2019年4月号问题解答

(解答由问题提供人给出)

2476已知a,b,c≥0,a+b+c=3,求证:

4≤a2+b2+c2+abc≤9.

(陕西省咸阳师范学院基础教育课程研究中心 安振平 712000)

证明先证左不等式

a2+b2+c2+abc≥4.

不妨设a=min{a,b,c},则0

a2+b2+c2+abc-4

故a2+b2+c2+abc≥4.

再证右不等式

a2+b2+c2+abc≤9.

只要证明

a2+b2+c2+6abc≤9，

这等价于

(a2+b2+c2)(a+b+c)+18abc≤(a+b+c)3,

等价于

a3+b3+c3+(a2b+b2c+c2a)

+(ab2+bc2+ca2)+18abc

≤a3+b3+c3+3(a2b+b2c+c2a)

+3(ab2+bc2+ca2)+6abc,

等价于

(a2b+b2c+c2a)+(ab2+bc2+ca2)≥6abc,

这用6元均值不等式知显然成立，

即有a2+b2+c2+abc≤9.

综上，便有4≤a2+b2+c2+abc≤9.

2477求证：在(a+b)n(n∈N*)的展开式中有2s(n)个系数为奇数.其中s(n)是n在二进制表示中的数字和.

(湖北省谷城县第三中学 贺 斌 龚为民 441700)

证明设n的二进制表示为

n=(al,al-1,…,a1,a0)，

即n=al×2l+al-1×2l-1+…+a1×2+a0，

则易知n!中2的次数为

α=(al,al-1,…,a1)+(al,al-1,…,a2)+…+(al)

=al×(2l-1+2l-2+…+1)+al-1

×(2l-2+2l-3+…+1)+…+a1

=al×(2l-1)+al-1×(2l-1-1)

+…+a1×(21-1)

=n-s(n).

n-s(n)-(k-s(k))-(n-k-s(n-k))

=s(k)+s(n-k)-s(n).

2478已知如图1，五边形ABCDE内接于⊙O，且BC=DE，∠EAB=120°. 求证：

AC·AD≤(AB+AE)2.

(北京市芳草地国际学校富力分校 郭文征 郭璋 100121)

图1

图2

证明如图2，连接CE，连接BE交AD于点G.

因为BC=DE，

所以∠EAC=∠BAG.

因为E、A、B、C四点共圆，

所以∠ECA=∠ABE，

所以△ACE∽△ABG，

⟹AB·AE=AC·AG

=AC·(AD-DG)

=AC·AD-AC·DG.

⟹AC·AD

=AB·AE+AC·DG.

①

因为A、C、D、E四点共圆，

所以∠EDA=∠ECA.

所以∠DEB=∠EAC.

从而△DEG∽△CAE.

⟹AC·DG=DE·CE

⟹AC·DG=BC·CE.

②

由①、②两式可得

AC·AD=AB·AE+BC·CE.

③

在△ECB中，由余弦定理得

BE2=BC2+CE2-2BC·CE·cos ∠ECB

⟹BE2=BC2+CE2-2BC·CE·cos 60°

⟹BE2=BC2+CE2-BC·CE

⟹BE2≥2BC·CE-BC·CE

⟹BE2≥BC·CE.

④

在△EAB中，由余弦理得

BE2=AB2+AE2-2AB·AE·cos ∠EAB

⟹BE2=AB2+AE2-2AB·AE·cos 120°

⟹BE2=AB2+AE2+AB·AE.

⑤

由④、⑤两式得

BC·CE≤AB2+AE2+AB·AE.

⑥

由③、⑥两式得

AC·AD≤AB2+AE2+2AB·AE，

所以AC·AD≤(AB+AE)2.

由∠EAD=∠BAC可知AC、AD为∠EAB的内等角线，当且仅当∠EAB的内等角线AC、AD重合为∠EAB的平分线时，不等式中的等号成立.

(浙江省海盐县元济高级中学 张艳宗 314300；北京航空航天大学图书馆 宋庆 100191)

证明

(浙江省慈溪市慈溪实验中学 华漫天 315300)

证明设E(acosα,bsinα)，F(acosβ,bsinβ)，

则直线EF解析式为

得直线OP解析式为

同时直线AE解析式为

同理可得

显然，欲证OG=OH，只须证xH=-xG

⟺sin2α-sinαsinβ-sinαcosβsin(α-β)

=sinβcosαsin(α-β)-sinβsinα+sin2β

⟺sin2α-sin2β=sinβcosαsin(α-β)+sinαcosβsin(α-β)

显然成立，得证.

2019年5月号问题(来稿请注明出处——编者)

2481设a,b,c>0,证明

(安徽省六安第二中学 陶兴红 237005)

(安徽省枞阳县宏实中学 江保兵 246700)

2483在△ABC中，求证：

(四川成都金牛西林巷18号晨曦数学工作室 宿晓阳 610031)

(河南省方城县教研室 邵明宪 473200)

2485在△ABC中,设a,b,c,ha,hb,hc,R分别为三边长、三个高线长及外接圆半径,指数p为正数,求证