唐忠敏

(西北民族大学预科教育学院理科教研室，甘肃 兰州 730030)

在高中物理和大学基础物理中经常会有变力做功问题,但由于学生不具备或不熟悉微积分计算知识,通常会用能量守恒定律、动能定理等间接方法进行求解．但这些方法有时并非简便,图示法却能化繁为简、化难为易,取得出乎意料的效果,变质量链条运动的做功问题就是其中一例．

图1 水平桌面下滑的链条

题目.一质量为m、长为L的匀质链条,放在摩擦因数为μ的水平桌面上,其长为a的一端下垂,如图1所示．链条与桌边缘的相互作用忽略不计,当链条由静止开始沿桌边向下滑动至刚刚全部离开桌边的过程中,重力与摩擦力各做多少功?

解析： 以链条为研究对象,选桌边为坐标原点O,链条运动径迹竖直向下为坐标轴正方向,某时刻坐标为s,链条受力如图1所示．因此在链条下滑过程中,下垂部分链条的重力大小为

(1)

桌面上的链条所受的摩擦力为

f=μN′.

(2)

桌面对链条的支持力为

(3)

由牛顿第三定律知

N=N′.

(4)

由(2)～(4)式得链条所受摩擦力大小为

(5)

方法1:积分法.

由于桌面上的链条质量时刻在变化,受到的摩擦力也时刻在变化,严格来讲,变质量物体运动问题较适合用积分方法来分析.

下垂部分链条重力做功满足

(6)

将(1)式代入(6)式得

(7)

桌面上链条所受摩擦力做功满足

(8)

将(5)式代入(7)式得

(9)

以上涉及到变质量物体的受力与做功的计算,积分方法是较为常见的方法,但对于积分计算不熟悉的学生而言,这种方法显得颇有难度．下面将运用图示法巧妙化解这一难度问题．

方法2:图示法.

(10)

建立桌面剩余链条所受摩擦力随s变化图像,如图2(b)所示,阴影部分三角形面积数值上等于摩擦力做功大小,则有

(11)

图2 重力、摩擦力

由上述结果可知,运用图示法计算结果与积分运算结果完全一致,且图示法显得更为巧妙和简约,方便学生理解和计算．

对于变力做功的问题,适当建立坐标系,找出该力随坐标而变化的函数关系,然后采用积分法和图示法均可求得此变力对物体的功．使用图示法需要确定图像具体的物理意义，可通过图像与坐标轴围成的面积来反映某一物理量,从而用图示法进行直观地分析,例如“速度—时间”图像求解匀变速直线运动的位移、“加速度—时间”图像求解某一过程的速度等,以及在变力做功问题中尤其是变力大小是坐标的线性函数时,则运用图示法分析就显得更为简便．当然,变质量链条运动类问题的求解方法并不限于此,如利用能量守恒、功能原理等也可求解速度、重力和摩擦力做功问题[1，2],但过程稍逊复杂．本文提供的图示法解决此类变力做功问题旨在抛砖引玉,以期促进学生在相似问题解决中能够触类旁通、举一反三地迁移应用,促进学生科学思维、物理观念水平[3]等提升,从而增进物理学科核心素养．