孟新友

【摘要】在当前各高校大力发展新工科的形势下，本文分析了将数学建模思想融进新工科数学教学过程的必要性，进而分别探讨了在新工科数学教学环节中如何融入建模思想所涉及的内容和方法.

【关键词】新工科数学;数学建模思想;教学;创新能力

【基金项目】2017年甘肃省高校创新创业教育教学改革研究项目，2018年兰州理工大学高等教育研究项目.

当今世界，数学这一重要的基础学科已在各个领域广泛应用，其发挥的作用也产生了巨大效应，很多新设备、新技术的研制与开发都是在一定的数学模型指引下实现的[1].近年来，从“天大行动”到“复旦共识”再到教育部办公厅关于召开“六卓越一拔尖”计划2.0启动大会，“新工科”的概念迅速引起了高等教育界的普遍重视.工科数学课程一般有高等数学、概率与数理统计和线性代数三门课程，其概念、性质、定理等是比较抽象的，其高难度让学生有“学无用武之地”的想法，感受不到高深的理论在现实生活中的应用.数学建模是通过建立数学模型来解决现实中各种实际问题的方法.新工科数学教学过程中融入数学建模思想符合高校数学改革的要求.

1 新工科数学教学中融入数学建模思想的必要性

在面对在经济全球化中数学科技的重要性凸显的情境下，陈旧的数学类课程理论教学难以达到预期的教学效果[2].表现为：“粉笔+黑板”的授课方式传递的信息量不大;教学手段单一、枯燥;有些内容不能很好地表达，学生不易理解;列举的事例还是在古典几何、物理中的应用，没有展示数学在当前工程中的应用.这样挫伤了学生学习数学的兴趣和激情，影响了后续专业课程的学习和专业素质的养成.

数学建模是在数学理论知识与实际问题之间架设桥梁的一项创造性活动，是解决实际问题的关键一步.数学建模也是学生学习数学后对所学知识的一种检验和运用的课程.模型的建立，不仅能解决生物、环境、地质、军事、人口等方面的问题，还能解决医学、经济、金融等方面的研究问题数学建模是提高学生专业素质、检验学生运用知识能力的一门学科[3].由于数学建模涉及的范围比较广，所以在新工科数学教学中融入数学建模思想，师生均能受益.

一方面，新工科数学教学中渗透数学建模思想是数学教学改革的必然要求.为了适应新工科专业对培养学生的要求，工科数学教学必须进行改革，改变应试模式，着力培养学生应用数学知识的综合能力.在新工科数学教学过程中融入数学建模思想成为当前高校教学创新改革的一个重要方面.建模过程就是运用数学理论和方法分析并解决实际问题的过程[4].

另一方面，新工科数学教学中渗透数学建模思想是培养创新型人才的必然要求.当今，新技术、新产业、新业态发展快速，急需与之相适应的具有创新意识、创新精神和实践能力的综合型人才.这样，新时代下大学工科数学课程教学就需要做出相应的变革和调整.一方面，培养学生数学建模能力是培养创新型人才的基础，在当前专业认证和新工科培养方案中都提出了“会运用数学的思维、方法解决复杂的工程问题”这样的培养人才目标.数学建模是把实际问题先抽象成数学模型，再将求解所得的结果解释源问题，即“实践—抽象—实践”的过程[6].在整个建模过程中，提升了大学生的积极性，锻炼了大学生对问题的提出、分析和解决能力.另一方面，数学建模有助于培养大学生的创新能力.大學是创新人才培养的基地，而创新人才培养的核心是创新思想、创新意识和创新能力的培养.创新能力是指个体运用自己掌握的一切信息、知识和经验，产生某种独特、新颖、有价值的成果或作品的能力[7].数学建模所给问题的结论具有不确定性，学生可以灵活地使用不同的方法从不同的维度构造自己的数学模型.数学建模本身就是一个创造性的思维过程，其内容取材于实际、方法结合于实际、结果应用于实际.这样激发了学生的创造力，提高了学生应用数学的积极性，培养了学生的团队意识和探索精神.

2 新工科数学教学中融入数学建模思想的内容探讨

在新工科数学教材内容方面，加强以数学建模为中心的课程体系建设，适当地增加建模案例，调整应用问题在整个体系中所占的比重.在教学计划上，少量增加一些建模的学时.随着数学软件（如MATLAB，MAPLE）的快速发展和广泛应用，讲授中弱化计算技巧，强化数学思维的训练.特别在低年级学生学习工科数学时，并不是简单地将“数学模型”的部分内容加入数学类课程，而是将数学建模思想融入优化后的课程内容，通过讲授基于实际问题的内容，启发学生的创新思维，培养学生创造性地分析问题和解决问题的初步创新实践能力[8].一些具体的结合课程的做法如下：

（1）将数学建模思想融入高等数学课程的教学.高等数学是工科专业培养方案里具有非常重要地位的公共基础课.在新工科数学教学内容中适当地渗透数学建模思想，介绍概念、定理产生的背景和应用[6].例如，利用零点定理可以证明“一把四条腿等长的椅子可以在凹凸不平的地方上放稳”这一生活现象.在引入定积分定义时先提出问题“怎样计算变速直线运动的路程”，接着引导学生建立模型及求解，同时引出定积分的概念，并归纳出“大化小，常代变，近似和，取极限”的思想;最后利用此思想去解决计算不规则平面图形的面积、旋转体的体积等其他问题[9].求解带约束的最优化问题，一般处理的手段就是将给出的约束加入目标函数中，从而转换为无约束问题求解，最终逼近最优解.在教材中，给出了经典的求解方法——拉格朗日乘数法.然而在实际问题中，往往存在一些不等式的约束条件及乘子为函数的情形，由此引出二次惩罚方法、非平滑惩罚方法及增广拉格朗日方法.进一步，如果变量个数比较多的时候，需要借助现代数学软件或者编程语言编程进行求解，比如数学软件MATLAB，PYTHON，LINGO.

（2）将数学建模思想融入线性代数课程的教学.线性代数课程具有抽象性，学生难以理解和学习.将数学建模思想引入后，能够更好地帮助学生深入理解线性代数中的概念和问题，降低学生学习的难度[10].线性代数的知识广泛地应用在控制论、密码学等领域，然而讲授中很少举出有意思的应用事例.教师可选择简单、直观并且与知识点对应的数学建模案例，使学生感受到获取知识的乐趣[6].比如，学生学习并理解了矩阵的特征值与特征向量后，教师可以引入“人口受教育程度的依赖性”这样的实例教学[11]，也可以利用经济学中的投入产出，抽象归纳其运算规则，进而得到矩阵乘法的数学模型，也就是矩阵乘法的定义.当然也可以列举以信息检索为背景，利用给定的信息简化构造矩阵模型，进而结合矩阵乘法的规则解决实际问题.这种逐渐培养学生建模思想的方式，不仅训练了学生将实际问题“翻译”为数学问题的能力，还提升了学习线性代数的兴趣.

另外，对不同专业的学生，教师课前准备不一样的建模案例，案例以专业性问题为背景，然后引出相关概念.在线性代数的教学设计中，将关键问题列为课程教学的要点，逐步引导学生如何用数学建模思维获得专业相关问题的解决办法，从而建立起该课程的知识体系，培养学生的问题意识，有助于学生加深对知识点本质的掌握和理解.以计算机相关的新工科专业为例，挖掘计算机中与线性代数相关的知识点.如利用图像变换问题设计矩阵运算教学;利用手机锁屏人脸识别问题设计向量组的线性组合与矩阵特征值、特征向量的教学;利用人工智能机器学习问题设计二次型和正定矩阵[12].可以利用线性代数计算的特征，比如高维矩阵及逆矩阵的计算量大，引导学生借助数学软件（比如MATLAB）来完成相关运算.这样，将数学建模思想融入线性代数课程教学中，一方面提高了学生使用现代数学工具进行科学计算的能力，增强了学生学习数学的积极性;另一方面通过对软件运行算法展示和结果剖析，帮助学生理解信息技术应用过程中看似“不可知”的原理[12].

（3）将数学建模思想融入概率与数理统计课程的教学.生活中存在着大量与概率密切相关的事例.例如，由简单的掷骰子、抛硬币问题拓展到生活中的彩票中奖[10].利用“赌金分配”数学模型将“加权平均数”引入“数学期望”概念的讲解中，使学生能够认识到“数学期望”与“均值”之间的对等关系[13].由于该课程一般会涉及古典概型、伯努利概型及几何概型等抽象概型，所以可以利用实际问题指导学生如何构建数学模型，在建模过程中逐步完成某一概型的应用.如在几何概型的教学中，引入“会面问题”，即两个要约会的人，怎样才能永不相见[12]？在数理统计教学中，让学生运用所学知识对生活中的随机现象做分析.比如，借助淘宝平台公开的近年来的“11.11”销售数据预测下一年的销售额.

3 新工科数学教学中融入数学建模思想的方法探讨

在改进教学方式方面，可以在讲授理论知识的同时引进个别经典模型，增加课堂教学的趣味性.教学目的由“传授知识”向“培养能力”转变.上课前，教师准备若干个与知识点相关的事例，课堂上留给学生解决;授课方式由“单一型”向“多样化”转变，设计课堂讨论，鼓励学生积极参与.另外，可以采用启发式教学，即引导学生学习新的相关知识，结合已经具备的知识和理论，利用数学建模思想自己独立或者组成建模团队建立其相应的模型，并求解与分析，从而获得问题的答案.还可采用案例教学法，即通过引入案例、解决案例来逐渐引导出抽象的概念、定理与理论[14].

在教学手段方面，可以借助多媒体的直观化、多样化、现代化来辅助教学，提升有限时间内课内教学的信息量.课外可以建立突破地域限制、交互性强、灵活度高等的网络课堂，特别在疫情期间教师都掌握了线上教学与录制视频的技术，这样教师把教学中的重点与难点的讲解、有趣的建模案例等内容录制成短视频，上传到学习通、腾讯课堂等在线教学平台与自建网络教学空间，方便学生自由地在线自学，并可以随时查看和跟踪学生的学习状况;同时利用QQ群、微信网络平台在线答疑与交流，具有较强的可操作性.另外，引导和鼓励学生自学相关的计算机编程和现代数学软件，特别是鼓励学生利用数学软件自己实践数学类课程中一些重要的知识点，这样有助于学生加深对理论知识的理解、理论知识与應用结合，也体现了现代社会对高素质人才的要求.

在考核评价方面，在平时月考及期末闭卷测试中加入有意义的应用题目;还可以让学生自由组队，如同数学建模竞赛那样，针对给出的具体问题提交一份论文[2].比如，在讲解完一阶常微分方程后，补充传染病模型，然后将学生分成若干个队伍，每一个队伍3～5人;让学生查询某一个国家或者地区过去一段时间患病的统计数据，并建立模型做出预测.另外，鼓励学生参加全国大学生数学建模竞赛，并实行“加分”政策，提升学生对数学建模思想的认知.

4 结束语

在新工科数学教学中融入数学建模思想，有利于学生将抽象的数学理论、高效的方法和复杂的实际应用结合起来，有利于学生将数学的“学”与“用”有机结合起来，有利于将夯实专业基础知识和提高学生综合素质、培养创新实践能力有机结合起来.在当前时代急需新工科人才的环境下，新工科数学教学中融入数学建模思想，不但激发了学生的学习兴趣，而且有助于推进新工科数学教育的改革，从而提升人才培养的质量.

【参考文献】

[1]常远.开设数学建模课程的必要性及重要性研究 [J].科技信息，2012（28）：147-148.

[2]李玮，吴根秀，杨金波.将数学建模思想融入数学类主干课程 [J].南方农机，2019（1）：85-86.

[3]周彩莲.抓好数学建模竞赛促进高等数学教学改革 [J].浙江万里学院学报，2006，19（2）：25-27.

[4]罗原，郑克龙.数学建模思想与工科数学教学的结合探讨 [J].西南科技大学（高教研究），2011（4）：52-54.

[5]谢加良，朱荣坤，宾红华.新工科理念下线性代数课程教学设计探索 [J].长春师范大学学报 ，2018，37（04）： 131-133，138.

[6]赵瑞，曹靖.将数学建模思想融入工科数学教学 [J].教育与职业，2016（10）：119-120.

[7]赵宏斌.浅谈培养学生创新能力在高校美学教育中的意义 [J].艺术科技，2013，26（5）：421-422.

[8]戴明强，金裕红，李卫军.在国际大学生数学建模竞赛培训中培养创新能力浅探[J].高等教育研究学报，2015，38（4）：114-116.

[9]李大潜.将数学建模思想融入数学类主干课程 [J].中国大学教学，2006（1）：9-11.

[10]李清华.数学建模思想有效融入线性代数教学的探析 [J].教育现代化，2018（39）：77-79.

[11]付传秀，周建新.线性代数教学改革中融入数学建模思想的探讨 [J].教育教学论坛，2019（21）：110-111.

[12]谢加良，朱荣坤，宾红华.新工科理念下线性代数课程教学设计探索 [J].长春师范大学学报，2018，37（4）：131-133.

[13]郑铭海.数学建模思想在概率统计教学中的应用 [J].中国高新区，2018（3）：78.

[14]宋云燕，朱文新.浅析大学数学教学中数学建模思想的融入 [J].教育与职业，2015（4）：76-77.