黄耀波，刘佳新，徐祖华，赵均，邵之江

（浙江大学控制科学与工程学院，工业控制技术国家重点实验室，浙江杭州310027）

引 言

塑料是以石油或天然气为原料，经过合成反应而得到的高分子材料，具有诸多优良特性，例如导热性差、绝缘性好、透明度高等。塑料制品在高分子产量中占有重要份额，以低廉的价格、可靠的性能及丰富的产品功能，被广泛用于汽车、机电、仪表、航天等国民经济的各个领域[1]。

注塑成型又称注射模型成型，是一种注射兼模塑的成型方法，而注塑机是注塑成型的主要设备。注塑过程是典型的低成本批次生产过程，由注射、保压、冷却等阶段构成[2]，按照以上阶段重复进行。其过程状态随时间而变，不具备稳态工况点[3]。其中，保压段是决定成品质量的一个重要阶段，它的关键变量是保压压力[4-5]，但由于保压过程运行区间内一般没有稳态工作点，保压压力会在较大范围内波动，导致过程表现出强烈的非线性和时变特性，线性时不变模型已经不能充分描述此过程。

分段仿射(piece-wise affine, PWA)模型是混杂模型的一个重要子类，可以以任意精度描述非线性模型[6]，常用于非线性模型的建模[7]。该模型将状态空间分割成若干个凸多面体区域，不同的区域由不同的线性子模型来描述，并且系统状态在各区域的交界处保持连续[8]，基于注塑过程的特点，可用PWA模型描述注塑过程保压段动态特性[9]。

PWA模型的建立有许多种方法，如Vidal等[10]提出代数求解的方法，Ferrari-Trecate 等[11]提出聚类求解的方法，Bemporad 等[12-13]提出一种有界误差的方法，Juloski 等[14]提出基于贝叶斯概率的方法等，然而在切换时刻子模型的硬切换会使输出值产生跳变，不符合实际生产过程。为了使相邻的子模型平滑过渡，需要引入切换区间的概念，切换区间用相邻两个子模型加权组合描述切换过程的动态特性。因此对基于时间划分的PWA模型引入切换区间，设计PWA融合模型的辨识算法，采用线性融合的方式描述切换区间特性。并且基于上述模型设计了多模型PID 控制器，注塑机实验结果表明多模型PID控制器能达到较好的控制效果。

1 基于PWA融合模型的保压段建模

注塑过程保压段可用如下线性时变模型描述

式中，k和t分别表示批次轴和时间轴坐标，K和T 分别表示批次轴和时间轴长度，yk(t)、uk(t)和vk(t)分别为第k批次时刻t的输出、输入和扰动；G(q,t)为uk(t)、yk(t)之间的时变传递函数。

由于扰动具有很强的批次相关性，可用批次轴的积分白噪声表示[15-16]

式中，ek(t)为零均值白噪声，上述非平稳扰动不满足辨识的基本要求，因此对相邻批次做差分

其中

常见的PWA 模型为如下分段仿射自回归(piece-wise autoregressive eXogenous, PWARX)模型的形式

其中

s 为回归向量集χ 的分区个数，θi为每个仿射子模型的参数向量，φk为回归向量，n 为子模型的阶数，={Hiφk(t)≤0}形成完整的回归域χ，Hi为切面方程的系数矩阵，满足回归向量集的不重叠划分需要对切面方程的系数矩阵进行估计，求解时存在很大难度[17-18]。保压段的过程特性随时间而变，且具有批次重复性[19]，因此本文利用上述特性将时间作为回归向量集划分的依据，得到基于时间划分的PWA 映射。由于PWARX 模型不适合输出误差结构[20]，因此考虑到批次过程的特点，提出基于时间划分的分段仿射输出误差(piece-wise affine output error,PWAOE)模型[21-22]

其中，f(· )为PWA映射，定义如下

式中，Ti为切换时刻，s为子模型个数，且定义

因此模型式(5)可以写成下面的形式

由于PWA 模型硬切换时会引起较大的输出跳变，为了使子模型之间的切换更加平滑，在子模型切换过程中引入切换区间，并采用线性融合的方式对切换过程进行描述，权重函数和切换区间的左右边界如图1 所示。图中实线表示非切换区间，虚线表示切换区间左右两个子模型的线性权重，TLi和TRi表示第i 个切换区间的左右边界，基于线性加权的PWA融合模型可表示为

在第i 个切换区间，ζi(t)和ζ'i(t)分别表示第i 个子模型和第i+1个子模型的权重，并有

图1 线性加权权重函数Fig.1 Weighting function of linear weighting

2 PWA融合模型辨识

PWA 融合模型的辨识问题可转化为切换区间左右边界以及对子模型参数的估计，参数分别记为

对PWA模型，其一步最优预测值为

其中，σ(t)和υ(t)的定义如下

通过最小化预报误差损失函数估计参数

其中

上述优化命题含有离散和连续多重类型的变量，属于混合整数规划。离散变量不存在梯度信息，直接求解的难度很大且容易出现数值问题。若切换时刻固定，PWAOE 模型的辨识就退化成标准的OE 模型参数估计问题；各子模型参数固定，该问题就变为针对整数切换时刻的无梯度数值优化问题。因此利用分离最小二乘原理对式(13)所示优化命题中的离散变量Γ 和连续变量Θ 分别进行优化。PWA融合模型的辨识步骤如下。

（1）初始化：确定切换时刻Γ 模型和子参数Θ的初值。

（2）固定Γ，通过Levenberg-Marquardt(LM)算法使如下损失函数J最小计算Θ

（3）固定Θ，通过多维尺度变换(multiple dimensional scaling, MDS)算法使如下损失函数J 最小计算Γ

（4）返回步骤（2），直至算法收敛或到达最大迭代次数。

算法流程如图2所示。

图2 辨识算法整体流程Fig.2 Process of identification algorithm

对于步骤(2)的非线性最小二乘问题，已有Newton-Raphson、Gauss-Newton、Levenberg-Marquardt等数值优化方法。由于LM方法具有收敛速度快、数值稳定性好的优点，本文采用LM方法进行数值求解，并得到如下迭代计算过程

步骤(3)中的优化命题需要优化不连续的整数切换时刻，没有可以利用的梯度信息，因而无法使用现有的凸优化理论求解。单纯形搜索算法是一种典型的无梯度信息优化算法，该算法通过不断构造新的单纯形以替换原有单纯形，使单纯形逐渐向极小点靠近，反复迭代直至单纯形收敛得到极小点。

MDS 算法是对Nelder-Mead 单纯形法[23-24]的改进，该算法是一种非线性规划的单纯形直接搜索算法[25]，可根据目标函数值的大小选择新的迭代点，不需保证充分下降条件[26]。MDS 算法的基本思想是：给定n 维空间的一个单纯形，确定n+1 个顶点中具有最小函数值的顶点，以该点作为单纯形的反射中心，然后通过旋转、扩展、收缩等方法构造新的单纯形，依次迭代直至收敛，如图3所示。

图3 MDS算法的旋转、扩展、收缩Fig.3 Rotation,expansion and shrinkage of MDS

因此切换时刻的更新可通过MDS算法完成。

上述PWA 融合模型的辨识算法中，需要设计多种模型结构（子模型个数s 和模型阶次n）分别进行辨识，从中选择损失函数较小的模型结构。系统辨识中通常采用如下的模型结构准则进行阶次选择[27]

其中，N 是辨识数据个数，J 是损失函数值, p =(s - 1)+ 2sn 是参数个数，γ 是模型复杂度。CIC(copula information criterion, CIC) 准 则γ(p,N)=p lg2N 对模型结构的复杂程度更敏感。因此，本文采用CIC准则进行PWA模型结构的选择。

3 基于PWA融合模型的保压段控制

图4 多模型PID控制器示意图Fig.4 Diagram of multi-model PID controller

由于PID 控制器具有结构简单、鲁棒性强等特点，本文采用PID 控制器进行保压段控制策略设计[28]。考虑到保压段的时变特性，通过第二部分的PWA 融合模型，设计了如图4 所示结构的多模型PID控制器。

首先该多模型PID 控制器针对每个PWA 子模型设计局部PID 控制器，然后将局部控制器进行加权组合，各局部控制器的权重和PWA融合模型的权重相同。考虑到微分项对噪声有放大作用，采用如下实际微分PID控制算法

式中,β可选取0.05～0.2，一般取0.1。令

离散化可得

结合式(18)、式(19)和式(20)可得位置型PID算法

式中，Ts是采样周期。实际运行时，位置型PID会产生积分饱和现象，对式(21)进行差分可得到增量式PID算法

局部控制器采用输出融合的方式，切换区间和加权方式与PWA融合模型的形式类似，基于该模型的多模型PID控制器如下

其中

多模型PID 控制器的参数整定可以通过内模整定局部PID控制器得到。

4 实验结果

本文实验所用的实验平台为海太HTL68/JD，是常规工业卧式注塑机，外观如图5所示。

图5 注塑机外观图Fig.5 Appearance of injection molding machine

根据保压段的工艺要求[29-30]，设计阀门设定轨迹并且设计PID 控制器实现保压阶段的闭环控制，得到阀门开度的标称轨迹，并在标称轨迹上叠加幅值为2 的广义二进制噪声(generalized binary noise,GBN)信号，如图6所示。

图6 标称轨迹附近GBN测试Fig.6 GBN test near nominal trajectory

每个批次的采样时刻为600 个，共进行11 个批次的测试实验。通过分离最小二乘辨识方法，得到PWA 融合模型的切换区间和子模型参数。不同模型结构下PWA 融合模型的切换区间的左右边界及对应的损失函数值J见表1。

分别计算阶次为1～5 的PWA 融合模型在不同结构下的损失函数并计算CIC准则，结果见图7。

表1 阶次为1的PWA融合模型切换区间及损失函数值Table 1 Switching intervals and loss function for order=1

图7 PWA融合模型不同结构的CIC值Fig.7 CIC criterion for different structure of PWA fusion model

根据图7，选择4 个切换区间即5 个子模型，阶次为2，此时CIC 准则取得最小值，切换区间为(107/189,199/299,399/470,480/521)，如图8所示。

图8 PWA融合模型的切换区间Fig.8 Switching intervals of PWA fusion model

由图8 可知，注塑过程保压阶段在稳定工作点附近非线性较小，可用单个子模型描述，在上升段和下降段工况变动较大，需要引入另外的子模型并进行模型的融合。辨识所得到PWA 融合模型如下

根据得到的PWA融合模型，按照内模方法整定局部PID 控制器的参数见表2，多模型PID 控制器的控制效果如图9所示。

表2 多模型PID控制器参数Table 2 Parameters of multi-model PID controller

图9 保压段多模型PID控制实验Fig.9 Multi-model PID control experiment for packing stage

根据图9，多模型PID控制器的控制作用比较平稳，保压压力能够快速跟踪设定值的变化，同时有效抑制过程的噪声和扰动。

5 结 论

根据批次过程的特性，本文在PWA模型切换过程中引入切换区间，并采用线性加权的方法得到PWA 融合模型。该模型可以有效避免PWA 模型硬切换方式的跳变问题，且模型结构较简单。PWA 融合模型的辨识包含两方面内容：切换区间的确定和子模型参数的估计。两者互相关联，且分别为离散变量和连续变量，是一个NP-hard 问题。本文通过分离最小二乘的方法辨识PWA融合模型，基于得到的PWA 融合模型设计多模型PID 控制器并采用内模方法整定参数。实验结果表明，多模型PID 控制器能控制保压压力快速跟踪到设定轨迹，并且能够有效抑制扰动。