王永静

【摘要】在高等数学中，微积分理论作为其重要组成部分，该理论具有重要的哲学意义，只有对理论中所富有的哲学意义进行充分理解与认知，才能使微积分理论得到更好的学习和掌握，而这就需要在高等数学教学中，培养学生的辩证思维，帮助学生掌握辩证思维中的基本规律及其运用方法，使学生能够利用辩证思维来理解微积分理论中的哲学原理，从而提高高等数学教学中微积分理论的教学成效.鉴于此，本文对高等数学微积分理论的辩证思维进行相应的探讨.

【关键词】高等数学，微积分，辩证思维

微积分理论是高等数学中的主要内容之一，微积分理论是由德国学者莱布尼兹与英国伟大的物理学家牛顿在17世纪所提出的，无论是莱布尼兹还是牛顿，不仅是杰出的科学家，同时也是令人瞩目的哲学家，这也使微积分理论具有非常浓重的哲学色彩.微积分理论的提出，为物理学、天文学、数学等领域做出了巨大的贡献，推动了这些领域的发展，并对西方哲学产生了极为深远的影响.在微积分理论中，其所涉及的概念与方法都有着极为深刻的哲学思想，只有充分理解这些哲学思想，才能使微积分理论得到更加透彻的理解和掌握，而这就需要通过辩证思维来对其哲学思想进行深入的分析与研究.因此，本文对高等数学中微积分理论的辩证思维进行探讨与研究，明确了辩证思维中的基本规律，并阐述了辩证思维在高等数学微积分理论中的具体运用方法.

一、高等数学微积分理论中辩证思维的基本规律

根据辩证唯物主义思想，人类所处的世界是由物质所组成的，而这些物质时刻都在运动、变化和发展，这也使世界万物具有非常紧密的联系.通过唯物辩证法，可对事物在运行、发展及变化过程中所具有的潜在规律进行总结，例如，质量互变规律、对立统一规律等都是以唯物辩证主义为核心，通过辩证思维的运用所总结出的规律.对质量互变规律来说，该规律能够对事物的变化表现进行统一描述，其认为质和量的统一形成事物，这也使事物在变化时会发生质变和量变，通常而言，量变具有连续性和渐进性的特点，如果事物中的量达到一个临界点，该临界点位于质的区间中，则该事物便会出现质变.而对对立统一规律来说，其主要是对微积分理论中关于微分和积分、有限和无限、变量和常量间的矛盾关系进行总结的，该规律认为无论是微分还是积分，无论是常量还是变量，无论是有限的还是无限的，其都具有相互对立但却具有统一性的关系，当其达到某种条件时，便会由对立关系转化为包容关系，从而使其在特性上表现为对立且统一.微积分是以变量作为研究对象的，从微积分理论中的函数概念可以了解到，其分为一元函数和多元函数，在世界中，事物的数量既可以是一个，也可以是很多个，但其量变与质变的范围却不只是处于区间中，还有可能是处于多维区域中，某些临界点不仅位于边界上，还可能位于区域的边界.此外，还可采用其他特殊的形式来对临界点及量变进行表达，例如，∑an=a1+a2+…+an+…这一无穷级数便可以看作是有限项和的推广，在该无穷级数中，其内部既有着内在的联系，同时彼此之间有着巨大的差异.对有限项和来说，其本身便可当作一种具有特殊性质的无穷级数来对待.不过通常来说，普通的无穷极数在具体情形上还包括发散与收敛，当无穷级数为收敛情形时，在某种程度上也可能难以满足有限项和中的结合律及交换律.起始点为有限项和，终止点为无穷级数，量变可以是求和项数，其只能按照正整数来进行取值，因此，有限项和的变化可以看作是离散的.如果求和项数无穷尽时，便会出现质变，此时其质变的临界点也同样是无限的，并且是无穷大的.同样，对∫+∞af（x）dx这一定积分来说，其推广的形式是通过广义积分来表现的，广义积分出现的量变可以看成是积分区间发生了改变，而且其量变是具有连续性特点的，但如果广义积分出现质变，则其临界点却具有无穷大的特点.总而言之，在微积分理论中，利用辩证思维来对其基本规律进行总结，可以了解到，如果以质量互变规律来进行辩证，则微积分理论的研究对象变量在维度上既可为一维，也可为多维，并且可能具备离散与连续两种情形，而其临界点却既可能是有限的，但同样可能是无穷的.

二、高等数学微积分理论中辩证思维的运用方法

（一）辩证思维中分析和综合的运用

人类在对问题进行处理和解决时，往往需要利用分析与综合的方法来进行，可以说，分析与综合也是辩证思维中的基础，通过分析，可使复杂的问题或事物得到有效分解，然后以孤立、静止的方式对分解后的各个部分或阶段进行研究，进而获得事物所具有的细微性质.通过综合，则可使人们将获得事物的细微性质进行各个部分的有机整合，从而挖掘出事物在宏观与整体层面上所具有的性质.通过将分析与综合进行结合运用，可使人们利用辩证思维对事物的目的进行有效的认识.在微积分理论中，辩证思维的运用便是采用分析与综合相结合的思维方法来实现的，进而使其能够对高等数学中微积分理论进行更好的学习.以下以微积分理论中的定積分概念为例，对辩证思维中分析与综合这两种思维方法的运用进行说明和探讨.

对定积分概念来说，其具有对应的物理背景，在具体的实例中，需要对某个曲边梯形的面积进行求解，该曲边梯形中的直线可表示为x=a，x=b，y=0，而曲线则表示为y=f（x）（x≥0），x∈[a，b]，该问题是无法通过初等数学来进行解决的.因此，在利用分析思维方法时，需要将该曲边梯形进行分割，使其能够被划分成i个较小的曲边梯形，然后以静止不变的角度对第i个曲边梯形进行研究，在研究过程中，[xi-1，xi]范围内的函数f（x）是固定的，也就是说将第i个曲边梯形当作矩形来看待，则可得出它的宽是Δxi=xi-xi，而它的高则可表示为f（ξ），其中，ξ是[xi-1，xi]范围内的某个任意点，进而得出该曲边梯形的面积可表示为ΔSi≈f（ξ）Δxi，然后便可通过综合法来进行求和，从而得出所有小曲边梯形的面积的近似总和，即S≈∑ni=1f（ξ）Δxi，通过对整个曲边梯形进行逐渐细化的分割，便可在分割极限下计算出整个曲边梯形的总面积，该总面积也是某个极限的精确值，即S=lim‖T‖→0∑ni=1f（ξ）Δxi.

（二）辩证思维中抽象化与具体化的运用

在辩证思维中，抽象化和具体化是其高级运用形式，通过对客观的事物进行抽象化，可概括该事物的某项本质，以感性具体为基础，通过辩证思维中的分析与综合方法的应用，从而使思维变得具体化或理性化，进而帮助人们能够从多个方面来把握事物的属性，并从抽象层面逐渐上升至具体方法，其以抽象逻辑为初始点，通过相应的中介来实现思维具体化.运用辩证思维来对微积分理论进行抽象化和具体化时，不论是函数极限 limx→x0f（x）=A，还是数列极限 limn→∞an=a，或是其他类型，都可通过分析与综合的辩证思维方法和抽象化与具体化的辩证思维方法来对其定义内的“ε-δ语言”与“ε-N语言”进行体现.在极限过程中，其过程的变化是无限的，因此，为了使描述更加方便，需要将其进行各个阶段的划分，使不同阶段有着不同的变化，也就是通过函数f（x）或数列{an}来对部分阶段进行考虑，即|f（x）-A|<ε或|an-a|<ε.

在该表达式中，可采用0.01，0.001等正数来对ε进行表示.针对各个阶段的變化，以孤立且静止的角度来进行研究，其条件中的变化进程应由自变量n或x来进行满足，也就是说，必须通过任意一个正整数N，确保n大于N，或是利用某个正数δ来确保|x-x0|位于0和δ之间，从而使这些阶段的变化能够利用极限过程来进行具体化表达.由于不同的变化阶段非常多，甚至是无穷尽的，并且其特征是较为类似的，因此，需要通过抽象化的方式对其进行概括，也就是对极限过程进行相应的定义.

三、结 语

总而言之，辩证思维作为微积分理论中的重要学习方法，学生在学习高等数学中的微积分理论时，必须了解微积分理论中的哲学原理，通过辩证思维的运用来分析高等数学和哲学之间的关系，以便于更好地学习高等数学中的微积分理论，从而提高高等数学中微积分理论的学习成效.

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