李瑞喜

【摘要】随着社会经济的发展，人们逐渐对教育提出了更高的要求，不仅体现在学生的学习方法上，还体现在教师的教育思路上。本文从教师教学所需要的数学知识（MKT）角度对零点进行分析，以期寻求新的教学模式，进而加快教育的改革与发展步伐，提高学生的思维能力与创新能力。

【关键词】MKT;教育改革;零点

零点是人教版必修一中第三章的教学内容。陈旧的教育方式具有难、繁、偏、旧等问题，已不适合现代教育及学生的身心发展，于是新型的教育方式应运而生。教师要学会在Mathematical Knowledge For Teaching（以下简称MKT）视角下对教育方式进行研究，以便于协助学生构建新的知识框架。

一、“晨曦”MKT理论的光辉

1986年美国教育学家舒尔曼提出教学内容知识（Pedagogical Content Knowledge）理论，简称PCK，随后Ball及其团队从基础教育的实践中出发，对教师教学知识进行测量、分析和分类，形成了一套有关教师用于教学数学知识的理论体系，简称MKT。

二、“余晖”下的零点

本节主要内容是在教师MKT视角下用函数的图像及其基本的性质来探讨零点的存在性和研究性。其中MKT视角下的零点包括SMK（学科知识）——CCK（一般性内容知识）、HCK（横纵向内容知识）、SCK（专业性内容知识）和PCK（教学内容知识）——KCT（教学知识与内容）、KCS（学生与教学内容）、KCC（课程与教学内容）。

1.基础的CCK

CCK指的是一般性内容知识。在本阶段，学生要对函数图像、性质以及零点与其相互之间的转化有所了解，要掌握零点的“纯”数学知识，同时，教师必须能熟练使用函数图像和数学语言解决零点问题。在本节课，教师要明白零点是如何定义的，还要明白如何把它转化成两个函数图像交点的问题。

2.专业的SCK

SCK指的是教师为了教学的需要，要掌握更加专业的数学知识，能够将前后知识衔接起来，保证自身知识储备量远大于上课所需要的内容，以便于准确地解释学生的错误，分析学生错误的本质，为常规和非常规问题寻找合适的解决办法。本节课，学生的易错点主要集中于以下几方面：①零点的概念不清晰;②零点的两种求法（二分法和图像法）理解不到位;③学生作图不标准，转化不恰当，缺乏灵活应用所学知识的能力，无法将函数图像与零点有效地衔接起来。例如，函数的零点是多少？部分学生直接让 f（x）=0 后进行计算，最后发现出现三次方程，导致难以进行下一步计算;还有部分学生采用二分法不断细分零点的范围，但有时候也是无功而返。以上情况出现的原因是学生对于零点的理解不到位，没有进行多角度的思考分析。其实，这道题可以将 f（x） 拆分成 g（x）=x2+1和，则 f（x） 的零点就是 g（x） 与 h（x） 图像交点的横坐标。由于学生对于二次函数 f（x） 图像和反比例函数图像比较熟悉，所以可以通过作图判断出交点的范围及坐标，这样就能比较简单地判断出零点的值。学生出现错误的实质是他们对概念的理解不到位，没有将相关的知识衔接起来，所以教师要培养学生的思维能力、创造能力，引导他们对疑难问题进行判断和解决。

3.渊博的HCK

HCK指的是横纵向内容知识，在新的思维角度下研究零点的发展，帮助学生将前后内容衔接起来，构建新的知识框架。从横向角度看，零点的产生主要是通过对函数图像与x轴交点横坐标进行分析所产生的，先是在必修一的第一、二章对函数的图像性质及方程进行分析讨论，随后由于学习的需要，零点的概念应运而生，所以教师要精通函数、方程和零点的相互转化，引导学生进行探究。从纵向角度分析，零点的产生不仅应用到了二维的图像，还与三维空间紧密结合，同时将直接求零点的问题转化成求两个函数交点的问题，这种思维的转变需要教师积极的引导，协助学生构建新的知识框架，提高学生的学习兴趣和思维能力。

4.以学生为核心的KCS

KCS是指學生与内容知识，它要求教师必须对学生有所了解，不仅要了解他们的学习方式、身心发展，还要关心他们的家庭教育和生活环境，以便更好地引导学生建构属于自己的知识框架，对有关零点的误区和迷惑的地方及时地进行指点。本节课的主要误区有以下几个方面：①零点为什么不是点呢？②什么时候将函数 f（x） 的零点转换成 g（x） 和 h（x） 的交点更加方便？教师要明白学生的认知水平，要以引导者的身份帮助学生解决困惑，走出误区，多角度地分析学生与教学的衔接工作，打造以学生为核心的教育新模式。

5.知识海洋KCT

教师的KCT所代表的内容与教学知识能够与学生的思维方式有效地结合起来，同时对于不同的内容有不同的表达方式，能够判断出课程的导入是否符合教育的标准，是否能够将前后知识联系在一起，通过不同的表达方式引入“零点”新知识，帮助学生架起知识的大桥。对零点的导入有两种方法，导入一：① f（x）=x+1与x轴的交点是什么;② f（x）=x2-1与 x 轴交点是什么;③零点概念;④ f（x）=ex+x2-1的零点是什么？导入二：① f（x）=x+1与x轴的交点是什么;② f（x）=x2+2x-3与 x 交点是什么？h（x）=x2 与 g（x）=-2x+3 的交点是什么;③上述问题有什么联系;④零点概念。上述两种导入方法都是通过计算函数与 x 轴的交点，将零点进行概念转化，从而帮助学生理解零点的实际含义，不过两种导入方法在第二步开始有了差别，导入一是在一次函数的基础上进行二次函数交点的研究，从而得出零点的概念，但 f（x）=ex+x2-1与 x 轴的交点难以进行直接计算，导致学生不能真正掌握零点的几何含义;而导入二是在第二步中对二次函数与 x 轴交点进行了直接分析，转化成新函数交点分析的两种方法，从而帮助学生多角度地构建有关零点的思维方式。

6.回归课堂KCC

KCC指的是课程与内容知识，将教师的CCK、SCK、HCK、KTC、KCS真正地融入课堂。教师不仅要熟练地掌握教材，还要懂得与教材相关的数学史，以便于从横向、纵向角度将零点的概念、几何含义及转化方法联系起来，以学生最近发展区为根基，选择恰当的教材，构建新的知识框架。从横向角度考虑，教师要明白在对物体运动图像的研究中，零点的作用尤为重要;从纵向角度考虑，教师一定要清晰地认识到零点在高中教材中的教学目标和要求。教师不仅仅要引导学生学习零点的知识，更重要的是培养学生的思维能力和创造能力，发掘学生的潜能，为21世纪新的教育改革贡献一份力量。

三、结语

本文紧随课程改革大方向，为了加快推进教育的发展变革，以MKT为理论框架，选取高中数学知识点——“零点”，对其教学设计中MKT的各种成分进行分析和探讨，以选取真正适合学生身心发展及认知水平的内容和教法，从教师的MKT视角下认识“师范性”零点，以达到协助学生理解并掌握相关基础知识的目的。

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