何德峰，张永达，李廉明，仇翔

（1 浙江工业大学信息工程学院，浙江杭州310023； 2 嘉兴新嘉爱斯热电有限公司，浙江嘉兴314016）

引 言

循环流化床锅炉(circulating fluidized bed boiler,CFBB)具有燃料选择范围广、燃烧效率高、低排放污染小等优点，有助于解决全球资源紧缺和环境污染问题[1-5]。尽管如此，由于CFBB 系统的时变、非线性、多变量耦合等特性，其燃烧系统采用常规控制方法效果不理想，严重影响了这种高效燃烧技术的推广应用。

另一方面，自适应控制、神经网络控制、模糊控制、鲁棒控制和预测控制等先进控制方法应运而生，用于处理大时滞、多变量耦合、约束等复杂的过程控制问题[6-12]。近年来，有许多学者结合这些先进控制方法，实现了CFBB 系统的优化控制。例如，文献[13-14]针对CFBB 燃烧系统的大时滞特性，采用无模型自适应控制方法实现床温和主蒸汽压力的直接解耦控制；文献[15]分析了床温的控制特性，为解决床温在给煤量变化时的滞后情况，设计床温模糊自适应PID 控制方法，具有很好的鲁棒性；文献

[16]通过实验数据训练神经网络，实现了CFBB 过程的在线预测和优化；文献[17]结合神经元自适应技术与模糊控制技术，提出一种用于实现床温和主蒸汽压力解耦控制的智能系统，具有很好的鲁棒性和自适应能力；文献[18]构建了一种基于广义预测控制的双层燃烧优化控制结构，不仅实现了床温和主蒸汽压力的动态控制目标，还进一步提高了经济效益，并通过先进控制平台实现了工业化应用[19]。目前，调整CFBB 燃烧状态达到指定的预期值是保证稳定燃烧的前提，再在此基础上优化相应的燃烧经济性能，但大多数文献只考虑了范围控制，或者只优化一个或几个状态达到预期值，剩下的状态仅能保证满足约束。

针对CFBB 燃烧系统的稳定控制和燃烧经济性能优化问题，本文提出了一种无终端约束的字典序经济模型预测控制(model predictive control,MPC)策略。根据生产工艺过程的需求，在优先保证锅炉燃烧系统所有状态达到预期值的同时优化燃烧经济性能。以燃烧系统的机理模型作为预测模型，结合字典序多目标优化方法[20-21]，建立有限时域的字典序滚动时域优化控制问题，并通过设计稳定燃烧工况的目标函数关于终端域的不等式条件，获得CFBB 燃烧系统闭环稳定性的充分条件。最后通过与CFBB 燃烧过程常规加权多目标MPC 的对比，仿真验证本文策略的有效性。

1 CFBB燃烧系统描述

循环流化床锅炉主要由炉膛、分离器、返料器、排渣装置、省煤器、过热器等组成，如图1 所示。其燃烧过程的基本原理是[22]：燃料和脱硫剂粉碎后，通过给料机送入炉膛，然后被炉膛中的流化态物料加热燃烧；同时从炉膛底部和侧墙分别送入一次风和二次风，使得物料随着上升气流朝着炉膛上部运动，其中粗颗粒在炉膛下部的密相区燃烧，细颗粒在炉膛上部的稀相区燃烧，燃烧产生的热量被炉膛四周布置的水冷壁吸收。另外，有一部分细小颗粒被气流带出炉膛后由分离器捕捉收集，再经返料器送回炉膛继续燃烧，烟气则进入尾部烟道，与过热器、省煤器和空气预热器等完成换热过程，最后经除尘器处理后由烟囱排向大气。

图1 循环流化床锅炉燃烧系统Fig.1 CFBB combustion system

考虑CFBB 燃烧系统的动力学模型，采用如下连续时间非线性方程描述[22-23]其中，输入量QC、F1和F2分别为锅炉给料速率、一次风风速和二次风风速；状态量WC、CB、CF、TB、TF和PT分别为燃料剩余量、床氧含量、稀相区氧含量、床温、稀相区温度和热功率；模型参数为燃料挥发分比例V，固体燃料燃烧时间tC，床体积VB，一次风氧含量C1，固体燃料耗氧系数XC、床料比热cI和质量WI，固体燃料热值HC，一次风比热c1和温度T1，床水冷壁传热系数aBt、面积ABt和温度TBt，烟气比热cF，稀相区体积VF，二次风氧含量C2，挥发分耗氧系数XV，挥发分热值HV，稀相区水冷壁传热系数aFt、面积AFt和温度TFt，二次风比热c2和温度T2，时间常数τmix。参数取值见文献[22]。

考虑锅炉燃烧系统模型(1)，定义状态向量x=[WC, CB, CF, TB, TF, PT]T和控制向量u=[QC, F1, F2]T，可以得到CFBB 燃烧系统的状态量约束、控制量约束和风煤比约束

其中，xmin、umin和αmin分别表示状态量、控制量和风煤比的下限，xmax、umax和αmax分别表示状态量、控制量和风煤比的上限。

本文旨在设计一种CFBB 燃烧系统多目标经济预测控制器，因此以采样时间Ts离散化连续时间方程(1)，得到离散时间非线性燃烧系统模型

其中,整数k≥0 为采样时刻。进一步CFBB 燃烧系统需要兼顾稳定燃烧性能和经济性能，分别定义如下

其中，xs表示燃烧状态期望值，us表示燃烧状态达到期望值时给料机和一二次风机的期望输入量，Q 和R 分别为状态量偏差和控制量偏差的权重矩阵。本文燃烧系统运行成本主要包括了燃耗和耗电两部分，参照文献[18]中的方法，统一转化为每秒煤耗量L2(x,u)，其中a1、a2和a3表示为化简后的系数。

2 燃烧系统字典序经济预测控制

考虑CFBB 燃烧系统(1)和有限预测时域N≥1，分别定义性能指标(4)和(5)的有限时域优化目标函数

其中，x0|k∈X，是k 时刻CFBB 燃烧系统状态，连续有界函数E:X→R是终端代价函数，且关于xs正定。

假设1：燃烧系统(3)存在一个包含(xs,us)的不变集Ω⊆X，且Ω 内存在局部控制律u=K(x)，使得对∀x∈Ω满足

假设2：考虑燃烧系统(3)及其一个不变集Ω⊆X，存在一个正数d1使得对∀x∉Ω 和u∈U，稳定燃烧性能(4)满足L1(x,u)＞d1。

引理1[24]：考虑燃烧系统(3)和燃烧性能(4)及函数E(x)，令Ĵ1(xk,uk)=J1(xk,uk)-L1(x0|k,u0|k)-(N-1)d1-α，如果Ω={x∈X:E(x)≤α}及d1满足假设1和2，则存在初始可行域

使得对∀x=x0|k∈ZN，燃烧系统在控制序列uk={u0|k,…,uN-1|k}作用下满足xN|k∈Ω。

注1：条件(8)是单目标MPC稳定性的常规条件，可采用LQR、控制Lyapunov 函数或线性矩阵不等式方法求解[25-27]，而初始集(9)可代替终端显式约束xN|k∈Ω[28-30]。

结合燃烧系统(3)和优化目标函数(6)、(7)，定义燃烧系统优先级双目标优化控制问题

其中,X 和U 分别是由约束(2)组成的状态约束集和控制约束集。采用字典序优化求解(10)、(11)，首先在k=0时刻，优化问题(10)、(11)描述为

其中，J1*(x)和J2*(x)分别是对应优化问题的最优值函数，J1(x,u)≤J1*(x)表示字典序约束，Ĵ1(x,u)≤0 为初始条件约束，则相应的字典序最优解为

而在k≥1时刻，优化问题(10)、(11)描述为

相应的字典序最优解为

再根据MPC 滚动时域控制原理，定义CFBB 燃烧系统字典序多目标预测控制律

以及相应的闭环系统

下面给出CFBB 燃烧系统无终端约束字典序多目标经济预测控制算法流程。

算法1：（无终端LMPC算法）

(1)设置预测时域N＞0，燃烧控制函数(4)和终端代价函数E(x)，离线计算α和d1；令k=0。

(2)测量系统状态xk，根据如下过程求解优化问题(12)、(13)：

(2.1)计算第1层优化问题(12)的最优解uk1*；

(2.2) 计算第2 层优化问题(13)的最优解uk2*，确定整个优化问题(12)、(13)的最优解uk*=uk2*。

(3) 将uk*的首个分量作用于燃烧系统(3)；令k=k+1。

(4)测量系统状态xk，根据如下过程求解优化问题(15)、(16)：

(4.1)计算第1层优化问题(15)的最优解uk1*；

(4.2) 计算第2 层优化问题(16)的最优解uk2*，确定整个优化问题(12)、(13)的最优解uk*=uk2*。

(5) 将uk*的首个分量作用于燃烧系统(3)；令k=k+1，并返回步骤(4)。

下面给出CFBB 燃烧闭环控制系统(19)的稳定性结果。

定理1：如果假设1 和2 成立，则字典序优化问题(12)、(13)在k=0时刻具有层级可行性。

证明：考虑k=0 时刻系统初始状态x0。如果第1层问题(12)初始可行，并设其最优解为u00*，则将u00*代入第2 层问题(13)，有字典序约束J1(x0,u00*)=J1*(x0)成立，其余约束条件与(12)相同，故第2层问题(13)是优化可行的。定理1得证。

定理2：如果假设1 和2 成立，则字典序优化问题(15)、(16)在k≥1 时刻具有层级可行性和时域可行性。

证明：由于k=0时刻字典序优化问题(12)、(13)可行，设最优解为u0*={u0|0*,…,uN-1|0*}。由假设1 构造序列是第一层问题(15)的一个可行解。由定理1 的证明过程可知，第二层问题(16)是可行的。重复这些过程，可以归纳得到字典序优化问题(15)、(16)在任意k≥1时刻都是可行的。定理2得证。

注2：初始可行集(9)在优化问题(15)、(16)中同样成立。以k=1时刻为例，将序列(20)代入J1(x,u)，根据假设1，有不等式

成立。由于性能指标L1(x,u)是非负的，那么k=1时刻最优值函数J1(x1,u1*)满足

即初始可行集(9)成立。同理，参照式(21)、式(22)可以验证初始可行集(9)在任意k≥1时刻都满足。

定理3：如果假设1 和2 成立，则xs是燃烧闭环系统(19)在ZN内的渐近稳定平衡点，且ZN是闭环系统的一个吸引域。

证明：如假设1 和2 成立，则由定理1 和2 可得整个优化过程在任意k≥0 时刻都是可行的。比较k和k+1 的J1(x,u)的最优值函数。令和分别表示k和k+1时刻的最优解，结合假设1有

又因性能指标L1(x,u)和代价函数E(x)是连续有界的，故目标函数J1*(x)是闭环系统(19)的一个Lyapunov 函数。进一步，在整个优化过程中条件(9)始终成立，故ZN是燃烧闭环系统的一个吸引域。定理3得证。

3 仿真结果与讨论

选择35 MW 级CFBB 燃烧系统作为仿真对象，比较本文策略（简记LMPC）与常规加权多目标MPC策略（简记WMPC）对CFBB 燃烧的控制效果，其中WMPC 的优化目标函数为J(x,u)=w1J1(x,u)+w2J2(x,u)。选取(xs,us)=(221.49, 0.048, 0.0501, 1117.008, 1001.7,32.412, 4, 5, 15)作为锅炉稳定工况的预期值，并设置性能指标L1(x,u)中权重矩阵Q=diag{0.001, 10.0,1.0, 1.0, 0.001, 0.1}和R=diag{1.0, 1.0, 1.0}。进一步转换计算L2(x,u)中的系数为(a1,a2,a3)=(0.43,0.0026,0.0014)。

考虑锅炉燃烧系统(1)在平衡点(xs,us)的线性化模型，并用LQR 方法计算反馈增益矩阵K 和Riccati方程的对称正定矩阵P为

据此构建终端代价函数E(x)=(x-xs)TP(x-xs)和局部控制律u(x)=-K(x-xs)+us，并离线计算得α=0.009 和d1=3.6×10-5。

对CFBB燃烧系统(1)，以采样时间Ts=4 s离散化得到离散时间系统(3)。设置预测时域长度N=5，仿真时间Tsim=120 s，燃烧系统初始状态x0=(223,0.046,0.05, 1117, 1007, 32.53)。通常，WMPC 通过不断调整性能指标权重(w1,w2)实现满意的稳定燃烧效果，同时保证一定的经济性能，而LMPC 分层结构能够在保证稳定燃烧的基础上，同时对经济性能实施在线优化。为比较两种预测控制策略的差异性，对比LMPC 策略与三组权重A(0.6, 0.4)、B(0.75, 0.25)和C(0.9,0.1)的WMPC策略的控制效果。

图2 和图3 分别给出了两种策略下的燃烧系统状态轨迹和控制输入曲线，其中点线、点划线和虚线分别表示WMPC 策略在A 组、B 组和C 组权重下的控制效果，而实线表示LMPC 策略的控制效果。由图2 可知，采用A 组权重的WMPC 控制CFBB 燃烧状态变化缓慢，大部分状态有明显的发散趋势，最终不能实现预期的稳定效果；B 组权重WMPC控制CFBB 燃烧状态发散情况有所改善，除了床温外，其他CFBB 燃烧状态都能稳定（实际上在260 s后，为了显示更多细节，这里只显示120 s），但存在0.16%～0.4%左右的静差；C 组权重WMPC 基本实现了CFBB 燃烧状态的跟踪控制，但速度较慢，最终在240 s 后稳定。另一方面，LMPC 控制的CFBB 燃烧状态能够快速地跟踪到预期值，并最终在120 s 左右稳定。图3 的仿真结果在一定程度上反映了造成这些差异的原因，即相比WMPC 策略，LMPC 控制CFBB 燃烧系统的送料机和二次风机响应更加快，控制输入幅度更加合理，加快了CFBB燃烧状态的快速变化，缩短了燃烧系统的调节时间。

图2 CFBB燃烧系统状态轨迹Fig.2 State trajectories of CFBB combustion systems

图3 CFBB燃烧系统控制输入Fig.3 Control inputs of CFBB combustion systems

表1 给出了120 s 时间内WMPC 策略和LMPC策略下CFBB 燃烧系统的煤耗和平均煤耗量即燃烧经济性能。由表1 可以看出，当稳定燃烧性能权重从A组增大到C组时，CFBB燃烧系统在WMPC策略控制下的煤耗量逐渐增多，最终略高于LMPC 策略下的煤耗量。再结合图2 和图3 可得，LMPC 策略无权重要求能实现燃烧系统的快速稳定，尽管燃烧经济性能略有下降，但仍符合CFBB 经济燃烧的要求。

表1 经济性能Table 1 Economic performance

4 结 论

本文提出了一种CFBB 燃烧系统无终端约束的字典序经济MPC 策略，实现了CFBB 燃烧系统的稳定控制和燃烧经济性能优化。该策略通过设计关于稳定燃烧性能的三要素条件和初始可行性域，保证了CFBB 燃烧系统运行状态最终达到预期值。仿真结果表明，相比于依赖权重的常规多目标MPC 策略，本文策略的控制效果更好，应用更具有灵活性。后续将进一步研究不确定CFBB 燃烧系统的字典序经济预测控制策略。