李志璇

【摘 要】初中数学中将军饮马模型是一种以对称转化线段的思想，能够解决动点到定点的距离之和的最小值问题。由于其多变性，在考试命题中，其常常与函数图像、几何图形相结合，考察学生的综合思维能力以及计算能力。本文从最基础的将军饮马模型出发，归纳总结了其特征，罗列了其多种变形模型，并梳理了模型的教学重点。

【关键词】将军饮马;动点;线段最值

【中图分类号】G633.6  【文献标识码】A  【文章编号】1671-8437（2019）22-0172-03

近年来，随着社会经济的进步，我国的教育事业正在经历一场深刻的变革[1]。在中考数学命题中，结合了几何图形、函数与动点，全面考察学生运用知识的能力，逻辑思维能力、思维发散能力等综合性大题越发受到命题者的青睐。就笔者所在的成都市而言，自2008年至2018年，每年中考数学试卷压轴大题无一例外均是这一类型的题目。在福建省[2]、浙江省[3]、湖北省[4]等多地的中考命题中，也将这一类型的题目作为考察学生综合运用知识，分析探索问题的重要手段。而在诸多类型的动点问题中，将军饮马模型因其多变性而考频极高。

尽管将军饮马模型的思想可以巧妙地结合于函数图像和几何图形之中，产生多种变形情况，同时其特征明显，易于识别归纳，求解思路相通。因此，学生只要能够掌握将军饮马模型的基础模型以及其主要的变形形式，便可轻松识别并解答该类题目。

1   基础模型

将军饮马问题最早源于古罗马：将军每日需从军营A出发，先到河水l处让马饮水，后去位于河对岸的军营B，那么将军在何处饮马才能使路程最短（图1①）？在此问题中，由于两点之间线段最短，则线段AB与直线l的交点即为最佳的饮马位置（图1②）。此时将军需要走过的路程即为A、B军营之间的距离。

而若A、B军营的位置发生变化，由位于河水l两侧变为同侧时，问题则转变为在直线l的同一侧有定点A、B，在直线l上有动点M，求M运动到何处时，AM+BM有最小值（图2①）？

由于线段AB不再与直线l相交，无法直接使用两点间线段最短的知识解决问题，此时需要引导学生对比图1与图2的异同，设法将A、B位于河水同侧的未知情况转化为A、B位于河水异侧的已知情况进行求解。而二者之间转化的方法即为对称：通过作A点关于直线l的对称点（图2②），由于，则可将AM+BM的值转化为的值。此时依据线段公理即可得到当M运动至与直线l的交点位置时，AM+BM取得最小值。

在基础模型中，重点需要让学生掌握将军饮马模型的特征以及求解思路。模型的特征可以概括为“点、线、最值”。其中“点”表示模型中存在动点及定点;“线”表示动点的运动轨迹为直线;“最值”表示模型求解的问题为线段的最值问题。当这三个要素在题目中同时出现时，则可以套用该模型的思路进行求解。而模型的求解方法则是通过对称的方法转化线段，最终利用线段公理找出最佳“饮马”位置。

2   模型变形

除了将军饮马的基础模型之外，该模型还存在多种变形，它们同样具备“点、线、最值”的要素，需要学生

掌握。

2.1  一定点两动点

如图3①，在∠AOB中有定点P，在射线OA、OB上分别有动点M、N，则当M、N运动至何处时MPN的周长最小？

图3  基础模型变形—两动点一定点

教学过程中，在学生仅掌握了基础模型只有一个动点的情况下，可以引导学生先将其中一个动点视为定点固定不动，将两个动点的情形转化为已知的一个动点的情况进行思考，进而得出分别关于两个动点的运动轨迹作定点P的对称点，将三角形周长的三边转化为到的距离的思路。

求解该题，需分别关于OA、OB作P点的对称点、（图3②）。由于且，则可将MPN的周长PM+MN+NP转化为，此时，依据线段公理即可知当M、N分别运动至、的位置时MPN的周长取得最小值。

在该题中，可以进一步发现，作对称点的本质是线段的转化。在图3①中，PM、PN、MN三条线段均位于两条运动轨迹的同侧，而通过对称的方法，得到的、、MN三条线段则是分别位于两条运动轨迹的不同侧，此时才可以利用线段公理成功求解问题。即作对称的过程就是要将问题中的线段分别转化到运动轨迹的不同侧。

2.2  两定点两动点

如图4①，在∠AOB中有定点P、Q，在射线OA、OB上分别有动点M、N，则当M、N运动至何处时四边形MPQN的周长最小？

图4  基础模型变形—两动点两定点

初看之下，该题是求解四条线段的和的最小值。但不难发现，线段QP的长度为定值，那么该问题的实质仍是PM、MN、NQ三条线段的和的最小值。与一定点两定点的情况相比，该问题的难点在于当同时有多个运动轨迹和多个定点时，如何确定每个定点对应的对称轴。此时需抓住在前一模型中得出的结论“作对称的过程就是要将问题中的线段分别转化到运动轨迹的不同侧”。图4①中，需要转化的线段为PM、BQ。为了保证对称后的线段仍是首尾相连，则只能将点P关于OA对称，将Q关于OB对称。也即作定点关于与其相连接的动点的轨迹的对称点。

解答该題，需分别作P、Q关于OA、OB的对称点、，将四边形MPQN的周长PM+MN+NQ+PQ转化为，依据线段公理即可知当M、N分别运动至、的位置时四边形MPQN的周长取得最小值。

2.3  两动点相对位置固定

如图5①，在直线l一侧有定点P、Q，在直线l上有动点M、N，且MN长度为a，则当M、N运动至何处时，线段AM+MN+NB的和取得最小值？

图5  基础模型变形—两定点相对位置固定

该题中，由于线段MN的长度固定，因此，求AM、MN、NB三条线段的和的最小值实则是求AM和NB两条线段的和的最小值，这就与将军饮马基础模型的情况相似。而与基础模型相比，其差异在于基础模型中只有一个动点，要求解的线段首尾相连，而此题中有两个运动轨迹相同，距离固定的两个动点，使得实际要求解的线段AM和NB并未相连，无法直接将线段的和转化为两点间的距离，但M、N两点的相对位置是固定的，也即线段MN的长度与方向固定。那么，可以通过平移其中一个定点，则可以排除线段MN的影响，进而套用基础模型的方法进行求解。

首先应将点A沿与直线平行的方向平移长度a得到，将要求解的线段转化为。即将问题转化为了将军饮马基础模型，只需作B点关于直线l的对称点，连接与直线相交于点，再将点向左平移长度a可得，则当M和N分别运动到点和点的位置时，AM+MN+BN的和取得最小值。

这个模型的关键在于发现线段MN并不会对三条线段的和的结果产生影响，并通过平移的方法将实际要求解的线段首尾相接，从而符合基础模型的特征得以求解。

2.4  线段差的最值

如图6①，在直线一侧有定点A、B，在直线上有动点M，则M运动到何处时|PA-PB|取得最大值？M运动到何处时|PA-PB|取得最小值？

图6  基础模型变形—线段差的最值

考虑线段的差的最大值问题时，需结合三角形的三边关系进行思考。M在直线上运动，只要M不在直線AB上时，则A、B、M三点定会组成ABM。而在三角形之中，由于两边之差必小于第三边，因此|PA-PB|

而对于|PA-PB|的最小值，由于绝对值符号的存在，|PA-PB|≥0。因此，当且仅当PA=PB时，|PA-PB|取得最小值0，此时M位于线段AB的中垂线与直线l的交点位置。

求解|PA-PB|的最大值，需延长线段AB与直线交于点（图6②），此时|PA-PB|=AB，取得最大值。求解|PA-PB|的最小值，则需作线段AB的中垂线与直线交于点（图6③），此时PA=PB，|PA-PB|取得最小值0。

在这一模型中，需要求解的问题由线段之和的最小值变为了线段之差的最大值和最小值。而求解的思路也由利用对称转化线段求解变为利用三角形的三边关系求解。因此需要学生掌握的是在实际题目中能够依据需要求解的问题选择恰当的解题思路。

3   典型例题

在初中数学中总结模型的意义在于当面对复杂的题目时，学生能够在纷繁的条件和图形中识别出已知模型的特征，从而在解题时有章可循、有法可依，不仅可以训练学生的逻辑思维能力，还可以大大提升解题效率。因此，在面对复杂题目时，能够迅速准确地识别出典型模型的存在则尤为重要。这就需要学生在充分掌握模型特征的基础上有足够的练习。以下是将军饮马模型及其变形情况的典型例题。

如图7①，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为____cm（杯壁厚度不计）。

图7  将军饮马基础模型例题

解析：将圆柱体侧面展开为图7②中的矩形，则问题转化为蚂蚁从A处出发，先到达QR边上点M处后再到达B点的最短路径。其中A、B两点即为定点，蚂蚁由外壁进入内壁的位置，也即QR边上M点的位置为动点，QR边则为动点的运动轨迹。符合将军饮马模型基础模型的特征。因此，可作A点关于直线QR的对称点，连接，则当M运动至与QR的交点处时蚂蚁走过的路径最短。最短路径长度。

如图8①，∠AOB=30°，OC=5，OD=12，点E、F分别是射线OA、OB上的动点，求CF+EF+DE的最小值。

图8  两定点两动点模型例题

解析：该题中，C、D为定点，E、F为动点，OA、OB分别为E、F的运动轨迹，符合两定点两动点的模型特征。定点C与动点F相连接，则作点C关于F的运动轨迹OB的对称点，将线段CF转化为。同理作点D关于OA的对称点，将线段DE转化为。则，其最小值即为线段的长度。由于，则，

如图9①在东西向河流的两侧分别有城市A和城市B，两市距河岸的距离分别为50m和70m，A、B两市东西间距50m，河水宽20m。为了交通方便，现欲修桥。由于要节约成本，桥只能垂直河岸修建。那么由A市到B市的最短交通距离是多少米？

图9  两动点相对位置固定模型例题

解析：该题中，城市A、城市B的位置固定，为定点，修桥位置M、N为动点。由于河宽一定，且桥必须与河岸垂直，则M、N的相对位置固定。题目实质寻求的是AM+MN+NB的最小值。如图9②，可将A点沿与MN平行的方向平移至处，使得，此时，需要求解的线段则转化为了，而由于长度固定，则仅需求得的最小值情况。因此，的长度即是由A市到达B市的最短距离。。

【参考文献】

[1]曾真.浅谈初中班级自主管理建设[J].教育现代化，2018（44）.

[2]陈智敏.初中几何最值问题解法探究[J].科教文汇（下旬刊），2014（5）.

[3]郑妤.初中数学动点型几何问题的教学实践研究[D].杭州师范大学，2015.

[4]彭峻峰.初中数学中的几个最值模型初探[J].科教文汇， 2014（27）.