徐辉 郑青峰

【摘要】经管类高校大一新生正处在中学到大学学习方式由“被动式、接受式、应试式、灌输式”向“自主式、批判式、探索式、研究式、创新式”转型的关键时期。“微积分”课程的学习在此阶段的作用不容忽视，柯西中值定理是“微积分”课程体系中的重要内容之一，本文通过较充分的文献检索（1979—2020）及其梳理，基于该定理“中间点ξ”渐进性的讨论及其教与学实践过程中相关问题研究和尝试，对于实现大一新生学习方式的转型具有较好的示范作用。同时，对于学生后续课程与专业学习以及更好地适应大学阶段学习、生活、工作等方面均具有重要的借鉴价值。

【关键词】柯西中值定理;中间点ξ;渐进性;教与学;学习方式转型

经管类高校文科生占比较大，对“微积分、线性代数、概率论与数理统计”等数学课程，心存“恐惧”之感，尤其是大一新生，正处在中学到大学由“被动式、接受式、应试式、灌输式”向“自主式、批判式、探索式、研究式、创新式”转型时期，表现出如学生认为大学教师授课内容多，理论概念抽象，对于多校区且校区分散的高校而言，个别校区可能出现学生自习时间无相关授课教师“陪伴”，课间、课后与授课教师交流机会有限等诸多大学教与学方式不适应现象，仍处于“中学状态”，转型困难。这样，可能给学生的学习兴趣、信心等方面带来一定的“冲击”，同时给授课教师的教学也带来了某种程度的“无奈”。鉴于此，本文试图以微积分课程体系中的重要内容之一的柯西中值定理“中间点ξ”渐进性进行讨论的教与学问题研究，对以上“困境”的改善提出相应的思考并赋予教与学的实践过程进行尝试和总结，以期取得应有的教学效果。

柯西中值定理如下：

该定理只得出了“中间点ξ”在（a，b）内的存在性，但其具体“位置”不详，由此授课教师引导同学们在此问题上对柯西中值定理提出相应的“质疑”，要求学生在课堂尤其是在课后查阅相关资料进行讨论和思考，以此培养同学们“自主式、批判式、探索式、研究式、创新式”学习能力，尽可能改善他们的“中学状态”，“华丽”

转型成“大学状态”。指导学生当我们给柯西中值定理附上一定条件后，可以研究其“中间点ξ”“位置”的渐进性，触类旁通，对拉格朗日中值定理、积分中值定理等相关问题进行创新性思考和探索，提高学生的积极性、自主性、批判性等方面的学习能力。

一、文献综述

柯西中值定理作为微积分课程体系中的重要内容之一，近三十余年来倍受众多学者广泛关注。以“中值定理、中间点ξ、渐进性”等为关键词在中国知网核心期刊（1979—2020）检索相关文献大概106篇左右，通过文献梳理得知，已有研究可以概括为如下几个方面：（1）研究柯西中值定理新的证明方法，例如，许子道，孙存金（1981）给出了关于柯西中值定理的矢量法证明，并且给出它在三维空间矢量分析中的一个推廣;吴国华（1987）在导出几个引理的基础上，不使用罗尔和拉格朗日中值定理，探讨了一种新的柯西中值定理证明方法;陈蕴衡，郭正光（1991）提出了一种完全区别于一般数学分析教科书中有关微分中值定理的证明方法;（2）证明柯西中值定理“中间点ξ”渐进性及其推广研究，例如，曾德广（1994）对柯西中值定理中间点的渐进性展开了证明;杨晶（2018）研究了柯西中值定理的逆问题，并将其与“中间点”渐进性联系到一起，对高阶柯西中值定理进行了推广;聂辉，张树义（2019）对柯西中值定理“中间点”当x→+∞时渐近性态进行研究，建立了新的渐进估计;（3）研究新的教学方法，例如，高爱平（2018）以泰勒公式为例，设计了一种逐层分析、数形结合的教学方法;曾金平，李伯忍（2020）以拉格朗日中值定理为例，探讨拉格朗日中值定理的教与学，力求学生正确理解并掌握该定理。

上述文献梳理及其述评如下图1和表1所示：

文献分析显示，众多学者对柯西中值定理及其“中间点ξ”渐进性作了较充分的研究和思考，具有一定的学术研究价值和教学实践创新价值。丰富了中值定理的内容，拓展了微积分教学的思路。对柯西中值定理“中间点ξ”渐进性问题也进行了深入讨论，为“中间点ξ”“位置”的确定提供了参考。加深了学生对柯西中值定理的认识，拓宽了学生的视野。对柯西中值定理及其相关内容的教与学问题进行了重新思考和尝试，对更新教育理念、改进教学方法发挥了重要作用。但存在某种程度上的研究局限性，已有学者研究文献分析显示，相关学者从数学学术价值角度研究微积分课程内容中的若干中值定理“中间点ξ”的渐进性，关于其渐进性及其理论证明居多，涉及创新型教学实践的研究甚少。尤其是研究经管类院校学生学习方式转型相对更少。

针对已有文献研究的局限性，本文拟通过柯西中值定理“中间点ξ”渐进性讨论，对微积分课程“教与学”问题研究，旨在促进大一新生有效实现学习方式的成功转型。对于学生后续微积分课程与专业课程的学习以及更好地适应大学阶段学习、生活、工作等方面均具有重要的借鉴意义和参考价值。

二、“中间点ξ”渐进性的“教与学”

（一）设计“批判式、探索式”教学情境

柯西中值定理“中间点ξ”渐进性讨论的教与学研究重点在于培养学生们的主动性，抛弃以往被动式接受教育的思想，开发学生的主动思考探究能力和批判性思维，因此在讨论教学过程中营造一定的“批判式、探索式”教学氛围是非常必要的。

高中时期，普遍是应试教育，学生缺乏创新意识、批判思维，只是被动式学习。这样的思维模式难以适应大学的学习生活。因此，在学生进入大学一年级的关键时期要及时对学生进行引导，提高学生各方面的学习能力，转换学生的思维模式。首先我们要设计“批判式、探索式”的教学情境，引发学生的主动性，再进一步引入柯西中值定理“中间点ξ”渐进性的相关讨论。教学情境的设计目的在于激发学生的好奇心和探究欲望，探究性的提问与教学形影相随，提问是让学生通过积极的思维活动，寻找知识规律和解决问题的方法。通过提问，引导学生去探索思考，这样可以培养学生积极思考的习惯，激发创新意识，从而进一步形成学生的批判性、研究性、探索性、创新性思维，达到教与学的目的。

（二）引导学生对“中间点ξ”渐进性问题进行探讨

对经管类高校大一新生而言，“微积分”是一门极其重要的课程，微积分部分又是重中之重，这其中就包括重要的柯西中值定理。多数学生只知道中值位于a与b之间，但不知道“中间点ξ”的“位置”是如何的。在此，本文通过柯西中值定理“中间点ξ”渐进性讨论，引导学生探索性、批判性学习。

布卢姆基于学习、教学和评价，依据认知复杂程度，把认知过程分为六个类别：记忆、理解、应用、分析、评价和创造。当代教学理论将学习的业绩分为“保持”和“迁移”，如果学习目标是“保持”教材内容，那么学生认知过程就是“记忆”;相反，“理解”“应用”、“分析”、“评价”与“创造”则与“迁移”相联系。例如，在柯西中值定理教学过程中，其认知过程可以分为：（1）记忆：识记柯西中值定理;（2）理解：知道柯西中值定理的意义在于建立函数的改变量与函数导数（变化率）之间的联系;（3）应用：能运用柯西中值定理解决实际问题;（4）（5）分析与评价：知道柯西中值定理与用微分近似计算函数公式的相同与区别，知道柯西中值定理由一阶导数到高阶导数的使用、由一次多项式到高次多项式、由一个函数到两个函数的递进关系，知道柯西中值定理的几何意义;（5）创造：进行创造式思考，在对柯西中值定理有了比较系统地学习后，教师应对学生进一步探索式提问，引导学生对柯西中值定理的“中间点ξ”进行思考，带领学生探究柯西中值定理“中间点ξ”渐进性，培养学生的批判性、研究性、探索性、创新性思维。

因此，教师需对学生进行引导，提出问题：询问学生对柯西中值定理有什么新的发现、思考，甚至是疑问。以期待学生们能够对“中间点ξ”的“位置”问题引发新的思考。

教师需进一步对学生进行提问式引导：提出是否需要使用一定的假设条件就可以研究“中间点ξ”的“位置”的问题。即在一定的假设条件下能否得出柯西中值定理“中间点ξ”具有一定的渐进性？

激发学生自主探索：提出假设条件进行证明。

教师再次引导：给出假设条件并给出定理一的证明，以启发学生进一步探索。

学生自主探索：推导定理二，进一步广义化得到定理三。

以上柯西中值定理“中间点ξ”渐进性讨论，从“教与学”两方面思考可知，通过柯西中值定理的教学实践，呈现了实现了大一新生从“中学状态”向“大学状态”学习方式转型的一个较好案例，对后续微积分、线性代数、概率论与数理统计等数学课程的教学起到“抛砖引玉”的示范作用，具有较强的“普适性”。通过学生对柯西中值定理的学习实践，一方面，让大一新生初步体会到数学严谨的科学学术价值之美;另一方面，该定理“中间点ξ”渐进性讨论的数学推导与演绎过程，对大一新生数学思维与演算能力的提升具有较大的促进作用。

（三）激发学生“延伸”思維的学习兴趣

在得到“中间点ξ”的“位置”满足一定条件下的渐进性后，教师可以进一步引导学生推导拉格朗之中值定理、积分中值定理的中值问题。比如：将以上定理中的F（X）变换为X即可得到拉格朗之中值定理中“中值ξ”的渐进性。

通多教师对学生一步步的引导，可以激发学生的批判性、研究性、探索性、创新性思维。学生在学习柯西中值定理“中间点ξ”渐进性讨论后，会认识到学习不是古板的被动式接受，主动思考会带来意想不到的惊喜。在研究了柯西中值定理“中间点ξ”的渐进性后，学生会有所感想，学生的思维就不仅仅停留在只有一个“中间点ξ”上，而是会进一步思考“中间点ξ”渐进性的问题。这对经管类高校大一新生而言是一个质的改变，已经开始从被动式学习走向主动式学习，当学生接触到其他中值定理问题时，思维不在受到局限，而是会进一步的主动性思考。当学生培养了主动性思考的能力就已经适应了大学的学习生活。

在以后的学习、科研过程中，学生们面对的诸多公式、定理都已经比较完善，那么该如何有所学术性的突破，这就需要学生们的探索性、批判性思维，学生们通过对柯西中值定理“中间点ξ”渐进性讨论，学生所收获的不仅仅是这一定理的讨论结果，重要的是学生们培养出了一种主动性学习的思维，这对于学生们日后的学习、科研、工作最为重要，主动性思维帮助学生们发现新知识、开拓新领域。

三、“教与学”的启示

（一）教师的启示

教师首先要做的是更换教育理念，教育理念是对教育的根本看法，是教学设计的灵魂，它直接影响教师对教学问题的认识和判断，进而影响教师的教学行为，最终影响教学效果。现代教育理念强调以人为本，重视受教育者的主体地位，始终“学”为中心，“教”围绕“学”来开展，使学生由被动接受的客体转型为积极主动的主体，使教育过程真正成为学生自主学习的过程。现代教育理念亦注重创造力培养，以启发、引导和训练学生的创新能力为基本目标，旨在培养学生的创造性思维。近三十余年来“微积分”课程的教学与改革，就是要把学生的主动性培养放在首位，把学生置于教学活动中心，努力实现初等数学与微积分课程的有效衔接，积极研究新的教与学方式，着力实践以教师为引导、以学生为主体的教学方法运用，培养学生的批判精神、探究精神，全方位提高学生的学习能力。以柯西中值定理“中间点ξ”渐进性讨论为载体，引导学生掌握数学知识、吸纳数学思想、培养创新精神、增强自主学习能力，尽可能改善学生的“中学状态”，“华丽”转型成“大学状态”。同时，也要增强学生对挫折的承受力、应变力、克服力，为培养学生的主动学习能力做好补充。

在经管类大学中想要将大学课堂的学习转换为学生的自主性学习，在大一这个承上启下的关键时期，教师就必须熟练掌握自己的教学技能，在备课时就将本节“柯西中值定理”需要学习的内容进行梳理，不仅仅只是定理的认识，要通过精心的设计将柯西中值定理中的“中值ξ”渐进性问题插入到教学环节当中，引导学生进行自主思考。比如，在以上定理的证明过程中，教师可以先提出质疑，中值该在何处？进一步给出假设，引导学生自主思考，进一步给出定理一的证明，学生将进一步发挥探究性思维独立思考定理二以及广义化的定理三，最终得出结论。