付燕会

【摘要】数学史是数学文化的重要组成部分，却渐渐被大家所淡忘。自2005年第一届“全国数学史与数学教育会议”在西北大学召开以来，HPM（History and Pedagogy ofMathematics）日益受到我国数学教育界的关注，关于数学史教育价值的讨论层出不穷，一些HPM教学案例亦悄然诞生。HPM在情感态度价值观方面的作用得到了广大数学教育工作者的认同，而在认知方面的作用却始终受到质疑，这就造成了HPM在公开课、评比课上频繁亮相，而在日常教学中却无人问津。因此，数学史应用于数学教学上仍然存在很大的阻碍。

数学史应用于数学教学的最重要的依据之一是历史发生原理，即个体对数学概念的认知发展过程与该概念的历史发展过程相似。结合以上存在的现象，本论文主要从数学史应用于数学教学的现状、理论基础（新课标要求）和利用数学历史发生原理设计的教学案例分析等几个方面，说明了将数学史应用于数学教学的重要性，如何将数学史应用于数学教学，以及对数学史应用于课堂的美好展望。

【关键词】数学史;HPM;数学教学;历史发生原理

一、将数学史应用于数学教学的重要性

目前，对于中学数学教材中出现的一些数学史知识，多数教师认为数学史在课堂教学中能激发学生学习兴趣，但认为其与测试评估无关或因自己的无知而匆匆带过。因此，纵然数学史是数学文化的重要组成部分，仍然没有在课堂上得到一席之地，没有得到应有的重视。

《全日制义务教育数学课程标准》要求分学段介绍有关的数学背景知识，在第一学段要求教材可以在适当的地方介绍一些有关数学家的故事、数学趣闻与数学史料，使学生了解数学知识的产生与发展首先源于人类生活的需要，体会数学在人类发展历史中的作用，激发学生学习数学的兴趣。第二学段要求教材注重体现数学的文化价值。在对数学内容的学习过程中，教材可以在适当的地方插入介绍一些有关数学发现与数学史的知识，丰富学生对数学发展的整体认识。对后续学习起到一定的激励作用。第三学段要求教材要包含一些辅助材料，如史料、进一步研究的问题、数学家介绍、背景材料等，这样不仅可以使学生对数学的发展过程有所了解，激发学生学习数学的兴趣，还可以使学生体会数学在人类发展历史中的作用和价值。在各学段都对数学史料的出现形式，内容与目标做出了具体的安排与要求。

我国《普通高中数学课程标准》将“体现数学的文化价值”作为课程的基本理念之一，数学文化日益受到人们的关注。师范院校数学文化课程建设如火如荼，中学数学文化校本课程悄然诞生。然而，数学文化的主要载体是数学课程，而非数学文化课程;数学文化传播的主阵地是数学课堂，而非数学文化课堂。

新一轮的数学课程改革已将数学文化提到了重要位置，数学文化是人类的本文化，它不仅包括数学的知识成份（命题、方法、问题、语言），还包括数学的观念成份（数学的精神、思想）。著名数学家徐利治指出：数学教育理应具有“文化素质教育”功能，在很高的水平上陶冶和塑造优秀的科学文化人。他说：我们所说的“科学文化人”泛指具有较高文化素质，能够体现“数学精神”，且能够在不同程度上理解并运用“数学思想方法”的科技人才。要使学生理解数学文化价值的内涵（数学是一种科学的语言，一种思维的工具，一种思想方法，一种理论精神，一种艺术），我们就需要通过数学史的文化诠释，将作为数学文化载体的数学史融入数学教学，增进学生的数学理解，使学生形成正确的数学观。

可見，现行的教学大纲对数学史优化数学教学设计给予了一定的重视。

二、如何将数学史应用于数学教学

数学史材料的搜集是数学文化传播的基础，没有足够的素材，就会陷入“巧妇难为无米之炊”的境地，数学文化融入数学教学也就成了一句空话。因此，利用数学史优化数学教学设计的过程一般分为以下六步：搜集数学史材料→创争合适的话题→分析课堂需要→设计教学活动→实施课堂教学→评价课堂活动。

下面具体给出一个利用数学史优化数学教学设计的案例。

一元二次方程求根公式的推导过程：

大英博物馆藏巴比伦泥版BMI3901上有如下问题：正方形面积与边长之和为3/4，求边长。解法：置投影1，半之，得1/2，1/2和1/2构成矩形，将1/4与3/4相加，得1，从中减去1/2，即得边长为1/2。巴比伦人上述解法的依据乃是图3-1所示的几何图形。将置于正方形一边上的长为1、宽与正方形边长相等的长方形按虚线剪开，剪下的一半置于正方形的另一边，然后补一个边长为1/2的小正方形，即得一大正方形，其面积为3/4+1/4=1，边长为1，减去1/2，即得所求正方形的边长。

（一）几何方法引入

让学生分组合作，用任何方法解下面的问题。

问题1：已知矩形的半周长为20，面积为96。求矩形的长和宽。

在学生完成之后，教师在黑板上用硬纸板介绍几何方法如图2：取边长为10的正方形，其面积为100;割去面积为4的正方形（边长为2），余下的面积为96;按虚线剪去小矩形（长为8，宽为2）;将小矩形竖直放置在右侧。

于是，所求的矩形长为12，宽为8。

接着，教师让学生用几何方法解类似的问题：已知矩形的半周长为12，面积为30。求矩形的长和宽。注意，此时应割去的小正方形边长为无理数。让学生书面总结解这类问题的一般步骤。

（二）合作讨论与提出问题

分组讨论解上述问题的步骤、出现矛盾的情形，每组选一名代表向其他组介绍自己所在组的讨论结果。接着，教师让学生自己提出类似问题，分别要求：所求矩形的长和宽为整数;所求矩形的长和宽不能为整数。

（三）新的矩形问题

教师提出新的问题。

问题2：矩形的长为10，宽未知。在矩形一边放一正方形，如图3所示。已知矩形和正方形面积之和为39，问矩形的宽为多少？

让学生用解问题1的方法来解本题。若学生不能完成，教师用硬纸板演示新的解法（图3）：将原矩形沿竖直方向分割成两半;其中一半粘到正方形的底边;在右下角补一个边长为5的小正方形。于是，整个正方形的面积为39+25=64，从而得边长为8。因此，x+5=8，x=3。

接着，教师让学生书面总结解这类问题的一般步骤。

（四）求根公式的再发现

教师提问：根据前面总结的解题步骤，能否找到一般公式，直接求得问题2解呢？引导学生用字母b表示问题2中矩形的长，c表示矩形和正方形的面积之和。分组讨论矩形宽的计算公式：

教师将上述几何问题翻译成代数语言：

x²+bx=c（b）

（a）式即为该方程的求根公式。接着，教师让学生用该公式解具体的一元二次方程，如x²+8x=9，x²+15x=75等，接下来，教师让学生找出一元二次方程

ax²+bx=c（c）

的求根公式，引导学生将二次项系数化成1，即方程两边同除以a，即得方程（b）形式

x²+b/ax=c/a

故在公式（a）中用b/a代替b，用c/a代替c，即得公式

最后，考虑一般方程

ax²+bx+c=0（e）

为了获得一元二次方程的所有根，我们必须考虑b²-4ac的负平方根，因此，方程（e）的完整的求根公式即为

这个例子的设计使用了数学历史发生原理，通过几何方法引入一元二次方程的解法，较符合学生的认知规律，体现了发生教学法的主要特征之一：主题之可接受性，即所引入之新主题建立在学生已有的认知基础之上。

三、对将数学史应用于数学教学设计的展望

F·克莱因曾指出：“教学应遵循人类从知识的原始状态到更高级形式的道路。推广这种自然的真正科学的教学的主要障碍是缺乏历史知识。”百多年后的今天，克莱因所说的障碍依然存在，要想将数学史更好的利用于数学教学设计，我们需要抓好以下几点：第一，多数中学数学教师缺乏数学史知识，对数学史与数学教育之间的关系更是不甚了了。窃以为，“数学史与数学教育”应该成为数学教师在职培训的课程。第二，设立中学数学教师数学史论坛，成为数学史与数学教育交流平台和阵地。第三，在进行数学史融入数学教学设计和教学实践时，先由大学教师完成相关主题的历史研究，获得历史材料，然后由大学与中学的教师合作，根据需要对材料进行加工，使之适合于教学，最后由中学教师将加工后的材料用于教学设计，并付诸实践。第四，要让更多数学教师接受数学史运用于数学教学设计的实践，首先就必须让他们看到数学史应用于数学教学案例的成功之处，我们需要更多的关于数学史的案例。第五，独木难成林。有一个志同道合、不断进取的团队，共同为数学史应用于数学教学设计服务，才能使其不断壮大。

【参考文献】

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[2]汪晓勤，朱卫平.数学文化融入数学教学的若干案例[J].中学数学月报，2013（1）：50-52

[3]张国定.数学史融入数学教学的实践研究[D].甘肃：西北师范大学，2007

[4]张晓勤，皇甫华.一元二次方程：从历史到课堂[N].数学史语，2007-12

[5]汪晓勤.HPM的若干研究与展望[J].中学数学月刊，2012（2）：1-5

数学史是研究数学科学发生发展及其规律的科学，简单地说就是研究数学的历史。它不仅追溯数学内容、思想和方法的演变、发展过程，而且還探索影响这种过程的各种因素，以及历史上数学科学的发展对人类文明所带来的影响。因此，数学史研究对象不仅包括具体的数学内容，而且涉及历史学、哲学、文化学、宗教等社会科学与人文科学内容，是一门交叉性学科。