广东省中山市中山纪念中学(528454) 李文东

三角形中的边与角的最值和取值范围问题，是高三复习过程中的难点，在高考中考查形式灵活，常常在知识的交汇点处命题，与函数、几何、不等式等知识结合在一起综合考查.我们知道三角形只要满足三个条件，那么这个三角形就基本唯一确定了，而少于三个条件时，有些边角、周长和面积就可以变化，从而就有了求这些量的取值范围问题.这类问题的实质是将几何问题转化为代数问题，求解此类问题主要是要充分运用三角形的内角和定理，正弦定理，余弦定理，面积公式，基本不等式，三角恒等变形，三角函数的图像和性质等知识，综合性强，是解三角形问题中的难点.必要时可通过考察动点的轨迹的途径，利用轨迹的思想数形结合地解决问题，往往能够起到出奇制胜、化繁驭简的目的，下面举例说明.

一．动点轨迹为阿波罗尼斯圆

例1(2008 高考江苏卷)求满足条件AB= 2,AC=的∆ABC的面积的最大值．．根据面积公式得，根据余弦定理得代入上式得

S∆ABC=由三角形三边关系有解得故当时，S∆ABC取最大值

解法2考查动点C的轨迹，以AB所在的直线为轴，AB的中垂线所在的直线为y轴建立直角坐标，则A(-1,0),B(1,0)，设C(x,y)，因为，故化简得： (x-3)2+y2= 8 (y0)，故C到AB的距离的最大值为从而

点评本题的背景是阿波罗尼斯圆： 设点A,B为两定点，动点P满足PA=λPB，当1 时，动点P的轨迹为阿波罗尼斯圆．本题也可以用海伦公式其中求解，但都不如轨迹的方法运算量少，简单直观！

变式等腰∆ABC的腰AC上的中线BD长为3，求∆ABC面积的最大值.

解法1.设BC=x，则

解如图1，以BD的中点O为原点，BD所在直线为x轴建立坐标系，由题意：|AB|= 2|AD|，故点A的 轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为：0)，而S∆ABC= 2S∆ABD，从而

图1

例2如图2，已知平面α ⊥平面β，A,B是平面α与平面β的交线上的两个定点，DA ⊂β,CB ⊂β，且DA ⊥α，CB ⊥α，AD= 4，BC= 8，AB= 6，在平面α内有一个动点P，使得∠APD=∠BPC，求∆PAB的面积的最大值．

图2

解将空间几何体中的线、面、角的关系转化为平面内点P所满足的几何条件．因为DA ⊥α，所以DA ⊥PA，所 以 在Rt∆PAD中，tan ∠APD=，同 理，所以∠APD= ∠BPC，所以BP=2AP.在平面α内以线段AB的中点为原点，AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，则A(-3,0),B(3,0)，设P(x,y)，则有化简得：(x+5)2+y2=16，所以y2=16-(x+5)2≤16，所以|y|≤4，∆PAB的面积为当且仅当x=-5,y=±4 时等号成立，则∆PAB的面积的最大值是12．

二．动点轨迹为椭圆

例3已知∆ABC的周长为10，AB=4，求∆ABC面积的最大值.

解由题意CA+CB= 6＞AB，故点C的轨迹为以A,B为焦点的椭圆，去掉长轴上的两顶点.以A,B所在的直线为x轴建立坐标系，易知该椭圆的方程为由此可知当点C位于椭圆短轴的顶点时，∆ABC面积最大，且最大值为

例4(2013年高考全国卷第12 题)设∆AnBnCn的三边长分别为an,bn,cn，∆AnBnCn的面积为Sn,n=1,2,3,···，若b1＞c1,b1+c1= 2a1,an+1=an,bn+1=，则( )

A.{Sn}为递减数列

B.{Sn}为递增数列

C.{S2n-1}为递增数列，{S2n}为递减数列

D.{S2n-1}为递减数列，{S2n}为递增数列

解因为an+1=an，故数列{an}为常数列，设an=a1=a，又，故bn+1+cn+1=an+，而b1+c1= 2a1，从 而bn+cn=2a，即{bn+cn}也为常数列.

在∆AnBnCn中，BnCn=an=a，AnBn+AnCn=bn+cn= 2a，故An是以Bn,Cn为焦点，长轴长为2a的椭圆，其方程为设An(xn,yn)，由椭圆的焦半径公式有bn -cn= 2exn，e为椭圆的离心率.另一方面即，故{x2n}是递减等比数列，而故{y2n}是递增数列，从而为递增数列，选B.

评注本题是2013年全国高考的选择题压轴题，若单纯利用数列的知识解决难度比较大.而通过分析得出点An的轨迹是椭圆，借助椭圆的几何性质则使得问题得以顺利解决!

三.动点轨迹为三角形的外接圆

例5在∆ABC中，且

(1)求角B的大小;(2)若求∆ABC的面积的最大值．

解(1)B=120°.

(2)解法1由余弦定理得：b2=a2+c2-2accosB，再利用基本不等式得： 12=a2+c2+ac ≥2ac+ac=3ac，即ac ≤4，从而当且仅当a=c时取等号.

解法2由正弦定理得：从 而a= 4 sinA,c= 4 sinC，S∆ABC==AsinC，因为,故

解法3由正弦定理得：4 = 2R，即∆ABC的外接圆的半径为2.如图3，B在半径为2 的圆的劣弧AC上，显然当B位于该弧的中点B′处时面积最大，易求得B′D= 1，从而

图3

点评以上三种解法都很典型，方法1 是利用余弦定理和基本不等式，较为简洁;方法2 是利用正弦定理化边为角转化为三角函数求最值，缺点是运算量较大;方法3 数形结合，简单直观!

变式1在∆ABC中，求∆ABC的周长的取值范围．

解如图4，点A在半径为2 的圆的优弧BC上，显然当点A与点B或点C无限接近时，周长最小，此时而当A位于该弧的中点A′处时周长最大，此时

图4

下面证明这一点，设点A为优弧BC上异于A′的点，延长BA至C′，使得AC′=AC，连接AA′,A′C′.由题意∠A′AB= ∠A′CB= ∠A′BC，从而π -∠A′AB=π -∠A′BC，即∠A′AC′= ∠A′AC，又AC′=AC,AA′为公共边，故∆A′AC∽= ∆A′AC′，于是A′C′=A′C，从而AB+AC=AB+AC′=BC′ ＜A′B+A′C′=A′B+A′C.综上，∆ABC周长的取值范围为

变式2若在锐角∆ABC中，求∆ABC的周长的取值范围．

解如图5，A1B和A2C为圆的两直径，由题意可知满足条件的点A在弧A1A2上，结合变式1可知∆ABC周长的取值范围为

图5

例6在平面四边形ABCD中，BD= 4,DC=则AC的最大值是.

解在∆ABD中，由正弦定理有：= 2r=6，r= 3，如 图6，点A在半径为3 的圆的优弧BD上，显然当AC过圆心时AC最大，设E为BD中点，易证∆OEF∽= ∆CDF，故OF=于是AC的最大值为

图6

四．建立并借助动点的轨迹方程求最值

例7 设∆ABC的三内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若求∆ABC的面积的最大值．

解以B为原点建立如图7所示的坐标系，则C(a,0),设A(x,y)，于是

图7

即

得