□宋秋萍

一、插值法的基本原理

学习财务管理或管理会计一定学过插值法。几乎所有的教材中都会介绍到这种方法，其主要用在资金时间价值计算和长期投资决策中。它的基本原理是：当自变量和因变量的变动幅度都较小时，它们的变动幅度大致相等。教材中的插值法是根据线性函数设置的一种计算方法，如果不是线性函数关系，因变量变动幅度非常小时，也可以近似地把它看成线性函数关系，因为曲线上很短的一段可以近似地看作直线。非线性函数计算中，如果自变量数值变动范围增大，取值的点就会明显地不在一条直线上，计算结果的误差就会增大。而在资金时间价值的计算中，几乎所有的公式都不是线性关系，因此，插值法计算一般都会有误差。所以，插值法在应用中一直要强调自变量的变动幅度不能过大。

在直线函数情况下，用插值法计算的结果是准确无误的，即使自变量变动幅度很大。

例1：已知某直线函数式中，x1=1，y1=15；x3=3，y3=25，当y2=20时，x2=?

根据上述公式：

因公式比较难记，人们多采用作图的方法帮助计算，按照⑥式可作图如下：

则有：c/2=5/10 c=1 x2=2

这个结果是准确无误的。因为这里设定的函数是y=10+5x，是一条直线，这个函数式也可以通过已知条件求出。

解方程可得：a=10，b=5

将x2代入式中，可以验证。

20=10+5×2

如果不是线性函数，会是什么情况呢？

例2：利率为8%时，（1+8%）2=1.1664，利率为10%时，（1+10%）2=1.21，利率为12%时，（1+12%）2=1.2544。假设不知道利率是多少时它的复利终值系数为1.21，用插值法可计算如下：

我们知道这个利率应该是10%，计算过程中并不存在计算尾数差的问题，只是因为这个函数式不是直线函数式，所以不可能精准，这是插值法内在的不可避免的缺陷。

二、插值法的使用缺陷

（一）计算繁琐

插值法的计算是比较繁琐的，尤其是需要和逐次测试法结合使用时更是如此。

例3：王先生每年末投资10000元，连续10年，如果他希望10年后的本利和能达到300000元，投资收益率应该是多少？

应用插值法求解的步骤如下：

首先，对给出条件进行分析，建立数学模型。每期期末支付的10000元，属于普通年金，300000元为该笔年金的终值，10年为期数，根据年金终值的计算公式，可以建立下列等式：

其次，查看年金终值系数表。查表可得：10期的利率20%的年金终值系数为25.959，24%的年金终值系数为31.643，说明要求的利率在20%～24%之间。

第三，通过插值法计算：

也可以直接使用现成的公式：

i=i1+B-B1/B2-B1×(i2-i1)

式中i为所求利率，i对应的年金终值系数为B，B1、B2为年金终值系数中与B相邻的系数，i1、i2为B1、B2对应的利率。其实这个公式和作图的实质是一样的。

从该例中可以看出：计算过程比较繁琐，需要作图或记忆公式，作图比较直观，公式虽然不难，但要分清其中的一一对应关系并记住它是比较难的，是很容易出错的。

使用插值法的前体条件是自变量的变化幅度较小时，其与因变量的变动幅度基本相同，如果自变量变动幅度稍大，这一关系就不存在。因此，使用插值法往往需要结合使用逐次测试法来缩小自变量的变化范围。所谓逐次测试法就是拿一个个数值去试算，直到找到和目标自变量相邻的两个变动幅度较小的自变量时才可以再用插值法。现金流量比较复杂的情况下往往需要这样做。

例4：某先生希望将他的储蓄500000元进行投资，在未来3年分别得到150000元、200000元和300000元的现金流入，要实现这一愿望，投资报酬率应该是多少？

按照插值法，一般需要以下步骤：

首先，建立数学模型：

500000=150000×(1+i)-1+200000×(1+i)-2+300000×(1+i)-3

其次，使用逐次测试法找到目标利率或和目标利率紧密相邻的两个利率。

因为并不知道利率或与之最接近的利率是多少，只好用一个利率先试试，假设选择利率为10%，则：

150000×(1+10%)-1+200000×(1+10%)-2+300000×(1+10%)-3=527035

这个值大于500000，需要提高利率再试，假设利率为12%：

150000×(1+12%)-1+200000×(1+12%)-2+300000×(1+12%)-3=506915

这个值仍然大于500000，再次提高利率到14%。为什么不选13%的利率呢？因为系数表上没有这一档利率。

150000×(1+14%)-1+200000×(1+14%)-2+300000×(1+14%)-3=493380

这个值小于500000元，说明利率在12%和14%之间。

第三步，用插值法计算目标利率：

从以上几个例题可以看出，插值法的使用是比较繁琐的。

（二）计算结果有较大误差

产生这一缺陷的原因在插值法原理中已经进行了分析，以例3和例4的数据进行验算，看一下计算结果是否准确：

例3中，10000×［（1+22.8438%）］10-1/22.8438%=298806.08（元）

误差值=300000-298806.08=1193.92（元）

例4中，150000×(1+12.73%)-1+200000×(1+12.73%)-2+300000×(1+12.73%)-3=499854.38

和500000元相比，有145.62的误差。

可以看出，一般情况下，用插值法或多或少都会有误差。

（三）需要依赖现成的系数表

在资金时间价值的计算中，插值法需要依赖现成的系数表才行。而系数表本身的缺陷对插值法计算结果的准确性有较大影响。基本上每部财务管理或管理会计教材后都会有复利终值系数表、复利现值系数表、年金终值系数表和年金现值系数表。由于版面限制，这些表所列出的时间和利率是有限的，尤其是利率，只有整数利率，如6%、10%，而没有如3.52%这样的在现实经济生活中更可能频繁出现的非整数利率，因而不能满足各种计算需要。另外，也是由于版面限制，所有系数基本只能保留到小数点后四位，在资金量大、期数长的情况下使用，会造成比较大的误差。

三、当前技术环境下财务管理实务和教学中均可以舍弃插值法

插值法产生和广泛使用的年代技术条件落后，没有现在这样功能强大的计算器和办公软件，它的使用使一些复杂问题的计算得以实现，虽然结果并不精准，但其误差可能并不大会影响到决策结果，或没有更好的替代的办法，因此，这种方法产生并一直被使用。现在，时间已进入二十一世纪20年代，技术环境发生了巨大的转变，计算方法不断更新，在财务管理实务中可以很方便的使用金融计算器、电脑中的excel、甚至能用手机中的办公软件进行复杂计算，无需使用插值法这一繁琐复杂、使用条件苛刻并且精准度差的传统方法。即使是在财务管理教学中，可能课堂教学中不能做到人手一台电脑或功能强大金融计算器，却可以做到人手一部智能手机。手机信息技术不断发展，功能日益强大，使用普及，师生们完全可以利用手机中的办公软件取代传统的插值法，既方便快捷又可以提高计算的精度。下面利用安卓手机中的WPS来完成前面两个例题的计算。

上述例3，具体计算步骤为：①打开WPS；②点右下角“+”新建；③新建excel表格；④新建空白表格；⑤点左下角功能按钮，在出现的菜单中找到“插入”，点击“函数”；⑥在函数列表中选择“财务”函数；⑦计算利率的函数是RATE，点右侧字母“R”能迅速找到目标函数；⑧点“RATE”函数，函数显示需要输入的项目分别是期数（nper）、年 金 （pmt）、 现 值 （pv）、 终 值 （fv）、 类 型（type）、推测（guess）。类型是指年金的类型，普通现金为0，先付年金为1，推测一般不填。根据资料填入相关数字，年金为-10000，现值为0，终值为300000，类型为0可以省略不填，√提交。显示计算结果22.9243%

插值法计算误差较大，而用手机中的excel则基本不存在这个问题。

可以验算一下：

10000×［（1+22.9243%）10-1/22.9243%］=300000.48

和插值法的误差1193.92元相比，0.48元的误差几乎可以忽略不计，精准度显著提高。也可以多保留几位小数进一步降低甚至完全消除误差。而插值法即使增加保留的小数位也不能消除误差。

同理，可以用同样的步骤求解例4。

步骤①～④不变。打开空白表格后输入该题第0～3 年 的 现 金 流 量-500000、150000、200000 和300000，再进行插入函数、用函数进行求解的操作。这个题需要用到的函数是内涵报酬率IRR。在IRR函数的括号中选择已经输入的现金流量数值，立即可以看到计算结果0.12714748，即12.7148%。

将这一计算结果验算如下：

150000× （1+12.7148%）-1+200000× （1+12.7148%）-2+300000× （1+12.7148%）-3=499 999.51

和资料中的500000相比，只有0.49的计算尾数差，远远小于插值法145.62的误差，可以忽略不计。

通过上述分析，可以得出结论：舍弃插值法是必要的，也是可行的。

四、舍弃插值法，教学考核怎么办

在财务管理实际业务中或日常教学中完全可以舍弃插值法，但在不允许带电脑、智能手机的场合如何解决这个问题呢？比如考试时可以采用以下几个方法:

方法一：使用计算器。如某权威教材中的一个例题：郑先生下岗获得50000元现金补助，他决定趁现在还有劳动能力，先找工作糊口，将款项存起来。他预计如果20年后这笔款项连本带利达到250000元，就可以解决自己的养老问题。问银行存款的年利率为多少时该先生的目标才能变成现实?

根据题意可建立下列算式：

50000×(F/P，i，20)＝250000

(F/P，i，20)＝5，即(1+i)20＝5

教材中是这样求解的：

首先，采用逐次测试法（也称为试误法）计算，找到能使复利终值等于或接近5的利率：

当i＝8%时，(F/P，8%20)＝4.6610，当i＝9%时，(F/P，9%，20)＝5.6044，因此，i在8%和9%之间。运用插值法求出的利率约为8.36%。

从这个例子可以看出插值法已经严重的约束了人们的思维。既然（1+i）20=5，用最简单的开方的方法一步就能求出来的利率，为什么要费尽周章折地先逐次测试再用插值法呢？而且计算结果还不准确。按照内插法计算的利率8.36%，来看看郑先生能否实现250000元的目标值。

50000×（1+8.36%）20=249086元，相差914元。

如果按照计算器算出的8.38%，郑先生能否实现250000元的目标值呢？

50000×（1+8.38%）20=250007元，只有7元的计算尾数差，通过增加小数保留尾数，这个误差完全可以消除。

方法二：考试设计中避免出现需要使用插值法的题目。资金时间价值的计算是考核的重点，插值法仅仅是一种计算工具，并不是考生必须掌握的技能，完全可以通过题目的设计来回避。

方法三：采用折中的方法。教材中仍保留插值法的讲授与学习，以备各种考试之用。插值法本身并不难理解，掌握这种方法本身也没有什么坏处，只不过用处不大，不应当成为资金时间价值计算中的主流方法在教学或实践中广泛使用。应该增加新的计算方法的学习和应用，尤其是智能手机这样便捷而强大的工具的使用。