王湘月，周晓君，阳春华

（中南大学自动化学院，湖南长沙410083）

引 言

湿法炼锌作为世界上最主要的炼锌方法，其工序由焙烧、浸出、净化、电解与熔铸五部分构成[1]。其中净化过程是指通过添加锌粉等除去硫酸锌溶液中的杂质离子，为后续工艺提供合格的溶液[2-3]。除铜过程是净化过程的第一个步骤，锌粉添加量决定了除铜过程出口铜离子浓度的稳定性和可靠性[4-5]。锌粉添加量过高或者过低，都会使反应器出口铜离子浓度不合格，影响除铜过程的效率和产品的质量，尤其是锌粉添加量过高时，还会造成锌粉浪费。实际生产中，受原料多样、工况波动以及除铜过程机理的复杂性等因素的影响，造成除铜过程中存在大量的不确定性，锌粉添加量更加难以控制[6]。

针对湿法炼锌除铜过程的建模与优化控制，已有很多学者进行了研究。Demirkıran 等[7]针对硫酸盐溶液中锌粉置换沉铜工艺过程进行了实验和机理分析研究，在不同环境参数下，对铜离子浓度变化速率进行了分析，得出了在不同温度区域下的除铜反应速率数学表达式。Ahmed 等[8]则研究了批处理实验中温度、溶液pH、铜离子浓度、反应时间以及锌粉添加量等对单质铜沉淀的影响，获得了单质铜沉降速率与各影响因素的定量关系。Gros 等[9]在流化床进行了锌粉和铁粉除铜反应实验，并获得了除铜反应动力学模型相关参数。张凤雪等[10]详细研究了除铜过程两个主反应的关系，得到了竞争-连续反应系统的动力学模型，并对动力学模型中的参数进行了辨识。Li 等[11]针对湿法炼锌净化过程，建立了具有多重时滞的相互作用的连续搅拌反应釜（CSTR）模型，并提出了一种基于控制参数化的数值计算方法来解决时滞最优控制问题。张凤雪等[12]提出了基于控制周期计算的除铜过程优化控制方法，采用统计学方法确定最优控制周期。Huang 等[13-14]构建了以降低生产成本和提高产品质量为目标的除铜过程优化问题，并研究了一种基于状态转移算法的优化控制方法来求解该问题。

从上述文献可以看出，尽管有很多学者研究了除铜过程的建模和优化控制，但他们都很少考虑除铜过程中的不确定性。本文研究不确定条件下的除铜过程，分析除铜过程的不确定性，利用统计学方法分析不确定参数的分布特性，引入了机会约束[15-16]的思想，将不确定条件下的除铜过程优化问题建模为机会约束优化问题。随后，对除铜过程机会约束问题进行求解，本文使用可行域映射方法，将带不确定性的机会约束优化问题转化为确定的非线性规划问题，并使用序列二次规划[17-18]求解该非线性规划问题得到优化结果，提高了出口铜离子浓度的鲁棒性。

1 湿法炼锌除铜过程机理模型

1.1 除铜过程工艺

湿法炼锌过程中，浸出后的硫酸锌溶液包含铜、钴、镉、镍等多种对电解有害的杂质离子，这些杂质金属离子会干扰电解过程，导致能源浪费和产品质量下降。因此需要通过净化工艺将这些杂质离子降低至生产指标范围内，为电解提供合格的溶液[19-20]。

净化过程一般由除铜、除钴镍和除镉三个阶段组成，除铜过程是净化工艺的第一道工序，因为铜是溶液中含量最高的杂质离子，而且铜离子还原电位最低，会首先和锌粉发生反应，必须在净化工序中首先除去[21]。除铜过程流程结构如图1 所示，浸出后的溶液依次流进两个反应器中，通过持续向两个串联的反应器中添加锌粉，使溶液中的铜离子沉淀除去。净化后的溶液送至浓密机分离为上清液和含固底流物。分离后的上清液部分送至下一工段，分离后的含固底流一部分返回至第一个反应器中，促进反应的进行，其余部分烘干之后形成铜渣进行回收利用[22]。

图1 除铜过程流程结构图Fig.1 Flow diagram of CRP

在后续的净化除钴镍的过程中，需要少量的铜离子作为反应活化剂，实验表明，铜离子浓度在0.2～0.4 g/L 的范围有利于除钴镍过程的进行，因此除铜过程的目标是使出口的铜离子浓度稳定在0.2～0.4 g/L范围内。

1.2 机理模型

除铜过程涉及的主要化学反应如下所示

其中，第一个化学反应是置换反应，第二个是归中反应，置换反应产生的铜会在归中反应中作为反应物。反应器中铜离子的浓度变化主要受上述两个化学反应器的影响，两个反应器中铜离子变化的规律可用动态方程式(2)表示[12]：

铜离子的反应速率可以由式(3)表示[23]

其中，k1,k2,k3为动力学参数[6]；CCu2+,i(i=1,2)表示第i 个反应器铜离子浓度；GZn,i(i=1,2)为第i 个反应器锌粉添加率。

除铜过程的控制量为锌粉添加率，设控制变量为u=[GZn,1,GZn,2]，状态变量为x =[CCu2+,1,CCu2+,2]，初始状态变量为x0= C0Cu2+,1，则可得除铜过程的状态空间模型为

2 除铜过程机会约束优化问题构建

2.1 除铜过程不确定性分析

由于生产环境多变、矿源广泛、机理复杂，除铜过程存在大量的不确定性[24-25]。除铜过程是固液多相非催化反应过程，其反应受到许多因素的影响，其中包括温度、pH、反应时间、流量、铜离子浓度等，这些因素在不同程度上影响其反应速率[8]。

除铜过程反应中，温度和pH 会保持较为稳定的状态。适当提高温度，可以加速离子的扩散作用，强化除铜主反应过程，但由于除铜反应是放热反应，温度过高反而不利于反应的进行，因此，在实际的工业生产中，除铜过程的温度会控制在(64±2)℃[10]。浸出液硫酸锌溶液偏酸性，于是在除铜过程中，会有少量的锌粉与氢离子反应产生氢气，当pH太低，氢反应剧烈，浪费锌粉，效率降低；pH升高时，会产生碱式硫酸锌附在锌粉的表面，阻碍锌粉与铜离子的接触，不利于反应的进行，因此，在实际的工业除铜过程中，pH一般稳定在4～5之间。

由于矿产原料的来源多样，不同的矿产中含铜量不同，导致浸出的硫酸锌溶液中铜离子浓度会有一定的波动。入口铜离子浓度含量过高时，易导致除铜反应进行得不彻底，出口铜离子浓度过高；当入口铜离子浓度过低时，会产生过度净化，导致出口铜离子浓度过低。浸出过程是净化过程的上一道工序，由于浸出工段的矿物添加量和溶液添加量依赖操作人员的经验给定，导致浸出液流量有一定的波动[26]。流量是通过影响反应时间来影响出口铜离子浓度的，除铜反应发生在两个串联的连续搅拌反应釜中，反应釜的容积与个数是固定的，当流量增加时，反应时间变短，铜离子的沉积不完全，造成出口铜离子浓度过高；当流量降低时，反应时间变长，除铜净化过度，造成出口铜离子浓度过低。

虽然温度、pH等因素对除铜过程的反应具有较大影响，但这些因素在实际工业生产中都保持较为稳定的状态，波动很小，因此对除铜反应效率的影响较小。而流量、入口铜离子浓度在实际工业生产中波动较大，成为除铜过程反应的主要影响因素。因此，本文主要考虑除铜过程中入口溶液流量、底流返回流量和入口铜离子浓度的不确定性。

2.2 除铜过程不确定参数

以某企业湿法炼锌除铜过程两个反应器为实验仿真对象，抽取一个月的数据进行数据分析。

由2.1 节分析可知，除铜过程中参数入口溶液流量Q、底流返回流量q、入口铜离子浓度x0存在不确定性，为观察其分布特性，可以画出直方分布图，初步估计其分布。图2为入口溶液流量的直方分布图，通过对直方图的观察，入口溶液流量的分布大致符合正态分布。使用同样的方法，可以发现底流返回流量、入口铜离子浓度的分布也大致符合正态分布。

图2 入口溶液流量数据值直方分布图Fig.2 Histogram of inlet solution flow rate

假设入口溶液流量、底流返回流量、入口铜离子浓度近似服从正态分布，可以使用概率纸对假设进行检验。入口溶液流量概率试纸的检验如图3所示，数据值基本都分布在45°的直线上，通过概率纸检验，可以证明入口溶液流量服从正态分布。使用同样的方法，证明底流返回流量、入口铜离子浓度也服从正态分布。值得注意的是，除铜过程的机理模型是非线性的、动态的，尽管模型中某些参数服从正态分布，其出口铜离子浓度的分布也是很难确定的。

图3 入口溶液流量正态概率纸检验Fig.3 Normal probability plot of inlet solution flow rate

2.3 不确定除铜过程最优控制问题

湿法炼锌净化除铜过程不仅要保证出口的铜离子浓度在0.2～0.4 g/L 之间，而且还要合理地控制锌粉添加量。锌粉添加量过高或者过低，都会使反应器出口铜离子浓度不达标，影响净化过程的效率和产品的质量，尤其是锌粉添加量过高时，还会造成锌粉浪费。综合考虑，一般的除铜过程目标为在保证反应器出口铜离子浓度达标的情况下，使锌粉的添加量最小。因此，除铜过程锌粉添加优化控制的目标函数为

由于除铜过程中入口溶液流量、底流返回流量、入口铜离子浓度的不确定性，约束条件很难严格满足，由前文可知，除铜过程中不确定参数服从正态分布，可以引入机会约束的思想，即允许一定程度的约束违反，但约束条件成立的概率要不小于某一置信水平。除铜过程机会约束优化问题构建如下

其中，u1和u2为两个反应器的锌粉添加率；k1,k2,k3为动力学参数；rCu2+,1和rCu2+,2为两个反应器铜离子反应速率；Q 和q 分别表示入口溶液流量和底流返回流量；x0表示入口铜离子浓度；V 表示反应器的体积；x1和x2表示两个反应器铜离子浓度；和表示两个反应器铜离子浓度变化速率；Pr {CLCu2+≤x2(tf)≤}表示出口铜离子浓度达标的概率；α 为预先设定的出口铜离子浓度达标率。

因此，除铜过程机会约束优化控制问题可以表述为：在反应过程中保证反应器出口铜离子浓度达标率不小于某一置信水平的情况下，使锌粉的添加量最小。

3 除铜过程机会约束优化问题求解

3.1 可行域映射方法

可行域映射方法是Wendt 等[27]提出的一种基于输出约束与不确定变量单调性关系的一种机会约束求解方法，已经在化学工业[28-30]、电力潮流计算[31-32]等领域得到了很好的应用。

可行域映射方法利用输出变量与其中一个不确定变量的单调性，将输出可行域映射到不确定输入变量的一个区域。因此，尽管输出的分布难以获取，但只需要在该区域内，对不确定变量的概率密度函数进行积分，就可以得到输出约束满足的概率。

考虑一般的不确定优化问题

其中，g 和h 是等式和不等式约束，x∈Rn是状态变量，u∈Rm是决策变量，ξ∈RS是不确定变量，假设ξ已知其概率密度函数。

在工业实际生产中，不等式约束一种非常普遍的形式就是对部分状态变量加以限制，这部分状态变量称为输出变量yi=xi,i=1,…,I 并且I≤n，于是不等式约束可以转换为

其中，yUi代表yi的上界。转换为机会约束如下

假设输出变量yi∈Yi与一个不确定变量ξS∈ΞS存在单调关系ξS↑⇒yi↑，其中ΞS是Ξ 的一个子空间。单调关系由yi=F(ξS)表示，由于输出变量yi与不确定变量ξS存在单调关系，于是可以写出其反函数ξS=F-1(yi)，输出可行域映射到不确定输入变量区域如式(11)所示。

确定ξUS，即不确定变量的边界，就可以通过在不确定变量的相应区域内积分来计算输出约束成立的概率，不确定变量的边界计算如式(12)所示

则输出约束成立的概率如式(13)所示

ρ 是不确定变量的联合概率密度函数，积分方式选择数值积分中的高斯求积公式，一般工业问题的模型都非常复杂，式（12）的显示表达式通常不存在，需要利用给定ξ1,…,ξS-1,yUi,u 求解方程组得到ξUS。经过上述的转换，机会约束优化问题转化为一个非线性规划问题，可以使用非线性规划问题求解器进行求解，这里使用的是序列二次规划，计算框架如图4所示。

图4 可行域映射方法框架Fig.4 Flowchart of BMA

3.2 可行域映射法应用于除铜过程求解

分析除铜过程机理模型及工厂数据可知，不确定参数入口铜离子浓度与输出变量出口铜离子浓度存在单调性关系x0↑⇒x2(tf)↑，可以将出口铜离子浓度的可行域映射到不确定参数区域中。

由于企业的数据2 h 采集一次，故观察2 h 内的控制效果。本文考虑一种较为简单的控制方式，即在整个时间段内，锌粉添加率保持不变。每2h以检测到的出口铜离子浓度为参考调节锌粉添加率，这正是人工操作所采用的策略，对现场工业生产有一定的指导意义。

可求得上述动态方程的通解为

其中，C1、C2是通解系数，由初始条件决定。

当t=tf时，由于x2(tf)取上界和下界的情况计算过程相同，这里讨论取下界的情况，x2(tf)=

求解上述方程组即可求得不确定参数x0的下界xL0，同样的求解方法可以求得其上界xU0，于是，出口铜离子浓度达标的概率可由式(17)计算。

至此，除铜过程机会约束优化问题转化为一个非线性规划问题，然后使用序列二次规划进行求解。

4 数值仿真及结果分析

期望值优化方法是不确定优化中常用的方法，期望值优化方法中所有的不确定参数都取期望值，本文分别使用可行域映射法和期望值优化方法求解带不确定参数的除铜问题，并对优化结果进行Monte Carle仿真检验。

从表1可以看出，与期望值优化结果相比，可行域映射方法优化结果所需锌粉添加量更多，但是鲁棒性得到了很大的提升。表1 最后两列显示了Monte Carlo 检验的结果，使用Monte Carlo 方法对不确定参数进行采样，抽取10000个样本，计算出口铜离子浓度达标的概率。正如预见的一样，在设置α = 65%时，Monte Carlo 检验出口铜离子浓度达标的概率为65.07%，在设置α = 70%时，Monte Carlo检验出口铜离子浓度达标的概率为70.02%，如图5(a)所示。而期望值优化的结果仅有48.18%的概率使出口铜离子浓度达标，如图5(b)所示。可行域映射方法优化结果的鲁棒性更佳，而成本的增加是提高系统鲁棒性所付出的必要代价。此外，从计算时间可以看出，可行域映射方法的耗费时间会更长，这也是为了提高系统鲁棒性所付出的必要时间代价。同时，尽管耗时更长，但可行域映射方法的优化时间也仅为0.2 s，完全是可以接受的。

出口铜离子浓度达标的概率最高也只能是70%左右，这是因为在整个时间段内，锌粉添加率保持不变，控制变量的自由度低，70%已经是在这种情况下可行的最高概率。进一步提高出口铜离子浓度达标的概率是后续需要做的工作。

表1 可行域映射法（BMA）与期望值法（EOM）结果比较Table 1 Comparison of back-mapping approach（BMA）and expectation optimization method（EOM）of results

图5 Monte Carlo仿真结果Fig.5 Monte Carlo simulation result

5 结 论

湿法炼锌除铜过程原料多样、机理复杂，使得出口铜离子浓度波动大，产品质量不稳定。针对该问题，本文提出了不确定条件下的除铜过程机会约束优化控制方法。该方法分析了除铜过程中的不确定性，采用统计学方法分析了除铜过程中不确定参数入口溶液流量、底流返回流量、入口铜离子浓度的分布特性。根据不确定参数的分布特性，构建了机会约束优化控制模型。使用可行域映射的方法，将机会约束优化问题转化为一个非线性规划问题，并采用序列二次规划求解锌粉的添加量。Monte Carlo 仿真结果表明，本文使用的方法提高了除铜过程出口铜离子浓度的鲁棒性。

需要说明的是，本文中锌粉添加率在整个控制时间段2 h 内保持不变，这正是除铜过程中人工操作所采用的策略，对现场工业生产有一定的指导意义。但在控制时间段的内部也可以调节锌粉添加率，求取控制时间段内锌粉添加率的最优控制轨迹是后续需要做的工作。