邓敏

摘 要：本文给出用“阶”的概念及估计求极限和判断广义积分的敛散性的方法，大大简化了求极限和判断广义积分的敛散性的过程。用这种方法还可以简化判断级数的敛散性的过程。

关键词：无穷小阶极限敛散性

一、“阶”的概念及其推广

高等数学中“阶”的概念是在学习“无穷小的比较”这一内容时用极限概念引入的，无穷小阶”的概念反映了在自变量的变化过程中，变量趋近于0的快慢程度。以下是许多《高等数学》教材中“阶”的初步概念。

定义1：设 、 是同一变化过程中的两个无穷小。

（1）如果 ，则称 是比 高阶的无穷小

记作

（2）如果 ，则称 是比 低阶的无穷小。

（3）如果 ，则称 是与 同阶的无穷小，特别地，如果 ，则称 是 等价的无穷小，记作

（4）如果 ，则称 是 的 阶的无穷小.[1]

可以将以上定义进行推广，得到如下定义

定义2：设有任意两个函数 、 ，且 恒大于零， 在 ，

（1）如果

则称 相对于 是无穷小量，记作 ； 称 是比 更高阶的无穷小；

（2）如果

则称 与 是渐近相等的，记作 ， 则称 与 为等价无穷小量；

（3）如果

则称 与 是同阶的函数，记作 ， 则称 与 是同阶无穷小。[2]

以上定义中当 时，因为它的性态简洁，所以常用 当作比较“阶”的基准，所以有：

二、“阶”的概念及估计的应用

1.应用于求极限

定理1：等价无穷小替换定理：设 是同一变化过程中的无穷小

证明（略）[2]

2.由等价无穷小的性质，容易证得以下极限运算的规则：

（1）和差取大规则：设 、 是同一变化过程中的两个无穷小

若

（2）和差代替规则：设 是同一变化过程中的无穷小， 且 不等价， 。

例如

、

解： 、

解：

2.应用于判断广义积分的敛散性

定理2：设 是定义在 上的连续函数，那么

（1） ，

（2）

说明：（1）以上定理实际上就是广义积分的极限审敛法的变形形式，所以省去其证明。

（2）我们都知道若 ，则 [3]

例3；判断下列积分的敛散性；

（1） （2） （3）

解：

（1） 收敛。

（2） 收敛。

（3）

当 >1时为绝对收敛

当 时为发散。[3]

通过以上举例说明，利用“阶”的概念来求极限和判断广义积分的敛散性非常简单、实用，因此我们不要忽视一些看似简单的概念在高等数学中的重要作用。以上只是“阶”的概念的簡单应用，它还可以应用于判断级数的敛散性等许多方面。

参考文献

[1]陈水林易同贸.高等数学[M].武汉：湖北科学技术出版社，2007.29

[2]周民强.数学分析[M].北京：上海科学技术出版社，2002.9.119-124

[3]陈吉美等.浅谈极限中阶的估计法及其应用[J].湖南数学年刊，1995，15（3）：84-85.