许 鹏 柳福祥

（三峡大学理学院 湖北·宜昌 443002）

概率论与数理统计是数学中极具实际应用性的一个分支，是理工科专业非常重要的一门基础课。概率论与数理统计的理论方法和思想已经广泛渗透于农业、工业、军事、医学、金融等各个行业甚至我们的日常生活中。在如今的大数据时代，实现人工智能化是未来各个行业的发展趋势，概率论与数理统计又是支撑该领域的最基础学科，因此对于理工科各专业的大学生来说，学好本课程是适应未来时代潮流的必要基础。正是由于概率论和数理统计中的课程知识极具实际应用意义，因此在讲授该课程各个知识点的过程中，应该让学生深刻理解和掌握知识点的数学思想，而不是仅仅停留于刻板的知识表面。在讲授该课程的过程中，我们发现学生往往都能很好的理解概念和知识点，但具体到解决实际应用问题时，却常常不容易找到知识的切入点，根本原因在于学生对于知识点的理解并不深刻，没有达到活学活用的程度。

History and Pedagogy of Mathematics(HPM)是一个致力于研究数学史和数学教学关系的研究组织，最早可以追溯到1972年，在英国召开的第二届国际数学教育大会上成立的数学史和数学教学关系国际研究小组。HPM 的基本理念是在数学课堂教学中运用数学史，让数学学习成为一种有趣的经历，使得学生对数学概念得到更深刻的理解和掌握，让枯燥抽象的数学知识点变得更加活泼和有意义。同时，许多数学知识在其历史发展过程中往往并非一帆风顺，其中的曲折和困难，可以为教师突破教学难点提供思路。概率论与数理统计课程极其实际应用化的特点，对学生更深刻的掌握知识点的本质思想提出了更高的要求，HPM提出的数学史教学方法可以更好的实现该课程的教学效果。这里将以概率论与数理统计课程中非常重要的贝叶斯公式为例，设计具体如何运用HPM的教学方法来讲授该公式。

1 贝叶斯公式的发展历史

贝叶斯公式的思想最早在18世纪由英国业余数学家贝叶斯以哲学的角度提出，并由贝叶斯的好友普莱斯帮助发表。该数学思想很容易理解，即当我们不知道某个现象发生的机理本质的时候，可以通过该现象发生的结果反过来推断其背后发生的本质。因为现象的发生是果，发生的本质是因，换句话说，想要知道因，可以通过果来倒推出因。贝叶斯提出的数学思想是独立于传统的经典统计方法的另一套理念，在传统的经典统计方法中，我们要想知道现象发生的因，可以通过大量的试验，找出使得果发生概率最大的试验条件就是因。因此贝叶斯提出的数学思想在当时是非常新奇的。尽管贝叶斯公式的思想是由贝叶斯本人提出，但具体的表达式是在1774年由法国著名数学家拉普拉斯提出的。拉普拉斯在研究不同性别出生到底是否遵循等可能规律的过程中，发现如果用传统的统计学方法，需要搜集大量以往人口出生性别的数据，但往往这些数据存在或多或少的纰漏和不确定，因此很难得到真实的规律。拉普拉斯换了一种思考方式，他通过不断的记录新增的男女出生数据，反推男女出生的真实比例，由此确保了数据的可靠性。最后拉普拉斯提出了贝叶斯公式的具体数学表达式，也就是课程中的贝叶斯公式。

2 贝叶斯公式思想的导入

贝叶斯公式关于由果推断因的思想不仅广泛应用于生产和科学技术中，其实在日常生活中我们往往都可以得到具体的体现和应用。比如周末，学生约着好友一起到一条并不是特别熟悉的小吃街吃火锅，小吃街上一共有两家火锅店，但都没吃过，并不知道到底哪家火锅店好吃。如果要想知道哪家好吃，最自然的想法就是需要到两家火锅店都吃上一遍，通过比较决定哪家店更好吃。显然这样做法固然可以得到决策，但费时费财。那我们应该怎样在最短的时间用最经济的方式得到最可能正确的决策呢？在概率论和数理统计中，贝叶斯数学思想就可以告诉我们如何更好更快的做出决策。

3 贝叶斯公式

直接可得到贝叶斯公式。

贝叶斯公式又称逆概率公式，描述了A是事件的结果，其发生的所有可能的条件为，各条件发生的概率也已知，且已知不同条件下A事件发生的概率，就可以通过贝叶斯概率公式求出不同条件下发生A事件的概率。这样就实现了已知果推断出因。

4 贝叶斯公式应用案例

案例1：

假设在过去某一段时间，某病症的诊断试验中，该病症患者呈现测试阳性的概率为0.95，非此病症患者测试呈阴性的概率为0.95。而世界某国进行普查的结果表明：有千分之五的人为此类病症患者，现在该国某人去医院测试结果呈现阳性，问此人确为该病症患者的概率为多少？

分析：该案例中，事件发生的结果为测试结果呈阴性和阳性，人是否确为该病症患者为发生的条件。案例已知人是否确为该病症患者的条件下，测试呈现阴性和阳性的概率，反过来求已知结果呈阳性结果，推断是否确为该病症患者的概率。因此需利用贝叶斯公式求解。

案例2：

分析：我们回到课堂开始时，留下的学生选择火锅店吃饭的问题，学生们出去吃饭，面对着两家不熟悉的火锅店，现在来看如何用贝叶斯公式在短时间内做出最合理的判断，快速准确的选择出满意的店。显然，基于贝叶斯公式的思想，哪家的客流量最多，哪家就好吃一些，而不用自己每家都去尝试吃一下，最后来判断哪家好吃。从贝叶斯公式的角度来看，A事件（条件）是第一家火锅店好吃，则事件是第二家火锅店好吃，B事件（结果）是第一家客流人更多，则事件是第二家客流人更多。因此我们只要从实际问题中找到根本的因果关系（该问题的因果关系是因为好吃所以才能吸引客流），就能有效的根据结果推断出原因。

5 贝叶斯公式引领技术革命

贝叶斯公式的发展和认识已经深入到社会的各个领域，并且成为开启现代人工智能革命的根本理念。在目前大数据、人工智能、语音识别、信息搜索等各个领域都展现了无所不能的广泛应用。例如在机器学习领域，机器已经可以初步实现人脑的功能。我们觉得很不可思议，其实这背后隐藏的基本依据就是贝叶斯公式。人脑学习一种新知识的过程是从初步接触一个新知识产生一种初始的理解开始，可能这种理解是有偏差的，但随着人脑获取更多的信息量，不断的更新和纠正之前的理解，最终就会达到掌握知识的目的。机器学习也是基于同样的原理，最先给定一个初始的结果，然后通过不断的在现有数据的基础上反复训练，更新过去的参数模型，最后获得可以根据学习到的模型，去解决未知的能力。在这个过程中，通过训练中不断的新信息输入，更新前面学习到的模型的过程，就是应用了贝叶斯公式。

6 结束语

在HPM基础上的概率论与数理统计教学，在课堂知识点的讲述中融入数学史，有利于遵循个体学习的自然规律，顺着知识点数学史发展的过程让学生对知识点的学习更加深刻。贝叶斯公式对于学生来说，如果一开始就从公式出发，学生对于这种较为复杂的公式形式会难于理解，更不易做到活学活用。HPM教学方法通过对贝叶斯公式数学发展史介绍，让学生深刻理解贝叶斯公式背后的理论背景和意义，不仅能激发学生的学习兴趣和动机，也能顺着数学史发展的脉络，认识贝叶斯公式在哪些地方有实际应用，如何引领社会技术的变革，深刻掌握贝叶斯公式的精髓。通过HPM基础上的课程设计，也能让学生更大程度的拓展知识点，达到最佳的教学效果。