多因素不确定条件下的间歇生产调度优化

2020-05-15郑必鸣史彬鄢烈祥

化工学报 2020年3期

郑必鸣，史彬，鄢烈祥

（武汉理工大学化学化工与生命科学学院，湖北武汉430070）

引言

间歇生产过程因生产方式灵活，被广泛应用于过程工业以生产高附加值的化学品、药品和生物制品等[1]。在间歇生产过程中，生产调度是一项关键决策[2]，合理的调度方案对提升企业的生产效率和经济效益至关重要。

对于间歇生产调度问题的许多研究都是在确定条件下进行的，原料成本、产品价格、处理时间和市场需求等是确定参数，在实际中并非如此[3-4]。由于不确定因素的存在，确定条件下的最优调度方案在实际生产过程中会变为次优，甚至不可行，如果在调度决策中考虑这些不确定因素将大大增加系统柔性[5]。不确定条件下的间歇化工生产调度问题的研究受到广泛关注[6-7]。Bonfill 等[8]优化了多产品间歇生产过程中需求不确定情况下的调度决策，通过求解多目标优化模型最大化利润并控制需求不满足的风险；Balasubramanian 等[9]采用离散值描述不确定加工时间，提出了多周期混合整数线性规划(mixed-integer linear programming, MILP)模型并求解；王飞等[10]针对多周期间歇生产中产品需求这个不确定因素，使用混合近似求解策略将原大规模MILP 问题分解并实现了快速求解；耿佳灿等[11]针对多产品间歇生产过程中产品处理时间不确定的情况，使用基于改进粒子群和分布估计的混合算法求解；丁然等[12]针对化工生产调度过程中处理时间不确定问题，提出了一种鲁棒调度策略，使用基于遗传算法的分解算法求解；Janak 等[13]研究了采用概率分布描述的不确定因素情况下的鲁棒调度。目前，对于不确定条件下生产调度建模主要有以下三种方法：随机规划[14-15]、模糊规划[11,16]以及鲁棒优化[13,17]。其中，鲁棒优化方法仅需要获取参数所属的区间范围，采用不确定集合来描述参数不确定性，是不确定条件下生产调度优化的有效方法。传统的鲁棒优化方法由于只考虑最恶劣情况，得到的解过于保守[18-19]。如何调整模型保守性，在模型鲁棒和解鲁棒之间取得平衡是研究的方向。

然而，前人的研究大多只考虑了单因素的不确定性，调度目标中较少关注生产过程中的各项成本。本文考虑了化工生产过程中需求、处理时间和市场价格三种不确定性因素，同时在调度的利润目标中考虑了操作成本和原料成本。在状态任务网络(state-task-network, STN)[20-21]和特定单元事件点[22-24]的建模方法基础上，首先建立连续时间描述[25-26]的间歇生产调度确定性模型，然后用对称区间描述不确定参数，引入不确定预算参数建立可调整保守性的鲁棒优化模型，最后对案例进行求解以验证优化方法的有效性。

1 问题描述与数学模型

对于某间歇生产过程，已知其状态任务网络描述、生产过程的工艺数据和费用数据，生产过程中存在的不确定因素包括：需求不确定、处理时间不确定和市场价格不确定，通过分析历史数据可以得到这些参数的平均值和不确定波动范围。对生产资源和操作任务进行调度优化，优化的目标是要确定一个兼顾可靠性和盈利性的调度方案。具体内容如下：①生产设备中生产任务的加工顺序；②每个加工任务的批量大小；③每个加工任务的启止时间；④生产过程的操作成本、原料成本和净利润。

1.1 间歇生产调度的确定性模型

1.1.1 目标函数

调度目标是调度末期的净利润最大，具体是指产品销售收入减去各项成本。其中×Invs,N表示最后一个事件点结束时卖出所有产品的销售收入，表示原料消耗成本，表示整个调度周期的操作成本，包括固定成本和可变成本两部分，固定成本只与任务种类相关，而可变成本不仅与任务种类相关，还与物料处理量大小呈正比。

1.1.2 约束条件

（1）分配约束

（2）物料平衡约束

（3）设备加工能力约束

（4）存储容量约束

（5）持续时间约束

（6）序列约束

（7）调度期时长约束

（8）市场需求约束

式(2)表示在特定的事件点内，某个设备单元至多进行一个生产任务。式(3)中，Invs,n表示物料s 在第n 个事件点的存储量，等于物料s 在第n-1 个事件点的存储量Invs,n-1加上事件点n-1 内的生产量，再减去第n个事件点的消耗量。初始事件点由于没有物料产生，物料s 的存储量用式(4)计算。式(5)表示设备的生产能力在有限范围之内，式(6)表示物料的存储量受设备存储能力限制。式(7)表示单台设备上的任务加工时间约束，式(8)～式(12)表示相同设备、不同设备上的任务处理顺序约束，式(13)、式(14)要求所有设备上任务的开始时间和完工时间均在调度时间区域内。式(15)表明产品在调度期结束时的库存量应该满足市场需求。

1.2 间歇生产调度的鲁棒优化模型

为解决不确定条件下的间歇生产调度问题，建立了一个可调整保守性的鲁棒优化模型，其一般形式[27]可表述为：

上述模型中，xj既可以是0-1变量也可以是连续变量，假设第i 个约束中含有的不确定参数，是一个独立、对称、有界的随机变量，均值为aij，变化范围是，但是概率分布未知，在[aij-,aij+]中随机取值，构造不确定参数集合N={1,2,…,n}，j∈N来表示为了避免模型过度保守，引入不确定预算参数Γi。Si代表约束中包含个不确定参数的集合，当Γi不是整数时，新增一个不确定参数，变化的范围至多为模型通过限制至多有个不确定参数同时取得最坏值来控制解的保守性。

为了求解上述不等式，首先对式(17)中的max项进行等价转化，得到：

引入对偶变量，根据强对偶性，得到式(19)～式(21)的对偶min问题，并代入到原约束中，得到：

其中zi为约束式(20)的对偶变量，pij为约束式(21)的对偶变量。应用式(16)、式(22)～式(24)可得到间歇生产调度的鲁棒对应问题。

在式(15)中添加一个固定值为1 的离散变量到约束中，即：

每个需求约束中只含有一个不确定参数，因此，Γd∈[0,1]，考虑需求不确定的鲁棒调度优化公式需要添加以下约束：

以上每个约束中只含有一个不确定参数，因此，Γt∈[0,1]，考虑处理时间不确定的鲁棒调度优化公式需要再添加以下约束：

约束中含有k（原料和产品的种类数）个不确定参数，因此，Γp∈[0,k]，考虑市场价格不确定的鲁棒调度优化公式需要添加以下约束：

2 案例研究

本节选取了文献[28]的间歇生产过程实例进行计算，对应的状态任务网络如图1所示，生产过程的部分费用数据来自文献[29]，详细数据列于表1和表2。在23.8 版本的GAMS 软件中建模，使用Cplex 12.4 求解器求解（相对最优间隙，optimality gap 设置为0.1%）。运行的计算机环境为Windows10 64位操作系统，酷睿i5处理器，主频为3.4 GHz，8G RAM。

图1 本例中状态任务网络图描述的间歇生产过程Fig.1 State task network for production process instance

表1 案例中与任务相关的工艺和成本数据Table 1 Process and cost data related to tasks in the case

表2 案例中的物料的库存、初始量、价格和需求量数据Table 2 Inventory，initial amounts，price，and demand data for materials in the case

表3 三种不确定因素的波动范围和预算参数取值范围Table 3 Range of fluctuations for three uncertain factors and budget parameters

在本案例（图1）中，一共有3 种原料（S1,S2,S3）经过5 个任务(H,R1,R2,R3,S)得到2 种产品(S8,S9)，过程有4台加工设备(HR,RR1,RR2,SR)，调度时长设为12 h。已知需求、处理时间、市场价格可能会在均值附近波动，表3 给出了三种不确定因素在均值处的波动范围和不确定预算参数取值范围。事件点的个数对模型求解结果有较大影响，事件点过少会导致次优解，过多不但对提高解的质量无益，还会增大问题规模，为了确定事件点个数，增加事件点的个数直到目标函数值不再增加，得到最佳事件点个数[30]。

经过计算得到确定条件下的最佳事件点个数为5 个，profit=1435.75 USD，求解时间为0.14 s。不确定条件下需要6 个事件点，在此条件下求解鲁棒优化模型。考虑三种不确定因素单独存在时对目标函数值的影响，结果如图2 所示。随着不确定预算参数的增大，目标函数值均呈现出下降的趋势，直到不确定预算参数取最大值时，得到最保守的解，说明提出的鲁棒优化模型可以较好地控制模型的保守程度，避免决策结果的过度保守。

图2 考虑单一不确定因素的求解结果Fig.2 Solution results with single uncertainty

在实际生产调度中，三种不确定因素往往是同时存在的，因而系统地考虑了多因素不确定性带来的影响。结合图2 和表4 可以看出，同时考虑三种不确定因素与单独考虑的相比，当不确定预算参数取值相同时，目标函数值较小，这是因为不确定因素的增加给生产调度带来了负面的影响。因而当不确定预算取值Γd=0.7,Γt=0.7,Γp=3.5时，此时的鲁棒模型已经无可行解。可以看出，同时考虑三种不确定因素时，模型的求解时间呈上升趋势，这是由于随着不确定预算参数值的增加，模型鲁棒性增加，使可行域缩小，模型的求解时间随之延长。

另外，不确定因素同时取最恶劣值的情况是很少见的。本例在最恶劣的情况下，需求量、处理时间、原料价格取波动范围内的最大值，而产品价格取波动范围内的最小值，同时满足条件的调度方案是不存在的。企业决策者可以通过设定不确定预算参数值来获得不确定条件下的较满意的调度方案。对于风险中性决策者，可以选择不确定条件（Γd=0.3,Γt=0.3,Γp=1.5）下的调度方案，对于较保守的决策者，可以选择不确定条件（Γd=0.6, Γt=0.6,Γp=3）下的调度方案，分别如图3 和图4 所示。图中不同颜色的矩形代表设备执行不同的任务，矩形的长度代表任务的加工时间(h)，矩形中的数字代表任务的处理量(kg)。可以看出，与图5中确定条件下的调度方案相比，两种不确定条件下任务的数量增加，在图3的调度方案中生产出更多的产品，从而更好地满足了需求增加时的情景；两种不确定条件下反应器RR1 和RR2 未被使用的时间间隙明显少于确定条件下的，一方面是因为设备上的任务数量增加，另一方面说明鲁棒调度方案考虑到了不确定处理时间的影响，因为处理时间的延长会使设备的空闲时间缩短。