APP下载

数形结合法在数学解题中的应用

2019-06-05喀什大学帕孜丽亚阿卜杜赛米

数学大世界 2019年10期
关键词:结合法数形直观

喀什大学 帕孜丽亚·阿卜杜赛米

数学是一切自然科学的基础。美国心理学家布鲁纳曾说过:“掌握数学思想是理解和记忆数学的钥匙,领会数学思想是提升学生数学能力的前进方向。”在整个高中数学体系中,函数和方程贯穿始末,它含有丰富的数学思想内容,其中数形结合思想占有重要地位。在教学过程中,对数形结合思想进行探索,掌握函数和方程的理论知识,通过对函数和方程问题的求解,对于开发学生智力,培养学生的数学能力都具有重要的意义。

数形结合法是解决数学问题最常用的方法之一,其源远流长,应用极其广泛。著名数学家华罗庚曾指出“数缺形时少直观,形少数时难入微”的数形结合的理念,其本质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,极大地拓宽了解题思路,使复杂问题简单明了,让学生很快从直观的图形中了解数学语言的意思,既节约了时间,又有更强烈的说服力,所以,数形结合法一直沿用至今,仍让人称赞不已。

为了很好地表述数形结合法的运用,下面的例题是经过多年教学实践总结出来的典型例题,足以说明数形结合的广泛运用。

一、对称问题的数形结合法

对称问题一直是圆锥曲线的常用问题,对于解决圆锥曲线问题,结合图形是非常有效且直观的办法,有利于学生清楚地知道解题的目的。

二、函数的数形结合

函数是数学的核心,贯穿整个数学课程,也是最难的内容之一,解决函数问题一直是学生的重点,利用数形结合的方式解决更是快捷,能直观地把抽象的文字叙述转为图形表达。

例:实系数一元二次方程x2+ax+2b=0有两个根,一个根在区间(0,1)内,另一个根在区间(1,2)内,求点(a,b)对应的区域的面积。

思路精析:列出a,b满足的条件→画出点(a,b)对应的区域→求面积。

解析:方程x2+ax+2b=0的两根在区间(0,1)和(1,2)上的几何意义分别是:函数y=f(x)=x2+ax+2b的图像与x轴的两个交点的横坐标分别在区间(0,1)和(1,2)内,

∴在如图所示的坐标平面内,满足条件的点(a,b)对应的平面区域为△ABC(不包括边界)。

假如遇到一些题目中的等式或者代数式有几何特征,数形结合便是我们可以运用的解题方法,这就是几何法求解,比较常见的对应有:

通过对题目的阅读解析,掌握常见的数与形的对应类型,我们便可以用数形结合的方法解题,久而久之,我们便能更加娴熟地掌握这种解题方法。

三、数形结合在解析几何的应用

(1)在解析几何的应用中,我们常常要用到解析法,这个方法我们又称之为以数辅形,它是数形结合思想中一个非常重要的方面。当解析法与几何法结合来解题的时候,会有更大的功效。

(2)此类题目的求解要结合该类图形的几何性质,将条件信息或结论信息结合在一起,观察图形特征,转化为代数语言,即方程(组)或不等式(组),从而将问题解决。

四、数形结合在立体几何中的应用

(1)在立体几何的应用中,我们经常会遇见一些空间角及位置关系中的平行、垂直及点的空间位置这样的问题,此时我们便可以用空间向量来解决。我们可以先尽可能地建立空间直角坐标系,然后通过转化为坐标运算的方式来证明题目所要求的问题。

(2)立体几何问题的求解往往要将题目所给信息先转换成几何图形性质,结合该类图形的几何性质,将条件信息和结论信息结合在一起,观察图形特征,为代数法求解找到突破口。

“数”与“形”作为数学中最古老、最重要的两个方面,一直就是一对矛盾体。正如华罗庚先生曾说过:“数与形本是相倚依,焉能分作两边飞,数缺形时少直觉,形少数时难入微,数形结合百般好,隔离分家万事非。切莫忘,几何代数统一体,永远联系,切莫分离!”寥寥数语,把数形结合之妙说得淋漓尽致。

猜你喜欢

结合法数形直观
数形结合 理解坐标
数形结合 相得益彰
直观构造中的代数刻画
数形结合百般好
数形结合法在初中数学解题中的应用
数形结合 直观明了
简单直观≠正确
根据计数单位 直观数的大小
例谈数形结合法的广泛应用
数形结合法的两个运用