汤华英

新课程标准明确指出，高中数学学科核心素养包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析，高中的新授课在高二基本上完成，学生的数学核心素养水平已经有了阶段性的达成，高三的复习课是核心素养连续性﹑整合性发展的关键时期。因此，在高三的复习课中创设合适的教学情境，提出合适的数学问题，寻找解决问题的通性通法，使学生的数学核心素养在情境和问题的互动中得到快速提升，显得尤为重要和迫切。

一、创设合适的教学情境，提出合适的数学问题

本学期初，笔者参加市教育局组织的一次高三一轮备考研讨课活动，主讲老师的课堂内容是《二次函数》，在讲解二次函数的单调性问题时，给学生设置了这些问题：

例1：已知函数f（x）=x2+2ax+3，若y=f（x）在区间[-4，6]上是单调递增函数，则实数a的取值范围为__________。

变式1：已知函数f（x）=x2+2ax+3，若 y=f（x）在区间[-4，6]上是单调递减函数，则实数a的取值范围为__________。

变式2：已知函数f（x）=x2+2ax+3，若y=f（x） 在区间[-4，6]上是单调函数，则实数 a的取值范围为__________。

变式3：已知函数f（x）=x2+2ax+3，若 y=f（x）在区间[-4，6]上不是单调函数，则实数a的取值范围为__________。

在师生共同完成上面例题加三个变式之后，老师总结为：讨论二次函数的单调性问题，只需抓住对称轴与所给定义域的关系。然后，又设置了一个例题。

例2：求函数f（x）=x2-2x+2在区间[t，t+1]上的最小值。

遗憾的是，学生冥思苦想，不知如何下笔，问题出在哪呢？两个例题和三个变式所创设的数学情境充分体现了二次函数所蕴含的数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养，提出的数学问题也是自然的，从简单到较复杂，从课堂效果来看，学生对函数含参单调性问题有畏难心理。首先，要帮助学生树立信心；其次，高三的备考容量大﹑内容多﹑时间紧，在解决数学问题时，应寻找解决这类问题的通性通法。因此，高三复习课的教学除了教纯粹的数学知识，还要教研究此类问题的方法和策略，前者是基础，后者有助于提升学生的核心素养。

二、关注主题教学，重视通性通法

函数是高中数学的一个主线内容，学生在初中就有学习，而且有直观感受，如利用二次函数的图象求最值。在高中继续学习二次函数，其一是为学习其它类型函数做铺垫，较好地衔接初、高中函数的内容，其二是它具有单调性，对称性，最值等性质，研究这些性质的方法，可以类比去研究其它函数。所以，在研究二次函数时，要选择能够體现数学本质的﹑适用范围更广的方法。

譬如前面两个例题，表面上感觉不同，第一个例题函数f（x）是含参的，区间是确定的；第二个例题函数f（x）是确定的，区间是含参的，但它们的共同点都与函数在给定区间上的单调性有关，解决这类数学问题可按以下步骤进行。

第一步：求出所给函数f（x）的单调区间（不管函数是否含参）；第二步：对所给区间是增区间，减区间，有增有减进行分类讨论；第三步：所给区间怎样才会是增区间，减区间，有增有减，只需考虑所给区间与第一步中求出的函数f（x）的单调区间之间的包含关系，把单调性问题转化为集合之间的包含关系，得到解决这类问题的程序思想方法，具体解题步骤如下。

例如，第一个例题，先求f（x）=x2+2ax+3的单调区间，f（x）开口向上，对称轴x=-a，∴f（x）在（-∞，-a]上单调递减，在[-a，-∞）上单调递增，∵[-4，6]上是单调递增区间，∴[-4，6]要成为[-a，+∞）的子区间，∴-4≥-a，即a≥4。

这种程序思想方法同样适用上面三个变式和第二个例题，例如求解例2，第一步：先求f（x）=x2-2x+2的单调区间，f（x）开口向上，对称轴x=1，∴f（x）在（-∞，1]上单调递减，在[1，+∞）上单调递增，第二步，对所给区间[t，t+1]分类讨论，当[t，t+1]为增区间时，第三步，只需[t，t+1]为[1，+∞）的子区间，即t≥1时，f（x）min=f（t），当[t，t+1]为减区间时，即t+1≤1时，f（x）min=f（t+1），当[t，t+1]先减后增时，即t≤1≤t+1时，f（x）min=f（1）。显然，这种方法具有一般性，特别是，类比上面求解二次函数含参单调性解题过程，还可解决其它函数的相关问题。

例：（ 年新课标全国Ⅰ卷理科·21）已知函数 ，g（x）=-1nx。

当a为何值时，x轴为曲线y=f（x）的切线；

用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数h（x）=min{f（x），g（x）}（x>0），讨论h（x）零点的个数。

分析：第（1）问略，第（2）问：①当x∈（1，+∞）时，g（x）=-1nx<0，

∴h（x）=min{f（x），g（x）}≤g（x）<0，∴h（x）在（1，+∞）上无零点。

②当x=1时，g（1）=0，而 ，若 ，则 ，

∴h（x）=min{f（1），g（1）}=g（1）=0，∴x=1是h（x）的一个零点。若 ，

则f（1）<0，∴此时h（x）=min{f（1）， g（1）}=f（1）<0，∴此时x=1不是h（x）的零点。当x∈（0，1）时，∵g（x）=-1nx>0，∴只需考虑f（x）在（0，1）的零点个数。本题函数f（x）的解析式是含参的，区间（0，1）是确定，与这次研讨课的题型一样，也是先求出函数f（x）的单调区间，再对给定的区间是增区间，减区间，或有增有减来分类讨论，再转化为区间的包含关系，也是用上面的程序思想方法。

解：③当x∈（0，1）时，g（x）=-1nx>0，所以只需考虑f（x）在（0，1）的零点个数，∵ f'（x）=3x2+a，当a≥0时， 在f'（x）>0上恒成立，∴f（x）在（0，1）上单调递增，又∵ ，∴此时f（x）在（0，1）上没有零点。当a<0时，令f'（x）=3x2+a=0，得 ，由f'（x）>0，得 或 ，由f'（x）<0，得 ，考虑到给定区间是（0，1），∴f（x）只需考虑 这个减区间和 这个增区间，第一步完成。

第二步，对（0，1）区间分类讨论：当（0，1）为减区间时。