-Schwarz 不等式

2.积分型Cauchy-Schwarz 不等式

三、HÖlder 不等式的应用

积分型Hölder 不等式应用于Minkowski 不等式的证明：

∫|f+g|pdx=∫|f+g||f+g|p-1dx

≤∫（|f|+|g|）（|f+g|）p-1dx

≤∫|f|（|f+g|）p-1dx+∫|g|（f+g）p-1dx

（由Hölder 不等式）

Hölder 不等式还可以应用于Cacciopolli 不等式的证明过程。下面我们将要给出Cacciopolli 不等式，并且用Hölder 不等式来证明它。

Cacciopolli 不等式：假设u∈C1（B1）满足：∫B1aijDiuDiφ=0对任意的φ∈C1（B1），

其中C为正常数，且仅依赖于λ和Λ。

证明：对任意函数η∈C01（B1），设φ=η2u，则有

由Hölder 不等式，得：

四、Cauchy-Schwarz 不等式的应用

还有下面这个式子：

其中，ω＝|Dv|2，C为常数（大于0）。

式子-Cη3|Dv|3，用的Cauchy-Schwarz 不等式

Cauchy-Schwarz 不等式是一种特殊的Hölder 不等式，在韩青、林芳华的二阶椭圆方程书中有很多定理，命题的证明都用到了Cauchy-Schwarz 不等式与一般形式的Hölder 不等式。