黄美芬

（广州市第一一三中学 广东·广州 510000）

初中阶段，数学一直是一个大的学科，涵盖知识面广泛，且与生活密切相关。然而数学的解题思维也非常多而灵活，甚至每一题都可以有不同的解题思路，这种灵活既带给学生更多的解题机会，也让他们在不得法的情况下充满困惑。一旦学生对解题思想应用不灵，就会受到阻碍难以将题解下去。这也是笔者将分类讨论思想从众多解题法中挑选出来分析的部分原因。分类讨论的思想能够帮助学生更好地捋顺复杂问题的逻辑，因而分析该解题思想，对学生的数学思维提升意义非凡。

1 为树立分类讨论的思想创设环境

分类讨论思想本身是对解题思维的策略变换，需要有更和谐、活跃的气氛来带动，因而，教师要想办法为该思想的树立创设环境。

1.1 学生主体地位彰显

想让课堂变得活跃，就要让活跃的主体性因素，即学生充分发挥主观能动性。只有让学生成为课堂的主动参与者，不再被动接受，才能把他们的情绪调动起来，思维调动起来。教师可以在充分尊重学生潜力的前提下，将自身角色隐退为“幕后指使者”，转变授课模式和思路，帮助学生“放下心来”，从而让环境更有利于学生的思考。

1.2 学生思考氛围保障

学生的思考需要有效的情境引导。教师应该充分发挥自身的导向作用，把好思考方向。同时，环境的有利于思考并不意味着绝对的自由化，导致学生与教师地位的翻转过分被夸大。教师应该给予学生适度的自由，让他们发挥主观作用的同时，保持学习时间和探究的不偏题，不离题，并维护好课堂秩序。

2 分类讨论思想的深化策略

2.1 思想在日常中树立

分类讨论思想其实不仅可以针对具体习题来解题，还是学生看待和探究其他许多问题的基本思路。它是帮助人们对复杂事物进行多角度剖析的辩证性思想，具有普遍的指导意义。因此，教师完全可在日常教学中看好时机进行渗透，以帮助学生顺利树立起分类讨论的思想。如，在学习有关角的问题时，学生就常常遇到判断不明的问题。这类问题通常会给出一个角的度数，以及与它有邻边的角的度数，但是不相邻的一边却充满不确定性。另一边究竟在角度内，还是在角度外，就成了值得探究，值得讨论的问题。

2.2 思想在设问中锚点

分类讨论思想虽然是未解决复杂问题而生的，但它本身却并不复杂，而且具有规律可循。尤其是对于一些需要用到分类讨论法进行解题的数学题，在其设问中就可窥见一些引导性信号。这些问题虽然不一定明说解题情况的多角度性，但是只要学生肯细心发现、稍加分析，就能够掌握一二。如，下面这个例题就是方法“提示”较为明显的典型题。

在甲乙两个城市当中，电信公司分别成立了移动通信业务。在甲城市当中，用户月租费为15元，每分钟通话0.3元，在乙城市当中，用户在办理移动通信业务时，不需要缴纳月租费，但是每分钟通话费用比甲城市贵0.3元，为0.6元每分钟。在此条件下，我国设用户一个月需要通话X分钟，甲乙两个城市需要缴纳的通信业务费用为y1、y2。

（1）试问 y1、y2与 x 之间的函数关系；（2）该用户办理哪种通信业务较为合适。

这道题中，第一问比较简单明了，可列出 y1=0.3x+15,y2=0.6x。但第二问就相对复杂了，虽然问题没有直接说要使用分类讨论的思想解决问题，但是根据问题中的“你认为哪种”几个字已经可以判断出情况不止一种，属于复杂情况，所以该题适合用分类讨论的方法解题。我们首先假设甲乙两城的通信费用相同，y1=y2，得出x=50。因此改题目有两种情况：（1）当用户通话时长小于50分钟，选择乙城通信业务更为划算；（2）如果用户的通话时长大于50分钟，那么选择甲城通信业务较为划算。

2.3 思想在解题中渗透

分类讨论也是一种数学题型，教师应该适当对其中的规律进行汇总。这样能使学生更全面地掌握出题方向，从而站在俯视的角度、主动的位置上解题。因此，教师在具体的解题中，要注意帮助学生分析该思想的出题点，让他们将分类讨论思想摸清、吃透。例：现有两个等腰三角形，已知第一个等腰三角形两个边分别长为10厘米与8厘米，第二个等腰三角形的两个边分别长为7厘米与3厘米，分别求出两个等腰三角形的周长。

教师在引导学生对该例题进行解答时，首先要引导学生掌握等腰三角形的性质，对题目当中给出的三角形的边长进行探索，明确边的性质。题目当中虽然给出了边的长度，但是对于那个长度是腰，哪个长度是底边并没有明确，因此在解答过程中，首先要考虑哪三天线段可以构成等腰三角形。基于此，要对该题目进行分类讨论。

解析：

（1）因为8+8＞10，10+10＞8，则在这两种情况下都能构成三角形；

当腰长为8时，周长为8+8+10=26；

当腰长为10时，周长为10+10+8=28；

故这个三角形的周长为26cm或28cm。

（2）当腰长为3时，因为3+3＜7，所以此时不能构成三角形；

当腰长为7时，因为7+7＞3，所以此时能构成三角形，因此三角形的周长为：7+7+3=17；

故这个三角形的周长为17cm。

由上可知，当三角形腰长或底边长不能确定时，必须进行分类讨论。同时，教师要在引导学生解题的过程中注意，分类讨论各种情况时，一定要明确题目当中给出的限定条件，验证构成等腰三角形的三边关系，这也是一个前提条件。

2.4 思想在实践中强化

任何没有实践指导的理论都将是空谈，因此，对于分类讨论思想的教学应用，教师必须引导和带领学生多训练，在实践中去强化它，最终实现对它的应用自如。尤其是数学中的许多题型都是千变万化的，就不同的角度，可以拓展出无限新题。这也是数学的魅力所在。所以强化分类讨论思想，教师要能够带领学生适应数学题的这种千变万化。以下的举例，就是由上一点分析中的例题变化而来。

变式1：现已知等腰三角形顶角与底角不能确定，一个角为另一个角的四倍，对该等腰三角形进行分类讨论，求出该三角形的内角度数。

解析：

（1）当底角是顶角的4倍时，设顶角为x，则底角为4x，

∴4x+4x+x=180°，∴x=20°，∴4x=80°，

于是三角形的各个内角的度数为：20°，80°，80°。

（2）当顶角是底角的4倍时，设底角为x，则顶角为4x，

∴x+x+4x=180°，∴x=30°，∴4x=120°，

于是三角形的各个内角的度数为：30°，30°，120°。

因此三角形各内角的度数为：20°，80°，80°或 30°，30°，120°。

变式2：如果该三角形的高不能明确，那么需要对等腰三角形的高与另一边夹角为25°进行分类讨论，求这个三角形的各个内角的度数。

解析：

设AB=AC，BD⊥AC；

（1）高与底边的夹角为25°时，高一定在△ABC的内部，

∵∠DBC=25°，∴∠C=90°-∠DBC=90°-25°=65°，

∴∠ABC=∠C=65°，∠A=180°-2×65°=50°。

（2）当高与另一腰的夹角为25°时，高在△ABC内部时，

当∠ABD=25°时，∠A=90°-∠ABD=65°，

∴∠C=∠ABC=（180°-∠A）÷2=57.5°；

高在△ABC外部时，∠ABD=25°，

∴∠BAD=90°-∠ABD=90°-25°=65°，

∴∠BAC=180°-65°=115°，

∴∠ABC=∠C=（180°-115°）÷2=32.5°

故三角形各内角为：65°，65°，50°或

65°，57.5°，57.5°或 115°，32.5°，32.5°。

变式3：由腰的垂直平分线所引起的分类讨论在△ABC中，AB=AC，AB边上的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为40°，求底角B的度数。

分析：题目中AB边上的垂直平分线与直线AC相交有两种情形；

解：（1）AB边的垂直平分线与AC边交于点D，∠ADE=40°，则∠A=90°-∠ADE=50°，

∵AB=AC，∴∠B=（180°-50°）÷2=65°。

（2）AB边的垂直平分线与直线AC的反向延长线交于点D，∠ADE=40°，则∠DAE=50°

∴∠BAC=130°，∵AB=AC，∴∠B=（180°-130°）÷2=25°

故∠B的大小为65°或25°。

变式4：由腰上的中线引起的分类讨论等腰三角形底边长为5cm，一腰上的中线把其周长分成差为3cm的两部分，求腰长。

解析：

∵BD为AC边上的中线，∴AD=CD，

（1）当（AB+AD）-（BC+CD）=3时，则AB-BC=3，

∵BC=5∴AB=BC+3=8；

（2）当（BC+CD）-（AB+AD）=3时，则BC-AB=3，

∵BC=5∴AB=BC-3=2；

但是当 AB=2 时，三边长为 2，2，5；

而2+2＜5，不合题意，舍去；

故腰长为8。

以上几个变式抓住了三角形的不同侧面属性，进行了合理的问题拓展，也让我们看到分类讨论思想运用的普遍性。教师如能在学生深刻记忆基础上，再引导他们自创习题，则为教学效果最佳。

3 结束语

对于一种思想从陌生到熟悉，再到熟练应用，是需要漫长的渗透过程的。教师要以春风化雨的耐心，在实际教学中帮助学生在日常中树立、在设问中锚点、在解题中渗透、在实践中强化该思想，让一切教学开展有章法可循，不能急于见到成效。笔者在文中提及的策略具有一定实践意义，希望能对初中数学的相关教学起到借鉴作用，也希望随着人们对数学思维的纵深研究，能有更多、更好的教学方法涌现。