“四疑四创”式数学思维课堂的探究与实践
2020-04-14施浩妹
施浩妹
【摘要】“数学是思维的体操”，而“疑”是思维的火花，在落实立德育人，发展核心素养的当下，作为教师，应该如何有效开展课堂教学？如何勾起学生的求知欲望并使其产生疑惑？如何一环一环地引导其解决疑惑进而培养学生的思维习惯，提升学习能力？笔者从精心设疑、引导解疑、鼓励质疑、适当留疑这四方面展开探究、思考.
【关键词】数学课堂，设疑解疑，引导反思
数学是一门什么样的学科？它自身的育人任务是什么？在我们的教学中为何会有诸如此类的问题：学生在课堂上听懂了，课下却忘了，教师觉得简单的，学生却觉得难，教师讲清楚了，学生却没有听懂，教师滔滔不绝，学生却掌握甚少.笔者认为根源是这样的课堂没有让学生产生探究解惑的欲望，学生的思维之门没有被打开，他们体会太少，感悟太少，反思太少，又哪来提升学习能力、思维品质和核心素养一说呢？那么作为中学数学教师，到底需要创设怎样的数学课堂，怎样去设疑、引疑、留疑，去勾起学生质疑，引发学生开启创新思维之门的钥匙呢？
一、精心设疑，创设问题情境
（一）聚焦数学概念，联系生活实际来设疑、创设
高中数学概念课是每一章的第一节课，学生对新授知识充满神秘感，同时也伴随着陌生和畏惧.如果教师“轻概念，重练习”，急功近利地授予新知的概念，大容量地训练题目，就会导致学生对概念的感悟不足、认识不足、思辨不足，自然也就难以理解概念，再多的训练也只能停留在机械记忆与模仿的思维层次.缺少感悟和思辨的课堂，出现“无根”“低空飞行”的现象也就难免了，那么数学素养的提升也就无从谈起.我们知道问题可以激励思维，没有问题就没有思维，故笔者设计了情境和问题串的方式来进行教学，提高学生的思辨和抽象能力.
如，在“集合”概念课的教学中设计了以下四个问题.
问题1：（1）请仿照下列叙述，向大家介绍一下自己，我家有爸爸、妈妈和我，我来自朝晖中学.（2）将班里的同学按性别成A、B两组，你属于哪一组？（3）把毕业于同一个初中的同学分在一个组，编上编号，你属于哪一组？这样的问题贴近生活，容易感知.
问题2：刚刚这些问题中的“家庭”“学校”“男生”“女生”“毕业于朝晖中学的同学”有什么共同特征？引导学生思考，让学生用自己的语言表述，在学生表述的基础上自然而然地抽象生成“集合”的描述性概念.
概念出来后，紧接着提出问题3：指出下列对象是否构成集合，如果是，指出该集合的元素.（1）我国的直辖市，（2）我们教室里的桌子，（3）我们班的高个子男生，（4）大于100的数.这样的问题引导学生在思辨中进一步理解概念，如，（3）中的高个子男生，何为高，这算确定的对象吗？放手让学生自己去品味，自己去感悟.又如，（4）大于100的数确定吗？无穷地列举下去，列得完吗？怎么办？
列举不完，冲突产生，刚好由此引到集合的表示方法，提出问题4：怎样用符号来表示集合呢？这样的问题串方式一环扣一环，层层递进，让学生的认识由感性到理性，也把集合概念由文字的描述性表达提升到了数学符号{x|p（x）}的抽象表达.
以问促思，以问促辨，在数学概念课的探究新知中，不仅激发学生的学习兴趣，让学生经历从“疑惑”到“思疑”再到“发现”的过程，更提升了学生的思维品质，提升了学生的辨析能力和抽象概括能力.
（二）聚焦相似问题，利用形同质异来设疑、创设
数学课堂自然离不开例题的精选，好的例题可以事半功倍地提升学生的思维品质.在例题教学过程中，教师既要研究“形不同而质同”也就是通性通法，达到巩固基础知识与基本技能的目的，也要让学生看到另一面“形同而质不同”，利用相似相近问题，培养学生差异性思维，提升学生的类比和分析能力.
笔者的教学课堂中，对题目的挑选，都是仔细研究对比后才给出的，不是单纯地为做题而做题.比如，有这样三道题：① 已知不等式mx2-2x-m+1≤0，此不等式对任意x∈12，2恒成立，求m的取值范围.② 已知不等式mx2-2x-m+1≤0，此不等式对任意x∈12，2恒成立，求x的取值范围.③ 已知不等式mx2-2x-m+1≤0，若存在x∈12，2使不等式成立，求m的取值范围.“m”变“x”，“任意”变“存在”几字之差，如此相似的问题，到底有何差异，好奇心会引发学生仔细掂量，认真剖析.又如，有这样两道题：① 在等比数列{an}中，a3，a9是方程3x2-11x+9=0的根，则a6的值为.② 在等比数列{an}中，a4，a8是方程3x2-11x+9=0的两根，则a6的值为.对这两道题，大部分学生的答案会是一样的均为±3，但结果为一对一错，这也是十分神奇的，为何会这样？答案无疑会极大地激发学生的探究欲望，打开学生的思维闸门.
设置这样相似度极高的题组，目的是有意培养学生思考问题不能太狭隘，而要仔细品味题目的差异，要从不同角度、不同侧面去研究问题，有利于提升他们类比分析问题的能力.这样相似问题的创设也容易勾起学生的探究欲望，变被动思维为主动自觉思维，让每一名学生主动参与、自主探究，形成“趣学”“乐学”的氛围，从而让学生的类比分析能力得到切实、有效的发展，对提升学生的数学素养大有裨益！
二、引导解疑，创造思维空间
当前的数学教学中“重结果，轻过程，轻能力”的现象嚴重，造成“教师教得累，学生学得苦”.在课堂上，教师不能一味地顺着自己的解题思路一讲到底，要广泛听取学生的想法，让学生自主探究，将思维拓展开来，哪怕是错误的、不完整的思维，要相信学生的潜能，勇于放手，要让课堂成为开放的课堂，要让自己成为一个真正的点拨者、引导者，这样可以衍生出更多精彩.笔者在一次导数的复习课中，出现了意外情况，就干脆让它变成了一节开放课堂.
（一）笔者原始设计
题目 已知函数f（x）=lnx-a（x-1）x+1，若函数f（x）在（0，+∞）上为单调递增函数，求a的取值范围.
笔者的预设是希望学生能利用“导函数的符号与原函数单调性之间的关系”将此问题转化为一个不等式恒成立问题，最终用“参变分离”及“基本不等式的应用”求出参数的取值范围.
（二）实际课堂呈现
事实上，很多学生做到“x2+2x-2ax+1≥0恒成立即可”时，想不到参变分离，都想到二次函数去了，想从二次函数的角度去解决它.学生1：“只要Δ=a2-2a≤0就可以了.”学生2附和说：“对，这个方法好！快！”（随之其他学生也开始频频点头，觉得很有道理）
笔者并不否定学生的想法，切断学生的思维，而是提问到：“真的是这样的吗？二次函数我们可是很熟悉的啊，初中就学了，高中它也占据着一个很重要的位置，你们都同意1同学吗？没别的想法了？”
学生2开始反驳：“知道了，这个Δ≤0的条件太苛刻了，这里只要x∈（0，+∞）就可以了.都对x∈R恒成立了.”（其他学生也开始感悟到，的确如此）笔者似懂非懂地点评：“嗯，的确如此，那应该如何继续呢？这要考查你们对二次函数学得扎不扎实了.”笔者顺其自然，让他们继续讨论争论下去，最终答案出来了，然而探究并没有结束.笔者继续提问：两种方法哪种好呢？
此时，学生齐刷刷回答第一种方法参变分离好，因为无须分类讨论.
笔者立刻给出变式：“那如果真的是x2+2x-2ax+1≥0对x∈R恒成立呢？”
学生经过自己的探究、讨论后发现此题也可以用之前的两种思路，明白了方法不是永远某一种好，要因题而异.
（三）教学总结反思
这节课违背了教师的原始计划，打破了时间的限制和约束，成为开放的课堂，把话语权交给学生，给学生创造足够“宽”的思维空间，让学生自主探究，自己去发挥、去推理.学生的思维充分暴露，笔者只需围绕学生的思维进行开放教学，不断提出问题，引导学生解疑，一波刚落，一波又起，达到了很好的教与学的效果.我们需要这样的开放课堂，来激活学生的思维闸门，最大限度地培养学生自主获取知识的能力，
三、鼓励质疑，创新思维培养
科学发明与创造往往是从质疑开始的，教材不是权威，教师也不是权威，所谓“长江后浪推前浪”，学生可以掌握教师还没有掌握的知识，学生也可以超越教师，教师要鼓励学生敢于挑战和质疑，这样可以让学生树立信心，使学生的主体意识觉醒，不断地富有创新性，不断地超越自身.所以在平时的教学中，教师可以聚焦质疑型问题，聚焦错题、错法，引导学生辨析、质疑，有效地培养学生的创新思维和批判精神.
（一）质疑同学，互相切磋
比如，在基本不等式的应用中有这样一道题：已知x>0，求4x+9x2的最小值.笔者收罗学生的两种解法呈现在黑板上：
学生1：因为4x+9x2=x+3x+9x2≥33x·3x·9x2=9，所以4x+9x2的最小值为9.
学生2：因为4x+9x2=2x+2x+9x2≥332x·2x·9x2=3336，所以4x+9x2的最小值为3336.
两种解法的结果不同，到底哪名同学正确？部分附和学生1，部分附和学生2，但都说不出另一种解法为何错？在质疑、批判中，引導学生辨析、讨论.
终于有学生做出评判了：学生1一定错，如果可以拆成“x”与“3x”，那一定也可以拆成“0.5x”与“2.5x”，这样的话，答案太多了，一定是只能拆成一样的“2x”与“2x”.
其他同学开始点头同意，答案是出来了，那本质原因是什么呢？继续探究思考，最终想到基本不等式有个极易忽视的东西“等号成立的条件——当且仅当”.
（二）质疑教师，增强自信
在一次考试中有这样一道题：若函数f（sinx）=cosx+π3，求fcosπ3的值.资料给出的答案是“0”，笔者在自己的解答过程中也没有意识到它是道错题，做出的答案也是“0”，然而在试卷讲评中，有学生质疑了笔者，同时也质疑了参考资料的答案，该生说他用两种解法，解出来的答案是不一样的：
法1：fcosπ3=fsinπ6=cosπ6+π3=0.
法2：fcosπ3=fsin5π6=cos5π6+π3=-32.
展示后，所有同学都说：“对，对，对，应该是两解.”然而提出疑惑的学生说：“我总觉得哪里不对，虽然fsinπ6，fsin5π6 形式不一样，但实质上都是f12，是‘一个值啊，怎么会出来‘两个不一样的结果呢？”因为笔者自己做题时也欠考虑了，做出了和参考答案一样的答案，所以在学生讨论、争论的时候思维也没有停止，脑子飞速转动，正是因为这个“一个”“两个”的点醒，笔者意识到题目本身出错了，它根本就称不上“函数”二字，它不符合“函数”概念中的“任意”“唯一”，于是顺势诱导：“对啊，怎么会一对二呢？”个别程度好的学生立马条件反射：“一对二？函数怎么会一对二，它根本不是函数，题目本身就是一道错题！”
在教学过程中，会遇到“错误题目”，教师本身也会犯错，作为教师，要引导学生不迷信权威，敢于去质疑、去批判，找到问题所在、原因所在，错误中往往孕育着比正确更丰富的发现和创造.作为教师，也可以制造这样的质疑机会，创设情境让学生来挑战你、质疑你，聚焦错题错法，引导学生面对权威，敢于批判质疑，最终将“错点”变为“亮点”，培养学生的批判精神和思维的严密性，提升学生的论证能力与创新思维能力，增强他们的自信心.
四、适当留疑，创造能力提升
罗增儒教授说过：“问题一旦获解，就立刻产生感情上的满足，忽视解题后的再思考，恰好也就错过了提高的机会.”反思是数学思维活动的核心和动力，对一位教师而言，更要成为学生反思的引领者，不能就题讲题，不能课上完就结束了.笔者喜欢在习题讲评时，留有疑问，针对问题展开讨论探究，深入思考，去挖掘题目背后更多的东西，喜欢在上完课后给学生留有一定空白，考查学生课堂有没有领悟透，让学生在留有的问题中反思，在反思中进一步提升创造能力.
（一）题后留疑拓展，提升思维广度和深度
在一次作业讲评时，有“已知向量a=（2，λ），b=（3，-4），且a·b的夹角为钝角，求λ的取值范围”这样一道填空题，不少学生都做出答案λ>32来了，但是答案对，未必思维就严密.所以笔者让一名答案对的学生讲了他的思路，果然该学生只考虑了一头，忽略了cosθ>-1这个条件.但由于这道题目中向量a与b不会出现反向共线的情况，所以学生们漏掉这一头还是做出来了正确答案.但当时笔者并没有指出该学生错在何处，而是在黑板上写下了变式：那如果a=（-2，λ），b=（3，-4），答案又如何？好多学生觉得一样，都没有动笔的意愿.直到学生1：“做出来了，答案是λ>-32.”学生2：“我也是这个答案.”笔者不动声色，在黑板上写下答案为λ>-32且λ≠83为止，大家才觉得诧异，勾起了好奇心，开始探究讨论，发现其实应该满足-1
（二）课后留疑反思，提升创造能力
再看错题：若函数f（sinx）=cosx+π3，求fcosπ3 的值.虽然当时程度好的学生明白它不符合函数概念，但是由于函数这个概念比较抽象，在初接触时，很多学生就觉得难，既然此处出现了，就该巩固加深一下，但是已经下课，所以笔者就布置了任务：“个别同学已经看到这是一道错题，但很多同学还很迷茫，今天的作业之一就是继续去思考这道题目，把它彻底想清楚弄明白，不可以模棱两可.”笔者自己回去也重新整理了思路.其实本质上，利用换元法，令sinx=t，则y=cosarcsint+π3，可以看到这不是一个函数，但由于学生并没有学过反三角函数，所以笔者在学生可以理解的范围内，出了一道类似题：若函数f（sinx）=cosx，求f（cosx）.类比上次的解法，根据“形”去演变：
法1：f（cosx）=fsinπ2-x=cosπ2-x=sinx.
法2：f（cosx）=fsinπ2+x=cosπ2+x=-sinx.
但如果从“数”去研究，换元法解法如下：令sinx=t，则cosx=±1-t2，所以对应关系是f（t）=±1-t2，它没有满足对任意的t，有唯一的元素和它对应，所以它不是函数，这是一道错题.为了学生能更清楚地理解此题，笔者还举了以下简单化的例子：
例1 若映射f：|x|→x+1，求f（|2|），f（|-2|）的值.
例2 若函数f（|x|）=|x|+1，求f（|2|），f（|-2|），f（2）的值.
在例1中，单纯从“形”来看，|2|与|-2|是不同的元素，而f（2）也毫无意义，而在例2中，f（|2|），f（|-2|），f（2）三个值是一样的.为了检测效果，笔者还留了两道作业题：
题1：若函数f（sinx）=cos2x，求f（cosx）.
题2：若函数f（sinx+cosx）=sinxcosx，求f（cos30°）.
对试卷中的一道题目，笔者为何要花大力气去备课、去讲解，一方面，是这个知识点导致的，函数本身是难点，依据螺旋式上升的教学理念，要好好把握这个机会，另一方面，让学生知道原来课下教师还在仔细研究这道题，希望通过自己的言传身教，告诉学生，不能课堂一结束，自己的探究就结束，要不断反思总结，只要自己还有疑点，那就要有一探到底、一究到底的精神.教师要为学生养成反思品质做好榜样，要让反思成为课堂的一种文化，在潜移默化中让学生养成分析总结、反思问题、反思课堂的习惯，从而在反思中获得成长，提高学生的归纳整合能力，从而让学生再创造.
数学是“思维”学科，学科有其特色，教学必然也有其特色，育人目标必然是把学生培养成具有学习能力的人，从而达到学生自身的全面发展.而对教师而言，需要更新自己的教学理念，审视自己的教学课堂，思考如何抓住数学教学的本质，如何更好地开展课堂教学，更好地以数学本身的魅力去吸引学生、培养学生.教师要让数学课堂不仅是知识传授的场所，更是改善学生思维品质、提升学习能力的乐园，让学生从中感受到数学之美！
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