张宇甜

【中图分类号】G633.26       【文献标识码】A

【文章编号】2095-3089（2019）16-0291-01

某些数列压轴小题常让学生看不清题目的真面目，从而无法下手。通过层层递进的变式题，由浅入深，让学生逐渐掌握此类问题的解决方法。

例：已知数列{an}满足a1=-1，a2n-a2n-1=22n-1，a2n+1-a2n=-22n，则a10_______.

解析：由已知得a2-a1=2，a3-a2=-22，a4-a3=23 ，a5-a4=-24， …，a9-a8=-28;a10-a9=29;累加得a10-a1=2-22+23-24+…-28+29=〖SX（〗2[1-（-2）9]〖〗1-（-2）〖SX）〗=342，所以a10=341.

变式1：设Sn是数列{an}的前n项和Sn=（-1）nan-〖SX（〗1〖〗2n〖SX）〗，n∈N*则

（1）a3=;（2）S1+S2+L+S100=.

变式2：已知数列{an}满足a1=-〖SX（〗1〖〗2〖SX）〗，an+1bn=bn+1an+bn，且bn=〖SX（〗1+（-1）n·5〖〗2〖SX）〗（n∈N*），则当数列{an}的前2n项和S2n取得最大值时n的值为.

解析：由已知得bn=〖JB（{〗-2，n為奇数3，n为偶数〖JB）〗，由an+1bn=bn+1an+bn，当n=2k-1（k∈N*）为奇数时，-2a2k=3a2k-1-2，当n=2k（k∈N*）为偶数时，3a2k+1=-2a2k+3，所以3a2k+1=3a2k-1+1，得a2k+1-a2k-1=〖SX（〗1〖〗3〖SX）〗.因此数列{a2k-1}成公差为〖SX（〗1〖〗3〖SX）〗，首项为-〖SX（〗1〖〗2〖SX）〗的等差数列.所以∑〖DD（〗n〖〗k=1〖DD）〗a2k-1=-〖SX（〗1〖〗2〖SX）〗×n+〖SX（〗n（n-1）〖〗2〖SX）〗×〖SX（〗1〖〗3〖SX）〗=〖SX（〗n2〖〗6〖SX）〗-〖SX（〗2n〖〗3〖SX）〗.同理可得：a2k+2-a2k=-〖SX（〗1〖〗2〖SX）〗.因此数列{a2k}成公差为-〖SX（〗1〖〗2〖SX）〗，首项为〖SX（〗7〖〗4〖SX）〗的等差数列.所以∑〖DD（〗n〖〗k=1〖DD）〗a2k= 〖SX（〗7〖〗4〖SX）〗×n- 〖SX（〗1〖〗2〖SX）〗× 〖SX（〗n（n-1）〖〗2〖SX）〗=- 〖SX（〗n2〖〗4〖SX）〗+2n.从而S2n= 〖SX（〗n2〖〗6〖SX）〗- 〖SX（〗2n〖〗3〖SX）〗- 〖SX（〗n2〖〗4〖SX）〗+2n=- 〖SX（〗n2〖〗12〖SX）〗+ 〖SX（〗4n〖〗3〖SX）〗=- 〖SX（〗1〖〗12〖SX）〗（n-8）2+ 〖SX（〗16〖〗3〖SX）〗.当n=8时，数列{an}的前2n项和S2n取得最大值 〖SX（〗16〖〗3〖SX）〗，所以n=8.

以上变式题，已知条件相似，但难度渐增，可以提高学生联想，分析，解决问题的能力，以培养学生逻辑推理的素养。