刘 瑶,李冬林

(山西大学 数学科学学院，山西 太原 030006)

0 引言

本文讨论了带有记忆项的多孔弹性方程[1-4]：

(1)

解的衰减。方程(1)相应的初始条件及边界条件为：

(2)

式(1)和式(2)中:u为纵向位移；v为固体弹性材料的容积率；ρ,μ,b,J,δ和ξ为正常数，且满足μξ>b2；g1(t),g2(t)为松弛函数。

文献[1-4]建立了多孔弹性理论，该理论表明:体积密度是两个标量场的乘积，即矩阵材料密度和体积分数场的乘积。近年来，弹性材料受到广泛的关注，广泛应用在石油工业、材料力学、土壤力学、基础工程和生物学等方面。本文从数学角度研究该材料构成系统解的衰减。在一维情况下，带记忆项的多孔弹性方程的演化方程[5]为：

ρutt=Tx,Jvtt=Hx+G,

(3)

其中:T为应力张量；H为平衡应力矢量；G为平衡身体力。式(3)的本构方程为：

(4)

将式(4)代入式(3)，可得到方程(1)。

文献[5-15]研究表明:在微观和宏观水平上，不同阻尼机制下空隙多孔弹性溶液的衰减是不同的。文献[6]中的记忆项是在方程的边界上，证明能量是整体衰减的，但只与记忆项有关。与文献[6]相比，文献[5]和文献[7]的记忆项都在方程中，文献[5]的记忆项是在多孔方程中，证明在波速相等的情况下解是整体衰竭的，且与记忆项有关，而文献[7]讨论带有记忆项的耦合波动方程解是整体衰减的。

1 预备知识

定义

V={u∈H1(0,1):u(1)=0}。

函数g1(t)和g2(t)满足性质：

(H1)C1减函数gi:R+→R+,其中，i=1,2，满足：

(H2)存在非增函数η:R+→R+，且

类似文献[9]，利用伽辽金(Galerkin)方法得到如下结果：

定理1若(u0,u1),(v0,v1)∈V×L2(0,1)，则方程(1)和方程(2)存在唯一的解(u(t),v(t))，满足：

(u(t),v(t))∈C(R+;V)∩C1(R+;L2(0,1))。

定义方程(1)的能量：

(5)

定理2若(u,v)为方程(1)和方程(2)的解，假设性质(H1)和性质(H2)成立，则对任意的t0>0，存在两个正常数c,α，使方程(1)和方程(2)的能量满足：

2 一般衰减

使用乘子法证明方程(1)能量衰减。首先，给出一个等式：

引理1若g,φ∈C1(R+)，则

其中：

将方程(1)的第1个方程乘以ut，第2个方程乘以vt，在(0,1)上积分再相加，然后利用分部积分公式和引理1，得到:

因此，根据性质(H1)和性质(H2)，可得：

经过以上计算，可知方程(1)能量是非增的。

接下来，定义

其中：

在证明主要结果前，需要先证明下面3个引理。

引理2假设性质(H1)和性质(H2)成立，若u(x,t),v(x,t)是方程(1)和方程(2)的解，则函数F1(t)满足

(6)

证明对F1(t)关于t求导，可得:

(7)

利用Young不等式可得：

(8)

(9)

(10)

(11)

结合式(7)～式(11)，可得到不等式(6)。证毕。

引理3假设性质(H1)和性质(H2)成立，若u(x,t),v(x,t)是方程(1)和方程(2)的解，则函数F2(t)满足

(12)

证明先计算J1(t)。对J1(t)关于t进行求导，根据方程(1)，再利用分部积分得：

(13)

对任意的δ1>0，利用Young不等式、Holder不等式和Poincare不等式，容易得到：

(14)

(15)

(16)

(17)

结合式(13)～式(17)，得到：

(18)

接下来计算J2(t)。对J2(t)关于t求导，根据方程(1)，再利用分部积分得：

(19)

类似于J1(t)的计算过程，利用Young不等式、Holder不等式和Poincare不等式，可得：

(20)

结合式(18)和式(20)，不等式(12)得证。证毕。

定义Lyapunov函数L(t)=NE(t) +MF2(t) +F1(t)。

引理4当N> 0充分大时，存在两个正常数c1,c2> 0，使得：

c1E(t)≤L(t)≤c2E(t),∀t>0。

(21)

证明利用Cauchy-Schwarz不等式、Holder不等式和Poincare不等式，有：

c(g1∘ux+g2∘vx)≤cE(t),

因此，

|L(t)-NE(t)|≤cE(t),

即

(N-c)E(t)≤L(t)≤(N+c)E(t),

令c1=N-c> 0,c2=N+c> 0，得到式(21)。证毕。

定理2的证明定义函数L(t)为：

L(t)=NE(t)+MF2(t)+F1(t)。

令

对于任意的t0>0，利用式(5)、引理1和引理2，可得：

其中：l=min{l1,l2}。

当N足够大时，有：

因此，

-mE(t)+c(g1∘ux+g2∘vx),

(22)

其中：常数m,c>0。

将式(22)乘以η(t)，根据性质(H1)和性质(H2)，可得：

-mη(t)E(t)-cE′(t)。

(23)

令

Λ(t)=L(t)η(t)+cE(t)，

显然Λ(t)与E(t)等价。

由式(23)和η′(t)<0,∀t>0,可知：

Λ′(t)=η′(t)L(t)+η(t)L′(t)+cE′(t)≤η(t)L′(t)+cE′(t)≤-mη(t)E(t),

因此，对任意的常数α> 0，可得：

E′(t)≤-αη(t)E(t)。

(24)

对式(24)在(t0,t)上积分：

证毕。

注记1考虑如下例子：

令常数ai,bi>0,i=1,2。定义a=min{b1,b2}。

(Ⅰ)指数衰减

E(t)≤ce-αat,∀t≥t0。

(Ⅱ)多项式衰减

E(t)≤c(1+t)-αa,∀t≥t0。

E(t)≤c(1+t)-αa,∀t≥t0。

3 结束语

偏微分方程主要研究方程解的正则性、适定性、稳定性、可控性和衰减性，本文从数学角度出发，探讨多孔弹性方程在初始条件和第一类边界条件下解的衰减，该方程属于双曲型方程。之前的文献都是在多孔弹性方程中加不同的阻尼项，使得多孔弹性方程能量衰减的程度有所不同。本文对多孔弹性方程加的边界项及阻尼项进行了改进。