程 华

(咸阳师范学院数学与信息科学学院 712000)

2014年4月教育部颁布《关于全面深化课程改革，落实立德树人根本任务的意见》以来，指向学科素养的教学变革迅速展开，培育学生的核心素养成为推进教育改革的重要内容.数学核心素养是指通过数学学习而逐步形成的具有数学特征的关键能力、必备品格与价值观念.2018年1月新颁布的《普通高中数学课程标准(2017版)》明确提出了6大数学核心素养，即数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析[1].核心素养落地的根本保障是数学教师的专业能力，当前，中学教师数学核心素养的培育都存在哪些问题与困难？培育核心素养对数学教师的专业能力又提出哪些具体的要求？结合调查与教学实践，对此分析.

1 基于核心素养培育的课堂教学中的问题及其分析

笔者抽取了咸阳市区一所高中和一所初中两所见习的学校，对全体数学教师进行了调查.调研显示，数学教育应当以培养学生的核心素养为价值追求已经被一线教师所了解与认同，但是在核心素养落实中还存在一些问题和困难.

1.1 教师认同核心素养的“理念”，但尚未形成程序性教学思路，“再现性”“总结性”理解型教学依然存在

调查发放问卷38份，回收35份，问卷回收率为92%.在回收问卷中，60%的教师能正确写出6个核心素养，写出3-5个的约占23%，1个及以下的占11%.高中教师全部正确率达78%，而初中教师则表述多样，正确率仅有41%；34%的教师表示，教学时“经常会考虑”核心素养，63%“有时会考虑”，“一般不会考虑”仅占3%；对“你如何实施核心素养教学？”“培养学生核心素养的难点或关键是什么？”的问题，教师观点不一，其中，“重视思维教学”“重视过程教学”“探究教学”成为高频词.问卷表明，高中教师对核心素养的认识程度优于初中教师，教师关于核心素养教学的认识还不统一，尚未形成程序性教学思路，相当部分教师将“重视思维教学”“重视过程教学”“探究教学”作为落实核心素养教学的举措.

但是，访谈与听课中发现，教学实际与问卷存在一定的出入，对核心素养认识程度更高的高中教师，其教学探索反不及初中教师；承担公开课或赛教任务的教师更重视素养教学，而一般教师“理念”多于行为，“再现性”“总结性”等理解型教学仍然使用，即教师把自己对知识、方法的认识清晰地讲解，学生专心听，在教师控制的问题启发下，互动问答，理解后通过解题巩固.

调查中虽然大部分教师都认为，培养核心素养需要充分暴露学生的思维活动，但是现实却是注重结果，学生的思维活动展开并不充分.在课堂探究中，“看都有谁做出来了！”“赶紧！”，竞争型的鼓励过多，学生抢答.这种竞争型的鼓励虽然能激起学生的好胜心，但是过快的思考，思维敏捷或是课外辅导过的学生会自信满满，而一些对知识、解法生疏的学生则情绪紧张，思考受到干扰.课堂上过于重视反应的速度，结果的对错，是否有利于核心素养的培育，是否有利于学生的学习？当结果成为课堂教学的主要目的时，学生的感受显然是掌握知识、解法比发展素养更实在.

调查“教师核心素养教学的困难”，约82%的教师提出“教学任务多”“教育的名利性”“考试压力大”.访谈发现，这也是63%教师“有时会考虑”和3%教师“一般不会考虑”核心素养教学的原因.调研发现，中学生普遍对核心素养并不关心，他们更在意能轻松地获得解题方法，迅速取得高分.而一些教师正在实施的素养教学，在对学生思维活动的“引导”与“控制”、培养思考能力还是解题能力、知识取向还是素养取向等方面，还未能取得很好的平衡.

1.2 一些教师对数学知识的理解、数学本质的认识不够深刻，学科思维方法的掌握不系统

核心素养教学的落地，教师教学理念、教学设计和课堂调控能力固然重要，但是其扎实的学科知识基础才是根基.一些教师对教学内容如何体现何种核心素养，还不十分清晰，对数学知识、数学本质的理解，对数学学科提出问题、解决问题的方式掌握还不够深刻和系统.

比如，数学抽象作为重要的基本思想，位居六个数学核心素养之首，笔者曾在教师培训中提问：在概念教学、解题教学、公式法则教学中，你是如何培养学生抽象素养的，在方法上是否有所不同？试举例说明.教师案例虽然很丰富，但是认识往往停留在操作层面上.比如，鲜有教师从抽象方法角度说出概念间的关系，正比例函数→一次函数→代数函数→函数，实际属于弱抽象方式，即将原型中某一方面的特征或侧面抽象加以概括，从而形成比原对象更为一般的概念或理论的一种抽象，而三角形→等腰三角形→等边三角形，则属于强抽象，通过强化对象的特征，既增加对象的新特征来完成抽象建构，以形成新概念或模式的抽象方式.教学中教师虽然不需要对学生讲出弱抽象和强抽象的名词，但是教师个人的认识高度会直接影响教学的设计和理解.平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2的教学中，教师常会设计数形结合的环节，a,b为正数时，a2,b2视作正方形面积，(a+b)(a-b)也以图形表示，直观证明，再将公式一般化证明.这里，乘法法则的抽象过程也是一个渐近弱抽象的过程，在初步抽象阶段，仅认识a,b是正数、数、单个字母或单项式，抽象程度提高后，认识到a,b可以为任何形式的数或式，a,b的形式就一般化了.通过弱抽象可以得到更一般的结果，通过强抽象可以得到一些特殊形态，这种更具一般性的思维方式，其重要性不亚于概念、公式本身.调查发现，一线教师对数学抽象的主要方法如性质抽象、关系抽象、弱抽象、强抽象等理论知识掌握不系统.北师大版教材中的“两条直线互相垂直”的定义是：“两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直”，如果将定义换成“若两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直”，行吗？少有教师意识到，“两直线相交成直角”与“两直线垂直”这两个概念是在循环使用.提问老师：“平行四边形，概念的内涵、外延分别是什么？”，表述也不清晰.在培训中询问教师：“为什么高中阶段要用对应关系重新定义函数？”，透彻认识的教师比例也不高.如果教师对函数概念发展的历程不清楚，就容易平均用力，不能突显出函数的实质是两个集合元素与元素之间的对应.因此，教师的学科基础会直接影响核心素养的教学.

1.3 教师教学更为关注教师个人的思维活动，对学生思维的了解不够深入

数学课堂中其实同时存在着三种思维活动，即教师的思维、学生的思维以及隐匿在教材中的数学家的思维，调查表明，虽然教师较为一致的观点是将发展学生的思维作为核心素养落实的表现，但是，实际教学中教师却更关注其个人的思维活动，重视“教”而非“学”，存在对学生的思维重视不足，了解浅表化的现象.

教师对学生思维的了解存在表面化现象，与学生思维活动的隐匿性、课堂教学的限时性有关.比如，高中数学归纳法教学，学生外显的困难是解题中如何寻找p(k)与p(k+1)的关系，即使对无穷递推的合理性不放心，但是仍然会按照格式来解题.这使得教师便把难点放在如何寻找p(k)与p(k+1)的关系上.如果仅仅依靠分数了解学生，教师就很容易错误估计学生实际的思维状态.

1.4 基于核心素养的教学中教师探究方法的运用存在困难

关于“教师核心素养教学的困难”的答案中，“探究”、“提出问题”成为高频词.“过程”是“核心素养”培育的载体，核心素养教学需要教师创设思维情境，让学生经历“是什么”、“如何想”和“如何想到”的过程，探究无疑是培育素养的重要方式.

而调研显示，教师在探究方法的运用中常存在一些问题，突出的有两点.其一，探究是以问题驱动思考的，而课堂中的问题大多由教师提供，鲜有学生自己提出的.当前中学盛行导学案，精心设计的学案中，探究问题的引导性、启发性和针对性都很强，这使探究有章有法，避免学生陷入枝节，极大提高了探究效率.比如《反比例函数的图像与性质(1)》一课的探究，从几组特殊反比例函数入手，画出图像，观察、对比，由图像归纳性质，探究顺利，思维量也大.但是，笔者发现，几乎所有的探究问题都已在学案，学生既无条件也无必要自己提出问题.这是否会对学生提出问题的能力、批判思维的能力带来影响？在限时的课堂，教师留给学生的时间与机会多少才是恰当的，这是很现实的问题.其二，教师点拨与示范的方法.当学生思维陷于僵局时教师该如何点拨，提供思维的策略？例如，解方程(2x+9)1997+x1997+3x+9=0，面对高次方程学生思维停滞，如何引导使其自然产生“构造函数f(t)=t1997+t”的念头，如何启发使学生想到要利用函数的性质以及用何种性质，结合具体问题，如何教给学生观察、分析的方法，等等.学解题的实质是学习如何深入思考问题.

显然，探究方法并不只是教学的技术，探究过程的开放性，探究中教师思维、学生思维的碰撞，都涉及到教师的学科素养、教学技能等综合能力.仅是提问，对教师思维的敏捷性、发散性要求就很高，提问技术可以迅速提高，而教师的思维能力、学科知识积累却非一朝一夕.在高负荷的升学压力下，随着教师教龄的增长，学科知识的积累，一些教师对教育的激情、好奇、质疑能力与创新的动力可能却在降低，这都会影响核心素养的培育.

2 核心素养教学对数学教师专业素质提升的几点要求

综上所述，核心素养教学的问题，反映出对一线教师专业能力提升的具体的要求.教师需要在深度地理解知识、了解学生的基础上，从学生的角度出发，师生一起分析问题、探究问题，在解决问题的过程里培育核心素养，对此提出几点建议.

2.1 教师教学设计与实施需要具备核心素养的目标意识，将素养目标具体化

教师要从发展素养的角度认识数学教学的价值，要具备核心素养的目标意识，更加地重视“过程”.首先，在备课时就要呈现核心素养的要求，使核心素养培养有方向.核心素养教学需要定位不同数学知识、不同学习阶段，素养目标要与教学环节对应，要与教学流程匹配.一节课设计怎样的教学路径与过程，选择怎样的活动、情境、问题、习题与小结等，分别要体现何种核心素养.要把不同教学内容、不同教学阶段所体现出的核心素养具体化.比如，概念、公式形成中,需要观察、实验、比较、抽象、概括等，侧重培养数学抽象、数学建模等素养；在知识结论的推导时,需要分类讨论、化归、特殊化与一般化、类比等，侧重培养逻辑推理、数学运算、直观想象等素养.其次，要注意核心素养目标的达成需要持久性，不可能立竿见影.教师是否可以用更轻松的语言、神态营造出较为宽松的氛围，“别着急，你怎么想的？你发现了什么？”，从容、平和的鼓励，让学生能更深入的想，要让学生不仅能感受解题获胜的快乐，更能享受思考的乐趣.

2.2 教师需要深刻地认识数学、理解数学，扎实的专业素质是培育核心素养的根基

核心素养教学中任何对内容的创造、教法的加工，都需要以深刻地理解数学为基础.教师要能够挖掘知识形态下的核心素养，必须具备扎实的数学专业基础，要全面把握数学学科知识，准确把握教材中的重点、难点与关键.

首先，教师认识数学、理解数学要从真正地研究教材、理解教材开始.教材为什么这么编排，呈现什么结构体系，研究考题、考纲不能取代研究教材.其次，教师理解数学要从本质上认识，重视数学理论的学习.比如，什么是本质属性？某一个概念的本质属性是什么，概念的内涵、外延，概念与概念之间存在哪些关系，判断、推理与证明的关系、类型等，教师要了解数学概念、公式的来龙去脉和背景，深刻理解数学方法，明确同一方法在不同内容中的作用.再次，教师要善于将深而广的数学知识积累，转化为精彩的教学题材.从丰富的数学史素材，如勾股定理的探索、丢番图的墓志铭、《圆锥曲线论》等，寻找创设思维情境的素材.在数学归纳法教学中，有教师设计为：“假设从教室到操场立摆着一列砖头，可以一块一块推倒它们.如果现在只允许推倒一块，你有办法使它们都倒下吗？怎样摆？怎样推呢？如果从中国一直摆到外国…？”[2].教师深刻理解了数学归纳法的实质，才以“前砖碰倒后砖”直观呈现“递推”“两步骤模式”的结构，凸显出数学归纳法无穷递推的本质，无穷递推的合理性.深刻认识数学，才能够从数学知识体系中自然衍生出问题.比如，直线与平面垂直的概念教学，“上节我们学习了直线与平面的位置关系——平行，今天研究另一种重要的位置关系——垂直，如何画一条直线与一个平面垂直呢？”.教师创新与质疑的基础源于对数学的深刻理解，只有不满足标准答案的教师，才能培养出善于发问的学生.

2.3 教师需要掌握学生的思维水平与知识准备状态，精准、合理的定位课堂目标

核心素养的教学是以学为中心的教学，充分地了解、尊重学生的思考，激励、引导学生的思维，才能将素养教学设计的精准、合理.

其一，数学课堂要把握学生真实的思维活动，了解学生的想法是如何产生的，理解并分析学生方法背后可能的合理成分，这样对教学目标的定位才可靠.其二，要按照学生各年龄段认知发展的特征设计素养培养的内容与方式，要掌握学生不同年龄阶段思维的特点以及对教学的可能影响.如对学生的错误，除了知识性错误，还有哪些思维型错误，学生错误或正确的解法背后的思维方式，以及如何防止.其三，要保护学生的好奇心，尊重学生自然而然的思路.探究中要让学生真思考.比如，“设a,b,c为实数，求证(b-2a+c)2≥3(a-2b+c)(a-c)”，引导学生观察特点，联想“b2≥4ac”，即转化为“(2b-4a+2c)2≥4·3(a-2b+c)(a-c)”的判别式结构，由于构造方程多样，让学生自行探索：构造

(a-2b+c)x2±2(b-2a+c)x+3(a-c)=0”，

“3(a-c)x2+2(b-2a+c)x+(a-2b+c)=0”，

“(a-c)x2+2(b-2a+c)x+3(a-2b+c)=0”，让学生选择恰当的构造，而不是有意回避探究中的繁琐或是错误.

2.4 教师需要探索核心素养教学的策略，合理运用探究教学方法

核心素养教学中探究方法合理恰当的运用极为关键.一是合理安排课堂探究，利用好课外时间，比如将探究内容留出部分在课后探究.而课后探究要真正能实行，教师需要解决好作业布置量的把控，学生也要合理安排时间，提高效率.课后探究，在课堂再探讨，以口述、板演展示课后探究的结果，督促学生深入思考.二是重视探究环节的设计.在了解学生的基础上，设计探究环节，在学生探究困难处，教师适时、适当帮助，激发学生的潜力.三是发挥教师思维的示范性.结合具体问题的解决，介绍观察的顺序、观察的方法.让学生体会看什么、该怎么看？比如，“我选择的是怎样的途径？为什么这样选择？”，“当前面临的主要困难是什么？”，在一题多解中不断改换思维的角度，“目标是什么？方法是什么？思维的规律是什么？”等等.

3 结语

2017年6月7日，两台机器参加全国高考数学考试，仅用10分钟和22分钟就轻松获得了134分和105分，达到中学生辛苦训练几年才能获得的应试能力.今天的课堂，要培养的是明天的人才，培育核心素养必须要从教知识、教应试到教学生学习思考，要尤其关注学生学习思考中的思维过程，这就需要教师善于运用启发、探究、合作学习等教学方式，更多地给予学生深度思考的机会.在教学实践中，学习和积累优秀的核心素养案例，从中提炼可操作的方法，不断在反思中提高.