摘要：在分数化小数问题上，虽然可以利用同余工具求所化成的循环小数的循环节长，但若结合欧拉函数，则可能会事半功倍。本文以纯循环小数为例，阐述了如何借助欧拉函数巧求循环节长。

关键词：欧拉函数;分数;循环小数;循环节长

一、问题概述

众所周知，分数化小数时，所化成小数的类型、位数、循环节长（即循环节的位数），也可以不通过“分子除以分母的结果”得知。对于最简真分数[ab]来说，依据分母的数字特征和同余工具便可以知道它能化成哪一类小数以及小数的位数或循环节长：

（一）当blength skillfully

K与10互质即（b，10）=1时，[ab]可化成无限纯循环小数，且纯循環小数的循环节长是满足[10x≡（mod    b）]的最小正整数[x]。

（二）当b与10不互质时，[ab]可化成有限小数或无限混循环小数：

（1）若[b=2α5β] （[α，β]是非负整数），则[ab]可化成有限小数，且有限小数的位数是[max（α，β）]。

（2）若[b=2α5β]k（[α，β]是非负整数，[k]与10互质，[k]>1），则[ab]可化成无限混循环小数，且混循环小数的循环节长是满足[10x≡1（mod    k）]的最小正整数[x]，小数点后不循环部分的位数是[max（α，β）。]

这里，值得探讨的是循环节长度问题。仅以纯循环小数为例，虽然满足[10x≡1（mod    k）]的最小正整数[x]就是最简真分数[ab]所化成小数的循环节长，但在具体寻找那个“最小正整数”时，有时会非常繁琐，因为可能需要逐一考查地寻找。例如[151]，难以一下子就找到那个满足[10x≡1（mod    51）]的最小正整数[x]，若从小到大逐一考查，则需考查如下16个同余式子，甚是麻烦。

二、欧拉函数的妙用

对于上述问题，若借助欧拉函数，则可缩小考查范围、事半功倍！所谓欧拉函数就是以正整数b为自变量、不超过b的正整数中与b互质的数的个数为因变量的函数，记作[φ]（b），设b的标准分解式为[b=p1α1p2α2…pnαn]，（[p1，][p2，…pn]为相异质数，[α1，α2…αn]为正整数），可以证明[φ]（b）=[p1α1-1p2α2-1…pnαn-1（p1-1）（p2-1）…（pn-1）] .

三、结语

在循环节长度问题上，尽管欧拉函数可以缩小排查范围、提高效率，但并不是说利用欧拉函数就一定方便！对于有些最简分数来说，我们很容易发现那个满足[10x≡1（mod    b）]的最小正整数x，如果还用欧拉函数来找，则“画蛇添足”。例如[299]，很容易发现满足[10x≡1（mod    99）]的最小正整数是x=2，即[299]化成小数后循环节长为2（当然也可直接相除），若用欧拉函数反倒麻烦。故本文的“妙用”只是对某些分数而言的（相应小数的循环节比较长且[φ（b）]的正因数易求）。

作者简介：

毕文玲（1974-），男，河南南阳人，主要从事师范教育研究。