贺萍 刘君

【摘要】悖论教学法应用于中学数学课堂有利于培养中学生的学习兴趣，增强学生对数学文化的了解，还可以提高学生的逻辑思维能力.本文基于中学数学基础知识，通过实例说明分析悖論教学法对中学生学习数学的作用.

【关键词】悖论，初等数学，悖论教学法

悖论是由Paradox翻译过来的，采用徐利治教授主张的说法，“如果某一理论的公理和推理原则看上去是合理的，但在这个理论中却推出了两个互相矛盾的命题，或是证明了这样一个个复合命题，它表现为两个互相矛盾的命题的等价式，那么，我们就说这个理论包含了一个悖论.”悖论教学法就是将悖论的思维方式适当地引入教学课堂的一种教学方法.其过程是首先在课堂上提出一个悖论A，然后组织学生讨论与质疑悖论A，再引导学生由已有的知识B否定悖论A，最后得出新结论C.

一、悖论教学法的应用

中学数学中出现的谬误很多是因为学生的思维定式或对基本的定义和定理的认识不足，又或者是忽视了定理的适用条件等原因造成的.所以，中学数学中的“悖论”很多都有一定的伪装，这种伪装对学生的解题有一定的阻碍作用，教师就可以利用这些伪装实施悖论教学法.

（一）利用学生的思维定式实施悖论教学法

1.提出悖论A——任意三角形都是等腰三角形

如图所示，作∠A的角平分线和底边BC的垂直平分线交于点O，从O点分别向AB，AC引垂线，垂足分别为D和E.因为∠ADO=∠AEO=90°，AO=AO，所以△ADO≌△AEO，AD=AE.因为OF垂直平分BC，所以OB=OC，又因为∠BDO=∠CEO=90°推出△BDO≌△CEO，BD=CE.根据图示和分析可以得出AB=AD+BD，AC=AE+EC，即AB=AC，所以结论为△ABC是等腰三角形.

2.激发学生的兴趣，质疑悖论A

因为三角形按边分类可以分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形，所以任意三角形都是等腰三角形这个结论是错误的.

3.根据知识否定悖论A

通过准确的作图，明确出现这一错误的原因是因为作图不准确.分别作顶角A的角平分线和底边BC的垂直平分线，发现两条线的交点是在三角形外的，而题目中给出的图形是错误的，导致在解题过程中出现了错误.

交点O在三角形外，AD=AE，BD=CE，但是AB=AD+BD，AC=AE-CE，所以AB≠AC.

4.得出结论

不是任意一个三角形都是等腰三角形.在做题的过程中要准确作图，根据题目要求自己动手作图，不要被不准确的图形所“迷惑”.（提醒学生要正确作图，准确作图）

（二）利用学生对定义的模糊认识导致悖论

所以任意两个数都相等.

2.激发学生的兴趣，质疑悖论A

实数与数轴上的点是一一对应的，每个实数大小不相等，所以不可能任取数轴上的两个点都是大小不同的.

3.根据平方根知识否认悖论A

如果两个数的平方相等，那两个数的绝对值就是相等的，但是两个数的大小可能相等也可能不相等.若x2=y2，则只能推出x=±y，而不能说明x=y.

4.巩固概念的理解，加强定义教学

二、悖论教学法对中学生学习数学的影响

悖论教学法培养学生对学习数学的兴趣.在几何教学时可以讲几个有趣的数学几何悖论引起学生的好奇心，比如，在讲解案例1时，可以给学生展示彭罗斯阶梯、莫比乌斯环等，形象的图像可以增强数学的趣味性，使得中学数学课堂不再枯燥乏味.

悖论教学法增强学生对数学文化的了解在讲一个新知识前可以把涉及的数学家给学生介绍一下，例如，芝诺（芝诺悖论）、孔多塞（投票悖论）、欧布里德（说谎者悖论）等，这些数学家对数学的贡献和对数学严谨的态度也会给学生树立榜样.

悖论教学法培养学生的反向思维和严谨性.学生平时做题都有正确的前提条件，所以学生的思维大都是正向的，逆向思维较为欠缺，所以在布置习题时可以故意将题目出错，学生在解题时就会对前提和结论反复思考，逆推和正推同时进行，在这个过程中学生的逆向思维和对解题的严谨性就会加强.

三、小 结

综上所述，悖论教学法可以在教学的每个环节中都利用到，比如，新课的导入、知识点的巩固和习题的布置等.教师要利用好中学生所处阶段的发展特征，比如，思维定式、知觉的恒常性和对定义定理的模糊概念等，调动学生的好奇心和求知欲，让学生参与到课堂学习中.

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