周晨晨

【摘要】杰出的数学家、数学教育家波利亚指出：“中学数学教学的首要任务就是加强解题的训练.”而他的解题思想集中体现在“四步解题法”中，即：理解题目、拟订方案、执行方案、回顾.本文以该解题思想为理论，以高考圆锥曲线为载体浅谈了四步解题法的四个步骤在数学解题中的应用.

【关键词】波利亚四步解题法，高考圆锥曲线，解题思维

一、波利亚四步解题法

波利亚将解题过程分为四个步骤：理解题目、拟订方案、执行方案、回顾[1]，每一步又都以问题的形式呈现.

第一步理解题目.这一步决定要努力的方向.未知量是什么？已知数据是什么？条件是什么？当我们拿到一道题目的时候我们把读题分为两个阶段，第一阶段熟悉题目，看一下题目的类型，熟悉题目的已知量和未知量，第二阶段深入理解题目，深挖已知量背后隐含的条件，理解未知量，知道已知量和未知量之间的关系，知道自己努力的方向，适当的时候可以画图引入适当的符号.这一步是成功解决题目的前提.波利亚说：“对你所不理解的问题做出答复是愚蠢的，为你所不希望的目标工作是悲哀的.”

第二步拟订方案.这一步决定解决问题的成与败.你以前见过它吗？你知道一道与它有关的题目吗？这里有一道题目和你的题目有关而且以前解过.你能利用它吗？如果不能先尝试解一道与它有关的题目.努力找出已知数据与未知量之間的联系，如果找不到直接的联系，就考虑辅助题目.在这一步中教师能为学生所做的最好的事情是通过不显眼的帮助，引导学生自己获得一个好的思路.这个帮助应该是普遍性和常识性的问题和建议.

第三步执行方案.执行你的方案，检查每一个步骤.要对第二步的分析进行逻辑重组，检验每一个细节的合理性，不再有可能的隐藏的错误或含糊之处.

第四步回顾.波利亚认为，没有回顾这一步所有的解题都是就题论题.你能检验这个结果吗？你能以不同的方式推导出来吗？你能把这个结论运用到其他题目中吗？回顾可以使我们做到举一反三.

二、实践应用

（4）回顾：

求解定值问题，首先要求出待求定值式的代数表达式，然后对代数表达式进行化简、整理，消去变量，得到定值.第二问中设出lBP的斜率k，得lBP的方程，结合椭圆的方程求出点P的坐标，联立lAD和lBP的方程解得点M的坐标，方案一先求出lDP的方程，再求出点N的坐标，这是大多数学生都会用的一种最容易想出来的方法，方案二是根据D，P，N三点共线利用斜率相等得到点N的坐标，这一种方法不容易想，但是很好用，之后求出lMN的斜率后代入所求的式子即可得到答案.

推广：已知点P（不在坐标轴上）是曲线C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）上的动点.点A（-a，0），B（a，0），D（0，b），设lDP交x轴于点N，lAD交lBP于点M，则2kMN-kBP=ba.

三、总 结

圆锥曲线在高考中是一大重点、难点，很多学生对第二问基本是放弃的，因为水平一般的学生是很难做出来的，但是第二问所占分值是比较高的.此例子利用波利亚解题表来指引第二问，可以看出很多分析步骤是大部分学生都可以想出来的.波利亚的解题表给我们做题指引了一条明路，不但解决了问题还培养了学生思维的发散，真正达到了理解和应用，从而提高解题能力.四个步骤中的问题对教师教学和学生做题自问都有极其重要的意义，可以为学生打开解题思路.尤其是第四步回顾的工作是很多学生不会做的，但是在“解题表”中我们知道了回顾反思不仅是对解题过程的回顾，更是我们重新梳理整个题目解答过程中的思路的过程，总结解题中的经验和教训，达到“做一题，会一类”的目的，从而达到事半功倍的效果.

【参考文献】

[1]G.波利亚.怎样解题[M].涂泓，冯承天，译.上海：上海科技教育出版社，2007.

[2]郑云升，向婉诗，刘成龙.《怎样解题表》指导下的解题实践——以2012年成都中考第24题为例[J].数学教学通讯，2017（5）：48-51.

[3]涂敏，汤强.波利亚“怎样解题”表的应用与评价[J].数学学习与研究，2015（13）：132.

[4]韩婷婷.波利亚“怎样解题”表在中学几何题中的运用——以2016年山西中考数学22题为例[J].甘肃高师学报，2017（12）：63-67.