■江苏省江都中学 俞 新

2019年高考解三角形主要围绕“三角形中的隐含条件、正余弦定理、三角形的面积公式、三角变换、三角形中的最值与范围”等热点问题展开的，凸显目标意识下的“等价转化”思想的具体应用。

一、利用三角形中的隐含条件和正弦定理求解三角形

例1(2019年高考全国Ⅱ卷文15)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c。已知bsinA+acosB=0，则

解析：边角满足齐次式，根据正弦定理把边化为角，利用辅助角公式化为一个角的三角函数，结合角的隐含条件定角。由正弦定理，得sinBsinA+sinAcosB=0。因为A，所以，得sinB，所以，所以故选D。

品味：在△ABC中外接圆半径)，已知两边和一角或已知两角和一边，利用正弦定理可以求出其他的边和角。如果遇到等式中含有角的正弦或边的一次式或二次时，用正弦定理“边化角化为一个角的三角函数求解”；注意A+B+C=π这个隐含条件，用诱导公式可以降元或变名称。

二、利用三角变换和余弦定理求解三角形

例2(2019年高考北京卷文15)在△ABC中

(1)求b，c的值；

(2)求sin(B+C)的值。

解析：(1)借助余弦定理构建方程代入已知条件求b，c的值。由余弦定理可得cosB，因为a=3，代入化简整理得c2-b2+3c+9=0。因为b-c=2，所以b=c+2，代入解得

(2)注意内角和这个隐含条件，借助余弦定理求解。由(1)知a=3，b=7，c=5，所以因为A为△ABC的内角，所以所以

品味：三角形中的三角变换主要涉及和差角公式、诱导公式和同角关系的应用等，关键在于合理选择正余弦定理变角化统一。已知三边(即S S S)或两边及一角(即S A S、S S A)时常使用余弦定理，其中已知S A S时，直接使用余弦定理；已知S S A时，既可用正弦定理，也可用余弦定理。如果式子中含有角的余弦或边的二次齐次式时，常常借助三角形面积和余弦定理沟通a+c、a c、a2+c2、b之间的关系。

三、正余弦定理联合使用求解三角形

例3(2019年高考江苏卷15)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c。(1)若，求c的值；(2)若，求的值。

解析：(1)利用余弦定理构建关于c的方程求根。因为，由余弦定理，即，所以

(2)结合正弦定理和同角三角关系求得cosB，再利用诱导公式求解。因为，由正弦定理所以从而cos2B=(2 sinB)2，即cos2B=4(1-cos2B)，故cos2B因为sinB＞0，所以cosB=2 sinB＞0，从而因此

品味：有关解三角形的问题，涉及正余弦定理、同角三角函数关系式、诱导公式等的灵活应用，在解题的过程中，要时刻关注题设条件和目标意识，合理寻求简捷的途径，如(2)中由cosB=2 sinB可求得t a nB=2，所以

四、三角形面积与正余弦定理的交汇

例4(2019年高考全国Ⅱ卷理15)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c。若，则△ABC的面积为

解析：应用余弦定理和题设，建立关于c的方程求a，c，应用三角形面积公式计算。由余弦定理得b2=a2+c2-2a ccosB，所以，即c2=12，解得(舍去)，所以a=2c=，所以

品味：最常用的三角形面积公式有S=B，因为公式中既有边又有角，最容易和正余弦定理联系起来解决问题。

五、三角形中的三角变换

例5(2019年高考天津卷文16)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c。已知b+c=2a，3csinB=4asinC。

(1)求cosB的值；

解析：(1)利用正弦定理和题设得到三边比值，用余弦定理求角。在△ABC中，由正弦定理，得

又因为b+c=2a，得到

(2)利用二倍角公式、和差角公式及同角关系求三角函数值。

品味：高考中经常将三角变换与解三角形综合起来命题，关键是正余弦定理的灵活应用，涉及的三角变换主要是“变角、变函数名和变运算结构”，核心是“变角”，弥补角之间结构差异的依据就是三角公式。